Formula lui Brahmagupta - Brahmagupta's formula

În geometria euclidiană , formula lui Brahmagupta este utilizată pentru a găsi aria oricărui patrulater ciclic (unul care poate fi înscris într-un cerc) date fiind lungimile laturilor.

Formulă

Formula lui Brahmagupta dă aria K a unui patrulater ciclic ale cărui laturi au lungimi a , b , c , d ca

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}$

unde s , semiperimetrul , este definit ca fiind

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}}.}$

Această formulă generalizează formula lui Heron pentru aria unui triunghi . Un triunghi poate fi privit ca un patrulater cu o latură de lungime zero. Din această perspectivă, pe măsură ce d se apropie de zero, un patrulater ciclic converge într-un triunghi ciclic (toate triunghiurile sunt ciclice), iar formula lui Brahmagupta se simplifică cu formula lui Heron.

Dacă semiperimetrul nu este utilizat, formula lui Brahmagupta este

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a + b-c + d) (a + b + cd)}}.}$

O altă versiune echivalentă este

${\ displaystyle K = {\ frac {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2} + 8abcd-2 (a ^ {4 } + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4})}} {4}} \ cdot}$

Dovadă

Diagrama de referință

Dovadă trigonometrică

Aici sunt utilizate notațiile din figura din dreapta. Zona K a patrulaterului ciclic este egală cu suma ariilor △ ADB și △ BDC :

${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} pq \ sin A + {\ frac {1} {2}} rs \ sin C.}$

Dar, din moment ce □ ABCD este un patrulater ciclic, ∠ DAB = 180 ° - ∠ DCB . De aici păcătuiesc A = sin C . Prin urmare,

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} pq \ sin A + {\ frac {1} {2}} rs \ sin A}$

${\ displaystyle K ^ {2} = {\ frac {1} {4}} (pq + rs) ^ {2} \ sin ^ {2} A}$

${\ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} (1- \ cos ^ {2} A)}$

(folosind  identitatea trigonometrică )

Rezolvând pentru DB latură comună , în △ ADB și △ BDC , legea cosinusului dă

${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} -2pq \ cos A = r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos C.}$

Înlocuind cos C = −cos A (deoarece unghiurile A și C sunt suplimentare ) și rearanjăm, avem

${\ displaystyle 2 (pq + rs) \ cos A = p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}.}$

Înlocuind acest lucru în ecuația zonei,

${\ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} - {\ frac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle 16K ^ {2} = 4 (pq + rs) ^ {2} - (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}. }$

Partea dreaptă are forma a ² - b ² = ( a - b ) ( a + b ) și, prin urmare, poate fi scrisă ca

${\ displaystyle [2 (pq + rs) -p ^ {2} -q ^ {2} + r ^ {2} + s ^ {2}] [2 (pq + rs) + p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}]}$

care, la rearanjarea termenilor din paranteze pătrate, cedează

${\ displaystyle = [(r + s) ^ {2} - (pq) ^ {2}] [(p + q) ^ {2} - (rs) ^ {2}]}$

${\ displaystyle = (q + r + sp) (p + r + sq) (p + q + sr) (p + q + rs).}$

Introducerea semiperimetrului S = p + q + r + s/2,

${\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (Sp) (Sq) (Sr) (Ss).}$

Luând rădăcina pătrată, obținem

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(Sp) (Sq) (Sr) (Ss)}}.}$

Dovadă non-trigonometrică

O dovadă alternativă, non-trigonometrică, utilizează două aplicații ale formulei ariei triunghiului Heron pe triunghiuri similare.

Extindere la patrulaterele neciclice

În cazul patrulaterelor neciclice, formula lui Brahmagupta poate fi extinsă luând în considerare măsurile a două unghiuri opuse ale patrulaterului:

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ theta}}}$

unde θ este jumătate din suma oricăror două unghiuri opuse. (Alegerea perechii de unghiuri opuse nu este relevantă: dacă sunt luate celelalte două unghiuri, jumătate din suma lor este de 180 ° - θ . Deoarece cos (180 ° - θ ) = −cos θ , avem cos ² (180 ° - θ ) = cos ² θ .) Această formulă mai generală este cunoscută sub numele de formula lui Bretschneider .

Este o proprietate a patrulaterelor ciclice (și în cele din urmă a unghiurilor inscripționate ) care unghiurile opuse ale unei sume patrulatere la 180 °. În consecință, în cazul unui patrulater inscripționat, θ este 90 °, de unde termenul

${\ displaystyle abcd \ cos ^ {2} \ theta = abcd \ cos ^ {2} \ left (90 ^ {\ circ} \ right) = abcd \ cdot 0 = 0,}$

dând forma de bază a formulei lui Brahmagupta. Din ultima ecuație rezultă că aria unui patrulater ciclic este aria maximă posibilă pentru orice patrulater cu lungimile laterale date.

O formulă înrudită, care a fost dovedită de Coolidge , oferă și aria unui patrulater convex general. Este

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - \ textstyle {1 \ over 4} (ac + bd + pq) (ac + bd-pq)}}}$

unde p și q sunt lungimile diagonalelor patrulaterului. Într-un patrulater ciclic , pq = ac + bd conform teoremei lui Ptolemeu , iar formula lui Coolidge se reduce la formula lui Brahmagupta.

Teoreme conexe

• Formula Heron pentru aria unui triunghi este cazul special obținut luând d = 0 .
• Relația dintre forma generală și forma extinsă a formulei lui Brahmagupta este similară cu modul în care legea cosinusului extinde teorema lui Pitagora .
• Există formule închise din ce în ce mai complicate pentru zona poligoanelor generale de pe cercuri, așa cum este descris de Maley și colab.

Referințe

linkuri externe

• Formula lui Brahmagupta la ProofWiki
• Weisstein, Eric W. „Formula lui Brahmagupta” . MathWorld .

Acest articol încorporează materiale din dovada formulei lui Brahmagupta pe PlanetMath , care este licențiată sub licența Creative Commons Attribution / Share-Alike .