Durata obligațiunii - Bond duration

În finanțe , durata unui activ financiar care constă din fluxuri de numerar fixe , cum ar fi o obligațiune , este media ponderată a timpului până la primirea fluxurilor de numerar fixe. Când prețul unui activ este considerat ca o funcție a randamentului , durata măsoară, de asemenea, sensibilitatea prețului la randament, rata variației prețului față de randament sau modificarea procentuală a prețului pentru o schimbare paralelă a randamentelor.

Utilizarea dublă a cuvântului „durată”, atât ca timp mediu ponderat până la rambursare, cât și ca variație procentuală a prețului, provoacă adesea confuzie. Strict vorbind, durata Macaulay este denumirea de timp mediu ponderat până la primirea fluxurilor de numerar și este măsurată în ani. Durata modificată este numele dat sensibilității la preț și este variația procentuală a prețului pentru o modificare unitară a randamentului.

Ambele măsuri sunt denumite „durată” și au aceeași valoare numerică (sau aproape de aceeași), dar este important să se țină cont de distincțiile conceptuale dintre ele. Durata Macaulay este o măsură temporală cu unități în ani și are sens doar pentru un instrument cu fluxuri de numerar fixe. Pentru o obligațiune standard, durata Macaulay va fi între 0 și scadența obligațiunii. Este egal cu scadența dacă și numai dacă obligațiunea este o obligațiune cu cupon zero .

Durata modificată, pe de altă parte, este un derivat matematic (rata de schimbare) a prețului și măsoară rata procentuală de modificare a prețului în raport cu randamentul. (Sensibilitatea prețului în ceea ce privește randamentele poate fi, de asemenea, măsurată în termeni absoluți ( dolar sau euro etc.), iar sensibilitatea absolută este adesea denumită durată dolar (euro) , DV01, BPV sau risc delta (δ sau Δ) ). Conceptul de durată modificată poate fi aplicat instrumentelor sensibile la rata dobânzii, cu fluxuri de numerar neconfigurate și poate fi astfel aplicat unei game mai largi de instrumente decât durata Macaulay. Durata modificată este utilizată mai des decât durata Macaulay în finanțele moderne.

Pentru utilizarea de zi cu zi, egalitatea (sau aproape egalitatea) valorilor pentru Macaulay și durata modificată pot fi un ajutor util pentru intuiție. De exemplu, o obligațiune cupon standard de zece ani va avea o durată Macaulay de oarecum, dar nu dramatic mai mică de 10 ani și din aceasta, putem deduce că durata modificată (sensibilitatea la preț) va fi, de asemenea, oarecum, dar nu dramatic mai mică de 10% . În mod similar, o obligațiune cu cupon de doi ani va avea o durată Macaulay de ceva mai mică de 2 ani și o durată modificată de oarecum sub 2%.

Durata Macaulay

Durata Macaulay , numită după Frederick Macaulay, care a introdus conceptul, este scadența medie ponderată a fluxurilor de numerar , în care timpul primirii fiecărei plăți este ponderat de valoarea actuală a acelei plăți. Numitorul este suma ponderilor, care este tocmai prețul obligațiunii. Luați în considerare un set de fluxuri de numerar fixe. Valoarea actuală a acestor fluxuri de numerar este:

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i}}

Durata Macaulay este definită ca:

(1)

{\ displaystyle MacD = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {PV_ {i} }}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {V}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} t_ { i} {\ frac {PV_ {i}} {V}}}

Unde:

${\ displaystyle i}$ indexează fluxurile de numerar,
${\ displaystyle PV_ {i}}$ este valoarea actualizată a plății mii de numerar de la un activ , ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle t_ {i}}$ este timpul în ani până când va fi primită cea de- a doua plată, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle V}$ este valoarea actualizată a tuturor plăților viitoare în numerar din activ.

În a doua expresie, termenul fracționat este raportul dintre fluxul de numerar și PV total. Acești termeni se adaugă la 1.0 și servesc drept greutăți pentru o medie ponderată. Astfel, expresia generală este o medie ponderată a timpului până la plățile fluxului de numerar, ponderea fiind proporția valorii actuale a activului datorată fluxului de numerar . ${\ displaystyle PV_ {i}}$ ${\ displaystyle {\ frac {PV_ {i}} {V}}}$ ${\ displaystyle i}$

Pentru un set de fluxuri de numerar fixe pozitive, media ponderată va scădea între 0 (timpul minim), sau mai precis (timpul până la prima plată) și momentul fluxului de numerar final. Durata Macaulay va fi egală cu scadența finală dacă și numai dacă există o singură plată la scadență. În simboluri, dacă fluxurile de numerar sunt, în ordine ,, atunci: ${\ displaystyle t_ {1}}$ ${\ displaystyle (t_ {1}, ..., t_ {n})}$

{\ displaystyle t_ {1} \ leq MacD \ leq t_ {n},}

inegalitățile fiind stricte, cu excepția cazului în care are un singur flux de numerar. În ceea ce privește obligațiunile standard (pentru care fluxurile de numerar sunt fixe și pozitive), aceasta înseamnă că durata Macaulay va fi egală cu scadența obligațiunii numai pentru o obligațiune cu cupon zero.

