Singleton (matematică) - Singleton (mathematics)

Parte dintr-o serie de statistici
Teoria probabilității
Axiomele probabilității
Spațiul probabilității Spațiu de probă Eveniment Eveniment elementar Exclusivitate reciprocă Rezultat Singleton Experiment Procesul Bernoulli Distribuția probabilității Distribuție Bernoulli Distribuție binomială Distributie normala Măsura probabilității Variabilă aleatorie Procesul Bernoulli Continuă sau discretă Valorea estimata Valoare observată
Eveniment complementar Probabilitate comună Probabilitate marginală Probabilitate condițională
Independenţă Independența condiționată Legea probabilității totale Legea numărului mare Teorema lui Bayes Inegalitatea lui Boole
diagrama Venn Diagrama arborelui
v t e

În matematică , un singleton , cunoscut și ca un set de unități , este un set cu exact un element. De exemplu, setul { null  } este un singleton care conține elementul nul .

Termenul este, de asemenea, utilizat pentru un 1- tuplu (o secvență cu un membru).

Proprietăți

În cadrul teoriei mulțimilor Zermelo – Fraenkel , axioma regularității garantează că nici un set nu este un element în sine. Aceasta implică faptul că un singleton este neapărat distinct de elementul pe care îl conține, astfel 1 și {1} nu sunt același lucru, iar setul gol este distinct de setul care conține doar setul gol. Un set precum {{1, 2, 3}} este un singleton deoarece conține un singur element (care în sine este un set, totuși, nu un singleton).

Un set este un singleton dacă și numai dacă cardinalitatea sa este 1 . În construcția teoretică a lui von Neumann a numerelor naturale , numărul 1 este definit ca singletonul {0}.

În teoria axiomatică a mulțimilor , existența singletonilor este o consecință a axiomei de împerechere : pentru orice mulțime A , axioma aplicată lui A și A afirmă existența lui { A , A }, care este aceeași cu singletonul { A } (deoarece conține A și niciun alt set, ca element).

În cazul în care A este orice set și S este orice Singleton, atunci există exact o funcție de la A la S , funcția de a trimite fiecare element al A la un singur element al S . Astfel fiecare singleton este un obiect terminal în categoria seturilor .

Un singleton are proprietatea că fiecare funcție de la acesta la orice set arbitrar este injectivă. Singurul set non-single cu această proprietate este setul gol .

Secvența numărului Bell al numărului întreg contează numărul de partiții ale unui set ( OEIS :  A000110 ), dacă singletonii sunt excluși, atunci numerele sunt mai mici ( OEIS :  A000296 ).

În teoria categoriilor

Structurile construite pe singletoni servesc adesea ca obiecte terminale sau zero obiecte din diferite categorii :

• Afirmația de mai sus arată că seturile singleton sunt tocmai obiectele terminale din categoria Set de seturi . Nu există alte seturi terminale.
• Orice singleton admite o structură spațială topologică unică (ambele subseturi sunt deschise). Aceste spații topologice singleton sunt obiecte terminale din categoria spațiilor topologice și funcții continue . Nu există alte spații terminale în această categorie.
• Orice singleton admite o structură de grup unică (elementul unic care servește ca element de identitate ). Aceste grupuri singleton sunt zero obiecte din categoria grupurilor și homomorfismelor de grup . Nicio altă grupă nu este terminală în această categorie.

Definiție după funcțiile indicatorului

Fie S o clasă definită de o funcție indicator

${\ displaystyle b: X \ to \ {0,1 \}.}$

Atunci S se numește singleton dacă și numai dacă există unele y ∈ X astfel încât pentru toate x ∈ X ,

${\ displaystyle b (x) = (x = y).}$

Definiție în Principia Mathematica

Următoarea definiție a fost introdusă de Whitehead și Russell

${\ displaystyle \ iota}$ - Df.${\ displaystyle x = {\ hat {y}} (y ​​= x)}$

Simbolul „ denotă singletonul și denotă clasa obiectelor identice cu aka . Aceasta apare ca o definiție în introducere, care, pe alocuri, simplifică argumentul din textul principal, unde apare ca propoziția 51.01 (p.357 ibid.). Propoziția este folosită ulterior pentru a defini numărul cardinal 1 ca fiind ${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle {\ hat {y}} (y ​​= x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ {y: y = x \}}$

${\ displaystyle 1 = {\ hat {\ alpha}} ((\ există x) \ alpha = \ iota}$ - Df.${\ displaystyle x)}$

Adică 1 este clasa singletonilor. Aceasta este definiția 52.01 (p.363 ibid.)

Vezi si

• Clasa (teoria seturilor)
• Cuantificarea unicității

Referințe