Aproximare unghi mic - Small-angle approximation

Cele mai Aproximările unghi mic poate fi utilizat pentru a aproxima valorile principalelor funcții trigonometrice , cu condiția ca unghiul respectiv este mic și se măsoară în radiani :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & \ approx \ theta \\\ cos \ theta & \ approx 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} \ approx 1 \\\ tan \ theta & \ approx \ theta \ end {align}}}$

Aceste aproximări au o gamă largă de utilizări în ramurile fizicii și ingineriei , inclusiv mecanică , electromagnetism , optică , cartografie , astronomie și informatică . Un motiv pentru aceasta este că pot simplifica foarte mult ecuațiile diferențiale la care nu trebuie să se răspundă cu o precizie absolută.

Există o serie de moduri de a demonstra validitatea aproximărilor la unghi mic. Cea mai directă metodă este de a trunchia seria Maclaurin pentru fiecare dintre funcțiile trigonometrice. În funcție de ordinea de apropiere , este aproximată fie ca sau . ${\ displaystyle \ textstyle \ cos \ theta}$${\ displaystyle 1}$${\ textstyle 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Justificări

Grafic

Precizia aproximărilor poate fi văzută mai jos în Figura 1 și Figura 2. Pe măsură ce măsura unghiului se apropie de zero, diferența dintre aproximare și funcția originală se apropie și de 0.

• 

  Figura 1. O comparație a funcțiilor trigonometrice impare de bază cu θ . Se vede că, pe măsură ce unghiul se apropie de 0, aproximările devin mai bune.

• 

  Figura 2. O comparație a cos θ la 1 - θ ²/2. Se vede că, pe măsură ce unghiul se apropie de 0, aproximarea devine mai bună.

Geometric

Secțiunea roșie pe dreapta, d , este diferența dintre lungimea ipotenuzei, H , iar latura adiacentă, A . După cum se arată, H și A au aproape aceeași lungime, adică cos θ este aproape de 1 șiθ ²/2 ajută la tăierea roșu.

${\ displaystyle \ cos {\ theta} \ approx 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Piciorul opus, O , este aproximativ egal cu lungimea arcului albastru, s . Adunând fapte din geometrie, s = Aθ , din trigonometrie, sin θ =O/Hși tan θ =O/A, iar din imagine, O ≈ s și H ≈ A duc la:

${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ approx {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ approx {\ frac {s} {A}} = {\ frac {A \ theta} {A}} = \ theta.}$

Simplificarea frunzelor,

${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ tan \ theta \ approx \ theta.}$

Calcul

Folosind teorema de stoarcere , putem demonstra că este o reformulare formală a aproximării pentru valori mici de θ. ${\ textstyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$${\ displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ theta}$

O aplicare mai atentă a teoremei de stoarcere demonstrează că din care concluzionăm că pentru valori mici de θ. ${\ textstyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$${\ displaystyle \ tan (\ theta) \ approx \ theta}$

În cele din urmă, regula L'Hôpital ne spune ceea ce se rearanjează pentru valori mici de θ. Alternativ, putem folosi formula cu unghi dublu . Permițând , obținem asta . ${\ textstyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ cos (\ theta) -1} {\ theta ^ {2}}} = \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac { - \ sin (\ theta)} {2 \ theta}} = - {\ frac {1} {2}},}$${\ textstyle \ cos (\ theta) \ approx 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cos 2A \ equiv 1-2 \ sin ^ {2} A}$${\ displaystyle \ theta = 2A}$${\ textstyle \ cos \ theta = 1-2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ approx 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$

Algebric

Expansiunea Maclaurin (expansiunea Taylor aproximativ 0) a funcției trigonometrice relevante este

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} \ theta ^ {2n + 1} \\ & = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} + {\ frac {\ theta ^ {5}} {5!}} - { \ frac {\ theta ^ {7}} {7!}} + \ cdots \ end {align}}}$

unde θ este unghiul în radiani. În termeni mai clari,

${\ displaystyle \ sin \ theta = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {6}} + {\ frac {\ theta ^ {5}} {120}} - {\ frac {\ theta ^ {7}} {5040}} + \ cdots}$

Se vede cu ușurință că al doilea termen cel mai semnificativ (de ordinul al treilea) cade ca cub al primului termen; astfel, chiar și pentru un argument nu atât de mic, cum ar fi 0,01, valoarea celui de-al doilea termen cel mai semnificativ este de ordinul0,000 001 sau1/10 000primul termen. Astfel, se poate aproxima în siguranță:

${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}$

Prin extensie, deoarece cosinusul unui unghi mic este foarte aproape de 1, iar tangenta este dată de sinul împărțit la cosinus,

${\ displaystyle \ tan \ theta \ approx \ sin \ theta \ approx \ theta}$,

Eroare a aproximărilor

Figura 3 prezintă erorile relative ale aproximărilor de unghi mic. Unghiurile la care eroarea relativă depășește 1% sunt după cum urmează:

• cos θ ≈ 1 la aproximativ 0.1408 radiani (8.07 °)
• bronzat θ ≈ θ la aproximativ 0,1730 radiani (9,91 °)
• sin θ ≈ θ la aproximativ 0,2441 radiani (13,99 °)
• cos θ ≈ 1 -θ ²/2 la aproximativ 0,6620 radiani (37,93 °)

Suma unghiului și diferența

De adiție unghi și scădere Teoremele reduc la următoarele , atunci când unul dintre unghiuri este mică ( p ≈ 0):

cos ( α + β )	≈ cos ( α ) - β sin ( α ),
cos ( α - β )	≈ cos ( α ) + β sin ( α ),
sin ( α + β )	≈ sin ( α ) + β cos ( α ),
păcat ( α - β )	≈ sin ( α ) - β cos ( α ).

Utilizări specifice

Astronomie

În astronomie , dimensiunea unghiulară sau unghiul subtins de imaginea unui obiect îndepărtat este adesea de doar câteva secunde de arc , deci este bine adaptată la aproximarea unghiului mic. Dimensiunea liniară ( D ) este legată de dimensiunea unghiulară ( X ) și de distanța față de observator ( d ) prin formula simplă:

${\ displaystyle D = X {\ frac {d} {206 \, 265}}}$

unde X este măsurat în secunde de arc.

Numarul 206 265 este aproximativ egal cu numărul de secunde de arc dintr-un cerc (1 296 000 ), împărțit la 2π .

Formula exactă este

${\ displaystyle D = d \ tan \ left (X {\ frac {2 \ pi} {1 \, 296 \, 000}} \ right)}$

și apropierea de mai sus urmează când tan X se înlocuiește cu X .

Mișcarea unui pendul

Aproximarea cosinusului de ordinul doi este utilă în special în calcularea energiei potențiale a unui pendul , care poate fi apoi aplicată cu un Lagrangian pentru a găsi ecuația indirectă (de energie) a mișcării.

Când se calculează perioada unui pendul simplu, aproximarea cu unghi mic pentru sinus este utilizată pentru a permite rezolvarea cu ușurință a ecuației diferențiale rezultate prin comparație cu ecuația diferențială care descrie mișcarea armonică simplă .

Optică

În optică, aproximările cu unghi mic formează baza aproximării paraxiale .

Interferența undelor

Aproximările unghiulare sinus și tangente sunt utilizate în legătură cu experimentul cu dublă fantă sau cu o rețea de difracție pentru a simplifica ecuațiile, de exemplu „spațierea franjurilor” = „lungimea de undă” × „distanța de la fante la ecran” ÷ „separarea fantei”.

Mecanica structurală

Aproximarea unghiului mic apare și în mecanica structurală, în special în analiza stabilității și a bifurcației (în principal a coloanelor încărcate axial gata să fie supuse flambării ). Acest lucru duce la simplificări semnificative, deși la un cost în acuratețe și înțelegere a comportamentului adevărat.

Pilotare

1 în 60 Regula utilizată în navigația aeriană își are baza în apropierea unghi mic, plus faptul că o radian este de aproximativ 60 de grade.

Interpolare

Formulele pentru adunare și scădere care implică un unghi mic pot fi utilizate pentru interpolare între valorile tabelului trigonometric :

Exemplu: sin (0,755)

păcat (0,755)	= sin (0,75 + 0,005)
	≈ sin (0.75) + (0.005) cos (0.75)
	≈ (0,66816) + (0,005) (0,7317)	[S-au obținut valorile sin (0,75) și cos (0,75) din tabelul trigonometric]
	≈ 0,6853.

Vezi si

• Triunghi slab
• Oscilații infinitesimale ale unui pendul
• Versine și haversine
• Exsecant și excosecant

Referințe