Durata Macaulay are interpretarea diagramatică prezentată în figura 1.

Fig. 1: durata Macaulay

Aceasta reprezintă obligațiunea discutată în exemplul de mai jos - scadență pe doi ani cu un cupon de 20% și randament compus continuu de 3,9605%. Cercurile reprezintă valoarea actuală a plăților, plățile cuponului devenind mai mici cu cât sunt în viitor și ultima plată mare, care include atât plata cuponului, cât și rambursarea finală a principalului. Dacă aceste cercuri ar fi plasate pe o grindă, punctul de sprijin (centrul echilibrat) al grinzii ar reprezenta distanța medie ponderată (timpul până la plată), care este 1,78 ani în acest caz.

Pentru majoritatea calculelor practice, durata Macaulay este calculată folosind randamentul până la scadență pentru a calcula : ${\ displaystyle PV (i)}$

(2)

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} CF_ {i} \ cdot e ^ {- y \ cdot t_ {i }}}

(3)

{\ displaystyle MacD = \ sum _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} {\ frac {CF_ {i} \ cdot e ^ {- y \ cdot t_ {i}}} {V}}}

Unde:

${\ displaystyle i}$ indexează fluxurile de numerar,
${\ displaystyle PV_ {i}}$ este valoarea actualizată a plății în numerar dintr-un activ, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle CF_ {i}}$ este fluxul de numerar al celei de-a treia plăți dintr-un activ, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle y}$ este randamentul până la scadență (compus continuu) pentru un activ,
${\ displaystyle t_ {i}}$ este timpul în ani până când va fi primită cea de- a doua plată, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle V}$ este valoarea actualizată a tuturor plăților în numerar de la activ până la scadență.

Macaulay a dat două măsuri alternative:

Expresia (1) este durata Fisher – Weil care folosește prețurile obligațiunilor cu cupon zero ca factori de reducere și
Expresia (3) care utilizează randamentul obligațiunii până la scadență pentru a calcula factorii de actualizare.

Diferența cheie între cele două durate este că durata Fisher-Weil permite posibilitatea unei curbe a randamentului în pantă, în timp ce a doua formă se bazează pe o valoare constantă a randamentului , care nu variază în funcție de termen până la plată. Odată cu utilizarea computerelor, ambele forme pot fi calculate, dar expresia (3), presupunând un randament constant, este utilizată pe scară mai largă din cauza aplicației la durata modificată. ${\ displaystyle y}$

Durata versus viața medie ponderată

Asemănările atât în valori, cât și în definițiile duratei Macaulay față de viața medie ponderată pot duce la confuzia între scopul și calculul celor două. De exemplu, o obligațiune cu dobândă cu rată fixă pe 5 ani ar avea o durată medie de viață ponderată de 5 și o durată Macaulay care ar trebui să fie foarte apropiată. Ipotecile se comportă similar. Diferențele dintre cele două sunt următoarele:

Durata Macaulay măsoară numai fluxurile de numerar pe perioadă fixă, factorii de viață medie ponderată din toate fluxurile de numerar principale, indiferent dacă acestea sunt fixe sau variabile. Astfel, pentru creditele ipotecare ARM hibrid cu perioadă fixă, în scopul modelării, întreaga perioadă fixă se încheie la data ultimei plăți fixe sau în luna anterioară resetării.
Durata Macaulay reduce toate fluxurile de numerar la costul corespunzător al capitalului. Viața medie ponderată nu scade.
Durata Macaulay folosește atât principalul, cât și dobânda la ponderarea fluxurilor de numerar. Viața medie ponderată folosește numai principalul.

Durată modificată

Spre deosebire de durata Macaulay, durata modificată (uneori prescurtată MD) este o măsură de sensibilitate a prețului, definită ca derivatul procentual al prețului în raport cu randamentul (derivatul logaritmic al prețului obligațiunilor în raport cu randamentul). Durata modificată se aplică atunci când o obligațiune sau un alt activ este considerat ca o funcție a randamentului. În acest caz, se poate măsura derivata logaritmică în raport cu randamentul:

{\ displaystyle ModD (y) \ equiv - {\ frac {1} {V}} \ cdot {\ frac {\ partial V} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial \ ln (V)} {\ partial y}}}

Când randamentul este exprimat continuu compus, durata Macaulay și durata modificată sunt numerice egale. Pentru a vedea acest lucru, dacă luăm derivata prețului sau a valorii actuale, expresia (2), cu privire la randamentul compus continuu, vedem că: ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial y}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} \ cdot CF_ {i} \ cdot e ^ {- y \ cdot t_ {i}} = - MacD \ cdot V,}

Cu alte cuvinte, pentru randamentele exprimate continuu compuse,

{\ displaystyle ModD = MacD}

.

