Forme diferențiale închise și exacte - Closed and exact differential forms

În matematică , în special calculul vectorial și topologia diferențială , o formă închisă este o formă diferențială α a cărei derivată exterioară este zero ( dα = 0 ), iar o formă exactă este o formă diferențială, α , adică derivata exterioară a unei alte forme diferențiale β . Astfel, o formă exactă este în imaginea lui d , iar o formă închisă se află în nucleul lui d .

Pentru o formă exactă α , α = dβ pentru o formă diferențială β de gradul unu mai mică decât cea a lui α . Forma β este numită „formă potențială” sau „primitivă” pentru α . Deoarece derivatul exterior al unei forme închise este zero, β nu este unic, dar poate fi modificat prin adăugarea oricărei forme închise de gradul unu mai mic decât cel al lui α .

Deoarece d ² = 0 , fiecare formă exactă este neapărat închisă. Întrebarea dacă fiecare formă închisă este exactă depinde de topologia domeniului de interes. Pe un domeniu contractabil , fiecare formă închisă este exactă prin lema Poincaré . Întrebări mai generale de acest fel pe o varietate arbitrară diferențiată fac obiectul cohomologiei de Rham , care permite obținerea de informații pur topologice folosind metode diferențiale.

Exemple

Un exemplu simplu de formă închisă dar nu exactă este forma 1 dată de derivata argumentului pe planul perforat . Deoarece nu este de fapt o funcție (a se vedea paragraful următor) nu este o formă exactă. Totuși, are un derivat care dispare și, prin urmare, este închis. ${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

Rețineți că argumentul este definit numai până la un multiplu întreg , deoarece un singur punct poate fi atribuit diferite argumente , , etc Putem atribui argumente într - un mod coerent la nivel local în jurul valorii , dar nu într - un mod consecvent la nivel global. Acest lucru se datorează faptului că dacă urmărim o buclă din sens invers acelor de ceasornic în jurul originii și înapoi la , argumentul crește cu . În general, argumentul se schimbă prin ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r + 2 \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ oint _ {S ^ {1}} d \ theta}$

peste o buclă orientată în sens invers acelor de ceasornic .${\ displaystyle S ^ {1}}$

Chiar dacă argumentul nu este o funcție tehnică, diferitele definiții locale ale unui punct diferă unele de altele prin constante. Deoarece derivata de la folosește doar date locale și din moment ce funcțiile care diferă printr-o constantă au aceeași derivată, argumentul are o derivată bine definită la nivel global „ ”.${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d \ theta}$

Rezultatul este că este o formă unică care nu este de fapt derivatul unei funcții bine definite . Spunem că nu este exact . În mod explicit, este dat ca: ${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$${\ displaystyle d \ theta}$

${\ displaystyle d \ theta = {\ frac {-y \, dx + x \, dy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$

care prin inspecție are derivat zero. Deoarece are un derivat care dispare, spunem că este închis . ${\ displaystyle d \ theta}$

Această formă generează de grupul de coomologie Rham ceea ce înseamnă că orice formă închisă este suma o formă exactă și un multiplu de : , în cazul în care conturile pentru o integrală contur non-trivială în jurul valorii de origine, care este singura obstrucție la o formă închisă în planul perforat (local derivatul unei funcții potențiale ) fiind derivatul unei funcții definite global. ${\ displaystyle H_ {dR} ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}) \ cong \ mathbf {R},}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle d \ theta}$ ${\ displaystyle \ omega = df + k \ d \ theta}$${\ textstyle k = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {S ^ {1}} \ omega}$

Exemple în dimensiuni reduse

Formele diferențiale în R ² și R ³ erau bine cunoscute în fizica matematică a secolului al XIX-lea. În plan, formele 0 sunt doar funcții, iar formele 2 sunt funcții de ori elementul de bază de bază dx ∧ dy , astfel încât este forma 1

${\ displaystyle \ alpha = f (x, y) \, dx + g (x, y) \, dy}$

care sunt de real interes. Formula pentru derivatul exterior d aici este

${\ displaystyle d \ alpha = (g_ {x} -f_ {y}) \, dx \ wedge dy}$

unde indicii indică derivate parțiale . Prin urmare, condiția pentru a fi închis este ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle f_ {y} = g_ {x}.}$

În acest caz, dacă h ( x , y ) este o funcție, atunci

${\ displaystyle dh = h_ {x} \, dx + h_ {y} \, dy.}$

Implicația de la „exact” la „închis” este apoi o consecință a simetriei derivatelor secundare , în raport cu x și y .

Gradientul Teorema afirmă că o 1-formă este exactă dacă și numai dacă integralei linie a formei depinde numai de capetele curbei sau Echivalent, în cazul integralei în jurul oricărei curbe netede închisă este zero.

