Integrală de volum - Volume integral

O parte dintr-o serie de articole despre
Calcul
Teorema fundamentală Regula integrală Leibniz Limitele funcțiilor Continuitate Teorema valorii medii Teorema lui Rolle
Diferenţial Definiții Derivată  ( generalizări ) Diferenţial infinitezimal a unei funcții total Concepte Notare de diferențiere A doua derivată Diferențierea implicită Diferențierea logaritmică Tarife aferente Teorema lui Taylor Reguli și identități Sumă Produs Lanţ Putere Coeficient Regula L'Hôpital Invers Generalul Leibniz Formula lui Faà di Bruno
Integral Liste de integrale Transformare integrală Definiții Antiderivativ Integral  ( necorespunzător ) Integrala Riemann Integrarea Lebesgue Integrarea conturului Integrală a funcțiilor inverse Integrarea de către Părți Discuri Cochilii cilindrice Înlocuire  ( trigonometrică , Weierstrass , Euler ) Formula lui Euler Fracții parțiale Schimbarea ordinii Formule de reducere Diferențierea sub semnul integral Algoritmul Risch
Serie Geometric  ( aritmetico-geometric ) Armonic Alternativ Putere Binom Taylor Teste de convergență Limita Summand (test de termen) Raport Rădăcină Integral Comparație directă Limitează comparația Seria alternativă Condensare cauchy Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergenţă Răsuci Laplacian Derivată direcțională Identități Teoreme Gradient Verdeaţă Stokes ' Divergenţă generalizat Stokes
Multivariabil Formalisme Matrice Tensor Exterior Geometric Definiții Derivată parțială Integrală multiplă Integrală de linie Integrală de suprafață Integrală de volum Jacobian Hessian
De specialitate Fracțional Malliavin Stochastic Variații
Diverse Precalcul Istorie Glosar Lista subiectelor Integrare albină Analiză
v t e

În matematică (în special calcul multivariabil ), o integrală de volum (∰) se referă la o integrală într-un domeniu tridimensional ; adică este un caz special de integrale multiple . Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxului .

În coordonate

Poate însemna, de asemenea, o integrală triplă într-o regiune a unei funcții și este scrisă de obicei ca: ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle f (x, y, z),}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}$

Un volum integral în coordonate cilindrice este

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}$

și un volum integral în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu azimut și măsurat de pe axa polară (vezi mai multe despre convenții )) are forma ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Exemplu

Integrarea ecuației pe un cub unitar dă următorul rezultat: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ left (1-0 \ right) dz = 1-0 = 1}$

Deci volumul cubului unității este 1 așa cum era de așteptat. Cu toate acestea, acest lucru este destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție de densitate scalară pe cubul unității, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu pentru funcția de densitate:

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ f: (x, y, z) \ mapsto x + y + z \ end {cases} }}$

masa totală a cubului este:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) dy \, dz = \ int _ {0 } ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2}}}$

Vezi si

• Teorema divergenței
• Integrală de suprafață
• Element de volum

linkuri externe

• „Integrală multiplă” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Volum integral” . MathWorld .