Unde:

${\ displaystyle i}$ indexează fluxurile de numerar,
${\ displaystyle t_ {i}}$ este timpul în ani până când va fi primită cea de- a doua plată, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle V}$ este valoarea actualizată a tuturor plăților în numerar din activ.

Compus periodic

Pe piețele financiare, randamentele sunt de obicei exprimate periodic compuse (să zicem anual sau semestrial) în loc să fie continuu compuse. Atunci expresia (2) devine:

{\ displaystyle V (y_ {k}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {CF_ {i}} { (1 + y_ {k} / k) ^ {k \ cdot t_ {i}}}}}

{\ displaystyle MacD = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {t_ {i}} {V (y_ {k})}} \ cdot {\ frac {CF_ {i}} {(1 + y_ {k} / k) ^ {k \ cdot t_ {i}}}}}

Pentru a găsi durata modificată, atunci când luăm derivata valorii în raport cu randamentul compus periodic pe care îl găsim ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial y_ {k}}} = - {\ frac {1} {(1 + y_ {k} / k)}} \ cdot \ sum _ {i = 1 } ^ {n} t_ {i} \ cdot {\ frac {CF_ {i}} {(1 + y_ {k} / k) ^ {k \ cdot t_ {i}}}} = - {\ frac {MacD \ cdot V (y_ {k})} {(1 + y_ {k} / k)}}}

Rearanjarea (împărțirea ambelor părți la -V) oferă:

{\ displaystyle {\ frac {MacD} {(1 + y_ {k} / k)}} = - {\ frac {1} {V (y_ {k})}} \ cdot {\ frac {\ partial V} {\ partial y_ {k}}} \ equiv ModD}

care este relația bine-cunoscută dintre durata modificată și durata Macaulay:

{\ displaystyle ModD = {\ frac {MacD} {(1 + y_ {k} / k)}}}

Unde:

${\ displaystyle i}$ indexează fluxurile de numerar,
${\ displaystyle k}$ este frecvența de compunere pe an (1 pentru anual, 2 pentru semestrial, 12 pentru lunar, 52 pentru săptămânal etc.),
${\ displaystyle CF_ {i}}$ este fluxul de numerar al celei de-a treia plăți dintr-un activ, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle t_ {i}}$ este timpul în ani până când va fi primită cea de- a doua plată (de exemplu, un semestru de doi ani ar fi reprezentat de un indice de 0,5, 1,0, 1,5 și 2,0), ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$
${\ displaystyle y_ {k}}$ este randamentul până la scadență pentru un activ, compus periodic
${\ displaystyle V}$ este valoarea actualizată a tuturor plăților în numerar din activ.

Aceasta oferă relația binecunoscută dintre durata Macaulay și durata modificată citată mai sus. Trebuie amintit că, chiar dacă durata Macaulay și durata modificată sunt strâns legate, ele sunt conceptuale distincte. Durata Macaulay este un timp mediu ponderat până la rambursare (măsurat în unități de timp, cum ar fi anii), în timp ce durata modificată este o măsură a sensibilității prețului atunci când prețul este tratat ca o funcție a randamentului, modificarea procentuală a prețului în raport cu randamentul.

Unități

Durata Macaulay este măsurată în ani.

Durata modificată este măsurată ca variație procentuală a prețului pe o unitate ( punct procentual ) variație a randamentului pe an (de exemplu, randamentul merge de la 8% pe an (y = 0,08) la 9% pe an (y = 0,09)). Acest lucru va da duratei modificate o valoare numerică apropiată de durata Macaulay (și egală atunci când ratele sunt compuse continuu).

În mod formal, durata modificată este o semi- elasticitate , schimbarea procentuală a prețului pentru o schimbare unitară a randamentului, mai degrabă decât o elasticitate , care este o schimbare procentuală a producției pentru o modificare procentuală a intrării. Durata modificată este o rată de schimbare, procentul de schimbare a prețului pe schimbare de randament.

Fluxuri de trezorerie non-fixe

Durata modificată poate fi extinsă la instrumentele cu fluxuri de numerar non-fixe, în timp ce durata Macaulay se aplică numai instrumentelor cu flux de numerar fix. Durata modificată este definită ca derivatul logaritmic al prețului cu privire la randament și o astfel de definiție se va aplica instrumentelor care depind de randamente, indiferent dacă fluxurile de numerar sunt sau nu fixe.