Analogii câmpului vectorial

Pe o varietate Riemanniană , sau mai general pe o varietate pseudo-Riemanniană , formele k corespund câmpurilor k -vectoriale (prin dualitate prin metrică ), deci există o noțiune de câmp vectorial care corespunde unei forme închise sau exacte.

În 3 dimensiuni, un câmp vector exact (gândit ca o formă 1) se numește câmp vector conservator , ceea ce înseamnă că este derivatul ( gradientul ) unei forme 0 (câmp scalar neted), numit potențial scalar . Un câmp vector închis (considerat ca o formă 1) este unul al cărui derivat ( curl ) dispare și se numește câmp vector irotațional .

Gândindu-ne la un câmp vector ca la o formă 2, un câmp vector închis este unul a cărui derivată ( divergență ) dispare și se numește flux incompresibil (uneori câmp vector solenoidal ). Termenul incompresibil este folosit deoarece o divergență non-zero corespunde prezenței surselor și chiuvetelor în analogie cu un fluid.

Conceptele de câmpuri vectoriale conservatoare și incompresibile generalizează la n dimensiuni, deoarece gradientul și divergența generalizează la n dimensiuni; bucla este definită doar în trei dimensiuni, astfel conceptul de câmp vector irotațional nu se generalizează în acest fel.

Lema Poincaré

Poincaré Lema precizează că , dacă B este o minge deschisă în R ⁿ , orice neted închis p forma a ω definita pe B este exact, pentru orice întreg p cu 1 ≤ p ≤ n .

Traducând dacă este necesar, se poate presupune că bila B are centrul 0. Fie α _s fluxul pe R ⁿ definit de α _s x = e ^{- s} x . Pentru s ≥ 0 poartă B în sine și induce o acțiune asupra funcțiilor și formelor diferențiale. Derivata fluxului este câmpul vector X definit pe funcțiile f de Xf = d ( α _s f ) / ds | _{s = 0} : este câmpul radial radial - r ∂/∂ r= −Σ x _i ∂/∂ x _i. Derivata fluxului pe forme definește derivata Lie în raport cu X dat de . În special ${\ textstyle L_ {X} \ omega = \ left. {\ frac {d (\ alpha _ {s} \ omega)} {ds}} \ right | _ {s = 0}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ alpha _ {s} \ omega = \ alpha _ {s} L_ {X} \ omega,}$

Acum definește

${\ displaystyle h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} \ omega \, dt.}$

Prin teorema fundamentală a calculului avem că

${\ displaystyle L_ {X} h \, \ omega = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ alpha _ {t} L_ {X} \ omega \, dt = - \ int _ {0} ^ { \ infty} {d \ over dt} (\ alpha _ {t} \ omega) \, dt = - [\ alpha _ {t} \ omega] _ {0} ^ {\ infty} = \ omega.}$

Cu fiind multiplicarea interior sau contracția de câmp vectorial X , formula Cartan prevede că ${\ displaystyle \ iota _ {X}}$

${\ displaystyle L_ {X} = d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d.}$

Folosind faptul că d navete cu L _X , și h , obținem: ${\ displaystyle \ alpha _ {s}}$

${\ displaystyle \ omega = L_ {X} h \, \ omega = (d \ iota _ {X} + \ iota _ {X} d) h \ omega = d (\ iota _ {X} h \ omega) + \ iota _ {X} hd \ omega.}$

Setare

${\ displaystyle g (\ omega) = \ iota _ {X} h (\ omega),}$

duce la identitate

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ omega.}$

Rezultă acum că dacă ω este închis, adică dω = 0 , atunci d ( g ω ) = ω , astfel încât ω este exactă și se dovedește lema Poincaré.

(În limbajul algebrei omologice , g este o „omotopie contractantă”.)

Aceeași metodă se aplică oricărui set deschis din R ⁿ care are formă de stea aproximativ 0, adică orice set deschis conținând 0 și invariant sub α _t for . ${\ displaystyle 1 <t <\ infty}$

O altă dovadă standard a lemei Poincaré folosește formula de invarianță a homotopiei și poate fi găsită în Singer & Thorpe (1976 , pp. 128-132), Lee (2012) , Tu (2011) și Bott & Tu (1982) . Forma locală a operatorului de homotopie este descrisă în Edelen (2005), iar legătura lemei cu forma Maurer-Cartan este explicată în Sharpe (1997) .

Această formulare poate fi formulată în termeni de homotopies între domenii deschise U în R ^m și V în R ⁿ . Dacă F ( t , x ) este o homotopie de la [0,1] × U la V , setați F _t ( x ) = F ( t , x ). Pentru o formă p pe V , definiți ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle g (\ omega) = \ int _ {0} ^ {1} \ iota _ {\ partial _ {t}} (F_ {t} ^ {*} (\ omega)) \, dt}$

Atunci

${\ displaystyle (dg + gd) \, \ omega = \ int _ {0} ^ {1} (d \ iota _ {\ partial _ {t}} + \ iota _ {\ partial _ {t}} d) F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} L _ {\ partial _ {t}} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = \ int _ {0} ^ {1} \ partial _ {t} F_ {t} ^ {*} (\ omega) \, dt = F_ {1} ^ {*} (\ omega) -F_ {0} ^ {*} (\ omega).}$

Exemplu : În două dimensiuni, lema Poincaré poate fi dovedită direct pentru formele închise cu 1 și 2, după cum urmează.