Modificări ale randamentului finit

Durata modificată este definită mai sus ca o derivată (așa cum termenul se referă la calcul) și deci se bazează pe modificări infinitezimale. Durata modificată este utilă și ca măsură a sensibilității prețului de piață al unei obligațiuni la mișcările ratei dobânzii finite (adică randament). Pentru o mică modificare a randamentului ,, ${\ displaystyle \ Delta y}$

{\ displaystyle ModD \ approx - {\ frac {1} {V}} {\ frac {\ Delta V} {\ Delta y}} \ Rightarrow \ Delta V \ approx -V \ cdot ModD \ cdot \ Delta y}

Astfel, durata modificată este aproximativ egală cu variația procentuală a prețului pentru o anumită modificare finită a randamentului. Deci, o obligațiune pe 15 ani cu o durată de Macaulay de 7 ani ar avea o durată modificată de aproximativ 7 ani și ar scădea cu aproximativ 7% în valoare dacă rata dobânzii ar crește cu un punct procentual (să zicem de la 7% la 8%).

Durata Fisher – Weil

Durata Fisher – Weil este un rafinament al duratei lui Macaulay, care ia în considerare structura pe termen a ratelor dobânzii. Durata Fisher – Weil calculează valorile actuale ale fluxurilor de numerar relevante (mai strict) utilizând randamentul cuponului zero pentru fiecare scadență respectivă.

Durata ratei cheie

Duratele ratei cheie (numite și DV01 parțiale sau durate parțiale) sunt o extensie naturală a duratei modificate totale până la măsurarea sensibilității la schimbări ale diferitelor părți ale curbei randamentului. Duratele ratei cheie ar putea fi definite, de exemplu, în ceea ce privește ratele cuponului zero cu scadența „1M”, „3M”, „6M”, „1Y”, „2Y”, „3Y”, „5Y”, „7Y” , '10Y', '15Y', '20Y', '25Y', '30Y'. Thomas Ho (1992) a introdus termenul durata ratei cheie. Reitano a abordat modelele de curbe de randament multifactoriale încă din 1991 și a revizuit subiectul într-o recenzie recentă.

Duratele ratei cheie necesită să evaluăm un instrument în afara unei curbe de randament și necesită construirea unei curbe de randament. Metodologia inițială a lui Ho s-a bazat pe evaluarea instrumentelor de pe o curbă de randament zero sau spot și a folosit interpolare liniară între „rate cheie”, dar ideea este aplicabilă curbelor de randament bazate pe rate forward, rate nominale și așa mai departe. Multe probleme tehnice apar pentru duratele ratei cheie (DV01 parțiale) care nu apar pentru durata totală standard modificată din cauza dependenței duratelor ratei cheie de tipul specific al curbei de randament utilizate pentru a evalua instrumentele (vezi Coleman, 2011) .

Formule

Pentru o obligațiune standard cu plăți fixe, semestriale, formula în formă închisă a duratei obligațiunii este:

{\ displaystyle {\ text {Dur}} = {\ frac {1} {P}} \ left (C {\ frac {(1 + ai) (1 + i) ^ {m} - (1 + i) - (m-1 + a) i} {i ^ {2} (1 + i) ^ {(m-1 + a)}}} + {\ frac {FV (m-1 + a)} {(1+ i) ^ {(m-1 + a)}}} \ right)}

FV = valoarea nominală
C = plata cuponului pe perioadă (jumătate de an)
i = rata de reducere pe perioadă (semestrial)
a = fracțiune din perioada rămasă până la următoarea plată a cuponului
m = numărul de perioade complete ale cuponului până la scadență
P = prețul obligațiunii (valoarea actualizată a fluxurilor de numerar actualizate cu rata i )

Pentru o obligațiune cu frecvența cuponului, dar un număr întreg de perioade (astfel încât să nu existe o perioadă de plată fracționată), formula se simplifică la: ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle MacD = \ left [{\ frac {(1 + y / k)} {y / k}} - {\ frac {100 (1 + y / k) + m (c / k-100y / k) } {(c / k) [(1 + y / k) ^ {m} -1] + 100y / k}} \ right] / k}

Unde

y = Randament (pe an, în procente),
c = Cupon (pe an, în formă zecimală),
m = Numărul perioadelor cuponului.

Exemplu

Luați în considerare o obligațiune pe 2 ani cu o valoare nominală de 100 USD, un cupon semestrial de 20% și un randament de 4% semestrial compus. PV total va fi:

{\ displaystyle V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {CF_ {i}} {(1 + y / k ) ^ {k \ cdot t_ {i}}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {4} {\ frac {10} {(1 + .04 / 2) ^ {i}}} + {\ frac {100} {(1 + .04 / 2) ^ {4}}}}

{\ displaystyle = 9.804 + 9.612 + 9.423 + 9.238 + 92.385 = 130.462}

Durata Macaulay este atunci

{\ displaystyle {\ text {MacD}} = 0,5 \ cdot {\ frac {9.804} {130.462}} + 1.0 \ cdot {\ frac {9.612} {130.462}} + 1.5 \ cdot {\ frac {9.423} {130.462 }} + 2.0 \ cdot {\ frac {9.238} {130.462}} + 2.0 \ cdot {\ frac {92.385} {130.462}} = 1.777 \, {\ text {years}}}

.

Formula simplă de mai sus dă (y / k = .04 / 2 = .02, c / k = 20/2 = 10):

{\ displaystyle {\ text {MacD}} = \ left [{\ frac {(1.02)} {0.02}} - {\ frac {100 (1.02) +4 (10-2)} {10 [(1.02) ^ {4} -1] +2}} \ right] /2=1.777 \, {\ text {years}}}

Durata modificată, măsurată ca variație procentuală a prețului la o modificare punctuală procentuală a randamentului, este:

{\ displaystyle {\ text {ModD}} = {\ frac {\ text {MacD}} {(1 + y / k)}} = {\ frac {1.777} {(1 + .04 / 2)}} = 1.742}

(Modificare procentuală a prețului la 1 punct procentual variație a randamentului)

DV01, măsurat ca o schimbare în dolari a prețului pentru o obligațiune nominală de 100 USD pentru o modificare de un punct procentual a randamentului, este de

{\ displaystyle {\ text {DV01}} = {\ frac {{\ text {ModD}} \ cdot 130.462} {100}} = 2.27}

($ la 1 punct procentual modificarea randamentului)

unde împărțirea la 100 se datorează faptului că durata modificată este modificarea procentuală.

Exemplu pas cu pas

Luați în considerare o obligațiune cu o valoare nominală de 1000 USD, o rată a cuponului de 5% și un randament anual de 6,5%, cu scadență în 5 ani. Pașii pentru calcularea duratei sunt următorii:

1. Estimarea valorii obligațiunii Cupoanele vor fi de 50 USD în anii 1, 2, 3 și 4. Apoi, în anul 5, obligațiunea va plăti cuponul și principalul, pentru un total de 1050 USD. Reducând la valoarea actualizată la 6,5%, valoarea obligațiunii este de 937,66 USD. Detaliul este următorul:

Anul 1: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Anul 2: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Anul 3: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Anul 4: 50 USD / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Anul 5: 1050 USD / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Înmulțiți timpul în care fiecare flux de numerar este primit, de ori valoarea sa actuală

Anul 1: 1 * 46,95 USD = 46,95

Anul 2: 2 * 44,08 USD = 88,17

Anul 3: 3 * 41,39 USD = 124,18

Anul 4: 4 * 38,87 USD = 155,46

Anul 5: 5 * 766,37 = 3831,87

TOTAL: 4246,63

3. Comparați totalul de la pasul 2 cu valoarea obligațiunii (pasul 1)

Durata Macaulay: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Durata banilor

The durata banilor sauvaloarea punctului de bază sau BloombergRisc , numit șidurata dolarului sauDV01 în Statele Unite, este definit ca negativ al derivatului valorii în raport cu randamentul:

{\ displaystyle D _ {\ $} = DV01 = - {\ frac {\ partial V} {\ partial y}}.}

astfel încât să fie produsul duratei modificate și al prețului (valoare):

{\ displaystyle D _ {\ $} = DV01 = BPV = V \ cdot ModD / 100}

($ la 1 punct procentual modificarea randamentului)

sau

{\ displaystyle D _ {\ $} = DV01 = V \ cdot ModD / 10000}

($ pe 1 punct de bază modificarea randamentului)

DV01 este analog cu delta în stabilirea prețurilor derivate (unul dintre „greci” ) - este raportul dintre o schimbare de preț a producției (dolari) și o modificare a unității de intrare (un punct de bază al randamentului). Durata dolarului sau DV01 este modificarea prețului în dolari, nu în procente. Oferă variația în dolari a valorii unei obligațiuni pe unitate de modificare a randamentului. Este adesea măsurată la 1 punct de bază - DV01 este prescurtarea pentru „valoarea în dolari a unui 01” (sau 1 punct de bază). Se folosește și denumirea BPV ( valoarea punctului de bază ) sau „Risc” Bloomberg, adesea aplicată schimbării în dolari pentru o noțională de 100 USD pentru o modificare a randamentelor de 100 bp - oferind aceleași unități ca durata. PV01 (valoarea actuală a unui 01) este uneori folosit, deși PV01 se referă mai exact la valoarea unei anuități de un dolar sau un punct de bază. (Pentru o obligațiune nominală și o curbă de randament plat , DV01, derivat al randamentului de preț brut și PV01, valoarea unei anuități de un dolar, vor avea de fapt aceeași valoare.) DV01 sau durata în dolari pot fi utilizate pentru instrumentele cu zero în sus -valoare frontală, cum ar fi swap-uri de dobândă, unde modificările procentuale și durata modificată sunt mai puțin utile.

Aplicarea la valoarea la risc (VaR)

Durata dolarului este frecvent utilizată pentru calcularea valorii la risc (VaR). Pentru a ilustra cererile de gestionare a riscului de portofoliu, luați în considerare un portofoliu de valori mobiliare dependente de ratele dobânzii ca factori de risc și lăsați ${\ displaystyle D _ {\ $}}$ ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$

{\ displaystyle V = V (r_ {1}, \ ldots, r_ {n}) \,}

indică valoarea unui astfel de portofoliu. Apoi vectorul de expunere are componente ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {n})}$

{\ displaystyle \ omega _ {i} = - D _ {\ $, i}: = {\ frac {\ partial V} {\ partial r_ {i}}}.}

În consecință, modificarea valorii portofoliului poate fi aproximată ca

{\ displaystyle \ Delta V = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ omega _ {i} \, \ Delta r_ {i} + \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} O ( \ Delta r_ {i} \, \ Delta r_ {j}),}

adică o componentă care este liniară în modificările ratei dobânzii plus un termen de eroare care este cel puțin pătratic. Această formulă poate fi utilizată pentru a calcula VaR-ul portofoliului ignorând termenii de ordine mai mari. De obicei, termenii cubici sau superiori sunt trunchiați. Termenii cuadratici, atunci când sunt incluși, pot fi exprimați în termeni de convexitate a legăturii (multi-variate). Se pot face presupuneri despre distribuția comună a ratelor dobânzii și apoi se poate calcula VaR prin simulare Monte Carlo sau, în unele cazuri speciale (de exemplu, distribuția Gaussiană presupunând o aproximare liniară), chiar și analitic. Formula poate fi utilizată și pentru calcularea DV01 a portofoliului (cf. mai jos) și poate fi generalizată pentru a include factori de risc dincolo de ratele dobânzii.

Risc - durata ca sensibilitate a ratei dobânzii

Utilizarea principală a duratei (durata modificată) este de a măsura sensibilitatea sau expunerea la rata dobânzii. Gândirea la risc în ceea ce privește ratele dobânzii sau randamentele este foarte utilă, deoarece ajută la normalizarea instrumentelor altfel disparate. Luați în considerare, de exemplu, următoarele patru instrumente, fiecare cu scadență finală de 10 ani:

Descriere	Cupon ($ pe an)	Preț inițial (per noțional 100 $)	Rambursarea finală a principalului	Randament	Durata Macaulay (ani)	Durată modificată (% pe 100bp ani)	BPV sau DV01 ($ pe 100bp ani)
5% obligațiune cu cupon semestrial	5 USD	100 USD	100 USD	5%	7.99 ani	7,79%	7,79 dolari
5% anualitate semestrială	5 USD	38,9729 dolari	0 USD	5%	4.84 ani	4,72%	1,84 USD
obligațiune cu cupon zero	0 USD	61,0271 USD	100 USD	5%	10 ani	9,76%	5,95 dolari
5% swap fix-plutitor, Primire fixă	5 USD	0 USD	0 USD	5%	N / A	N / A	7,79 dolari

Toate cele patru au o scadență de 10 ani, dar sensibilitatea la ratele dobânzii și, prin urmare, riscul vor fi diferite: cuponul zero are cea mai mare sensibilitate, iar renta este cea mai mică.

Luați în considerare mai întâi o investiție de 100 USD în fiecare, ceea ce are sens pentru cele trei obligațiuni (obligațiunea cupon, renta, obligațiunea cu cupon zero - nu are sens pentru swap-ul ratei dobânzii pentru care nu există investiție inițială). Durata modificată este o măsură utilă pentru a compara sensibilitatea ratei dobânzii între cele trei. Obligațiunea cu cupon zero va avea cea mai mare sensibilitate, schimbându-se la o rată de 9,76% la 100bp variația randamentului. Aceasta înseamnă că, dacă randamentele cresc de la 5% la 5,01% (o creștere de 1 pb), prețul ar trebui să scadă cu aproximativ 0,0976% sau o schimbare a prețului de la 61,0271 USD pe 100 USD la aproximativ 60,968 USD. Investiția inițială de 100 USD va scădea la aproximativ 99,90 USD. Renta are cea mai mică sensibilitate, aproximativ jumătate din cea a obligațiunii cu cupon zero, cu o durată modificată de 4,72%.

Alternativ, am putea lua în considerare noțional 100 de dolari pentru fiecare dintre instrumente. În acest caz, BPV sau DV01 (valoarea în dolari cu o durată de 01 sau în dolari) este măsura mai naturală. Valoarea BPV din tabel este variația în dolari a prețului pentru 100 de dolari noțională pentru o modificare de 100 de puncte de bază a randamentelor. BPV va avea sens atât pentru swap-ul ratei dobânzii (pentru care nu este definită durata modificată), cât și pentru cele trei obligațiuni.

Durata modificată măsoară dimensiunea sensibilității ratei dobânzii. Uneori putem fi induși în eroare în a gândi că măsoară la ce parte a curbei randamentului la care este sensibil instrumentul. La urma urmei, durata modificată (schimbarea% în preț) este aproape același număr ca și durata Macaulay (un fel de ani medii ponderate până la scadență). De exemplu, anuitatea de mai sus are o durată Macaulay de 4,8 ani și am putea crede că este sensibilă la randamentul de 5 ani. Dar are fluxuri de numerar de până la 10 ani și astfel va fi sensibil la randamentele de 10 ani. Dacă dorim să măsurăm sensibilitatea la părți ale curbei randamentului, trebuie să luăm în considerare duratele cheie ale ratei .

Pentru obligațiunile cu fluxuri de numerar fixe, o modificare a prețului poate proveni din două surse:

Trecerea timpului (convergența către par). Desigur, acest lucru este total previzibil și, prin urmare, nu reprezintă un risc.
O schimbare a randamentului. Acest lucru se poate datora unei modificări a randamentului de referință și / sau a unei variații a randamentului randamentului.

Relația randament-preț este inversă, iar durata modificată oferă o măsură foarte utilă a sensibilității prețului la randamente. Ca primă derivată oferă o aproximare liniară. Pentru modificări mari ale randamentului, convexitatea poate fi adăugată pentru a oferi o aproximare pătratică sau de ordinul doi. Alternativ, și adesea mai util, convexitatea poate fi utilizată pentru a măsura modul în care se modifică durata modificată pe măsură ce se modifică randamentele. Măsuri similare de risc (ordinul I și II) utilizate pe piețele de opțiuni sunt delta și gamma .

Durata modificată și DV01 ca măsuri ale sensibilității ratei dobânzii sunt, de asemenea, utile, deoarece pot fi aplicate instrumentelor și valorilor mobiliare cu fluxuri de numerar variabile sau contingente, cum ar fi opțiunile.

Opțiuni încorporate și durată efectivă

Pentru obligațiunile care au opțiuni încorporate , cum ar fi obligațiunile plasabile și apelabile, durata modificată nu va aproxima corect mutarea prețului pentru o modificare a randamentului până la scadență .

Luați în considerare o legătură cu o opțiune de vânzare încorporată. De exemplu, o obligațiune de 1.000 USD care poate fi răscumpărată de deținător în orice moment înainte de scadența obligațiunii (adică o opțiune de vânzare americană). Indiferent cât de ridicate sunt dobânzile, prețul obligațiunii nu va coborî niciodată sub 1.000 USD (ignorând riscul contrapartidei ). Sensibilitatea prețului acestei obligațiuni la modificările ratei dobânzii este diferită de o obligațiune non-puttable cu fluxuri de numerar altfel identice.

Pentru a prețua astfel de obligațiuni, trebuie să utilizați prețul opțiunilor pentru a determina valoarea obligațiunii și apoi puteți calcula delta (și, prin urmare, lambda), care este durata. Durata efectivă este o aproximare discretă la aceasta din urmă și va necesita un model de stabilire a prețurilor opțiunilor.

{\ displaystyle {\ text {Durată efectivă}} = {\ frac {V _ {- \ Delta y} -V _ {+ \ Delta y}} {2 (V_ {0}) \ Delta y}}}

unde Δ y este cantitatea care se modifică randamentul și sunt valorile pe care le va lua obligațiunea dacă randamentul scade cu y sau crește cu y , respectiv. (O „deplasare paralelă” ; rețineți că această valoare poate varia în funcție de valoarea utilizată pentru Δ y .) ${\ displaystyle V _ {- \ Delta y} {\ text {și}} V _ {+ \ Delta y}}$

Aceste valori sunt calculate în mod obișnuit folosind un model bazat pe arbori, construit pentru întreaga curbă a randamentului (spre deosebire de un singur randament până la scadență) și, prin urmare, captând comportamentul de exercițiu în fiecare moment al vieții opțiunii, în funcție de timp și de ratele dobânzii. ; a se vedea modelul Lattice (finanțare) § Instrumentele derivate ale ratei dobânzii .

Durata răspândirii

Durata vitezei este sensibilitatea prețului de piață al unei obligațiuni la o modificare a spread-ului ajustat la opțiuni (OAS). Astfel, indicele sau curba randamentului subiacent rămâne neschimbată. Activele cu rată variabilă care sunt comparate cu un indice (cum ar fi LIBOR de 1 lună sau 3 luni) și resetate periodic vor avea o durată efectivă aproape de zero, dar o durată de spread comparabilă cu o obligațiune cu rată fixă altfel identică.

Durata medie

Sensibilitatea unui portofoliu de obligațiuni, cum ar fi un fond mutual de obligațiuni , la modificările ratelor dobânzii poate fi, de asemenea, importantă. Durata medie a obligațiunilor din portofoliu este adesea raportată. Durata unui portofoliu este egală cu scadența medie ponderată a tuturor fluxurilor de numerar din portofoliu. Dacă fiecare obligațiune are același randament până la scadență, aceasta este egală cu media ponderată a duratelor obligațiunii portofoliului, cu ponderi proporționale cu prețurile obligațiunilor. În caz contrar, media ponderată a duratelor obligațiunii este doar o bună aproximare, dar poate fi utilizată în continuare pentru a deduce modul în care valoarea portofoliului s-ar schimba ca răspuns la modificările ratelor dobânzii.

Convexitate

Durata este o măsură liniară a modului în care se modifică prețul unei obligațiuni ca răspuns la modificările ratei dobânzii. Pe măsură ce ratele dobânzii se schimbă, prețul nu se modifică liniar, ci mai degrabă este o funcție convexă a ratelor dobânzii. Convexitatea este o măsură a curburii modului în care se modifică prețul unei obligațiuni pe măsură ce se schimbă rata dobânzii. Mai exact, durata poate fi formulată ca primul derivat al funcției de preț a obligațiunii în raport cu rata dobânzii în cauză și convexitatea ca al doilea derivat.

Convexitatea oferă, de asemenea, o idee despre răspândirea viitoarelor fluxuri de numerar. (Așa cum durata dă termenul mediu actualizat, tot așa se poate folosi și convexitatea pentru a calcula deviația standard actualizată, să zicem, a randamentului.)

Rețineți că convexitatea poate fi pozitivă sau negativă. O obligațiune cu convexitate pozitivă nu va avea nici o caracteristică de apel - adică emitentul trebuie să răscumpere obligațiunea la scadență - ceea ce înseamnă că, pe măsură ce ratele scad, atât durata cât și prețul acesteia vor crește.

Pe de altă parte, o obligațiune cu caracteristici de apelare - adică în cazul în care emitentul poate răscumpăra obligațiunea devreme - este considerată a avea convexitate negativă pe măsură ce ratele se apropie de greva de opțiuni, ceea ce înseamnă că durata acesteia va scădea pe măsură ce ratele scad și, prin urmare, prețul său va crește mai puțin repede. Acest lucru se datorează faptului că emitentul poate răscumpăra vechea obligațiune cu un cupon ridicat și reemite o nouă obligațiune la o rată mai mică, oferind astfel emitentului opționalitate valoroasă. Similar cu cele de mai sus, în aceste cazuri, poate fi mai corect să calculăm o convexitate eficientă .

Titlurile garantate ipotecar (plăți anticipate ale principalelor ipoteci) cu ipoteci cu rate fixe pe 15 sau 30 de ani în SUA ca garanții sunt exemple de obligațiuni exigibile.

Raportul Sherman

"Raportul Sherman" este randamentul oferit pe unitate de durată a obligațiunilor, numit după directorul principal de investiții al DoubleLine Capital , Jeffrey Sherman. Acesta a fost numit „Scaraest Gauge pe piața de obligațiuni” și a atins un minim istoric de 0,1968 pentru indicele de obligațiuni corporative din SUA. Raportul este pur și simplu randamentul oferit (ca procent), împărțit la durata obligațiunii (în ani).

Vezi si

Note

Referințe

Lecturi suplimentare

Fabozzi, Frank J. (1999), „Noțiunile de bază ale duratei și convexității”, Durată, convexitate și alte măsuri de risc obligatoriu, seria Frank J. Fabozzi, 58 , John Wiley și Sons, ISBN 9781883249632
Mayle, ianuarie (1994), Metode standard de calcul al valorilor mobiliare: formule de valori mobiliare cu venit fix pentru măsuri analitice , 2 (prima ediție), Asociația industriei valorilor mobiliare și piețelor financiare , ISBN 1-882936-01-9. Referința standard pentru convențiile aplicabile valorilor mobiliare din SUA.

Rojas Arzú, Jorge; Roca, Florencia (decembrie 2018), Risk Management and Derivatives Explained , Amazon Kindle Direct Publishing , pp. 43-44, ISBN 9781791814342

linkuri externe

Enciclopedia riscurilor pentru o explicație bună asupra definițiilor multiple ale duratei și originilor lor.
Tutorial video pas cu pas
Explicația duratei Investopedia

Languages

In other projects

Durata obligațiunii - Bond duration

Cuprins

Durata Macaulay

Durată modificată

Compus periodic

Unități

Fluxuri de trezorerie non-fixe

Modificări ale randamentului finit

Durata Fisher – Weil

Durata ratei cheie

Formule

Exemplu

Exemplu pas cu pas

Durata banilor

Aplicarea la valoarea la risc (VaR)

Risc - durata ca sensibilitate a ratei dobânzii

Opțiuni încorporate și durată efectivă

Durata răspândirii

Durata medie

Convexitate

Raportul Sherman

Vezi si

Note

Referințe

Lecturi suplimentare

linkuri externe