Dacă ω = p dx + q dy este o formă închisă 1 pe ( a , b ) × ( c , d ) , atunci p _y = q _x . Dacă ω = df atunci p = f _x și q = f _y . A stabilit

${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt,}$

astfel încât g _x = p . Atunci h = f - g trebuie să satisfacă h _x = 0 și h _y = q - g _y . Partea dreaptă aici este independentă de x, deoarece derivata sa parțială față de x este 0. Deci

${\ displaystyle h (x, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds-g (a, y) = \ int _ {c} ^ {y} q (a , s) \, ds,}$

și, prin urmare

${\ displaystyle f (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} p (t, y) \, dt + \ int _ {c} ^ {y} q (a, s) \, ds.}$

În mod similar, dacă Ω = r dx ∧ dy atunci Ω = d ( a dx + b dy ) cu b _x - a _y = r . Astfel o soluție este dată de a = 0 și

${\ displaystyle b (x, y) = \ int _ {a} ^ {x} r (t, y) \, dt.}$

Formularea ca cohomologie

Când diferența dintre două forme închise este o formă exactă, se spune că sunt cohomologe între ele. Adică, dacă ζ și η sunt forme închise și se pot găsi unele β astfel încât

${\ displaystyle \ zeta - \ eta = d \ beta}$

atunci se spune că ζ și η sunt cohomologi unii cu alții. Formele exacte se spune uneori că sunt cohomologe la zero . Setul tuturor formelor cohomologe unei forme date (și deci reciproc) se numește clasă de cohomologie de Rham ; studiul general al acestor clase este cunoscut sub numele de cohomologie . Nu are sens să ne întrebăm dacă o formă 0 (funcție lină) este exactă, deoarece d crește gradul cu 1; dar indicii din topologie sugerează că numai funcția zero ar trebui numită „exactă”. Clasele de cohomologie sunt identificate cu funcții constante la nivel local .

Folosind homotopii contractante similare cu cele utilizate în dovada lemei Poincaré, se poate arăta că cohomologia de Rham este homotopie-invariantă.

Aplicare în electrodinamică

În electrodinamică, cazul câmpului magnetic produs de un curent electric staționar este important. Acolo se ocupă de potențialul vectorial al acestui câmp. Acest caz corespunde cu k = 2 , iar regiunea definitorie este completă . Vectorul densității curentului este . Acesta corespunde formei curente cu două ${\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {I}: = j_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d }} x_ {3} + j_ {2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {3} \ wedge {\ rm {d}} x_ {1} + j_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \, {\ rm {d}} x_ {1} \ wedge {\ rm {d}} x_ {2} .}$

Pentru câmpul magnetic are rezultate analoage: aceasta corespunde cu inducție cu două formă , și pot fi derivate din potențialul vector , sau corespunzător o singură formă , ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {B}: = B_ {1} {\ rm {d}} x_ {2} \ wedge {\ rm {d}} x_ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}} = \ left \ {{\ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {2}}} - { \ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {3}}}, {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} - {\ frac {\ partial A_ {3 }} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partial A_ {2}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2 }}} \ right \}, {\ text {or}} \ Phi _ {B} = {\ rm {d}} \ mathbf {A}.}$

Prin urmare, potențialul vectorial corespunde potențialului o formă ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A}: = A_ {1} \, {\ rm {d}} x_ {1} + A_ {2} \, {\ rm {d}} x_ {2} + A_ {3} \, {\ rm {d}} x_ {3}.}$

Closedness a-inducție magnetică corespunde cu două formă pentru proprietatea câmpului magnetic , care este sursă liberă: , adică, că nu există monopoli magnetice . ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {B}} \ equiv 0}$

Într-un ecartament special , acest lucru implică pentru i = 1, 2, 3${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {A}} {~ {\ stackrel {!} {=}} ~} 0}$

${\ displaystyle A_ {i} ({\ vec {r}}) = \ int {\ frac {\ mu _ {0} j_ {i} \ left ({\ vec {r}} ^ {\, '} \ dreapta) \, \, dx_ {1} 'dx_ {2}' dx_ {3} '} {4 \ pi | {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} } \ ,.}$

(Iată o constantă, permeabilitatea la vid magnetic.) ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

Această ecuație este remarcabilă, deoarece corespunde complet unei formule bine cunoscute pentru câmpul electric , și anume pentru potențialul electrostatic Coulomb al unei densități de sarcină . În acest loc se poate ghici deja asta ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ rho (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

• ${\ displaystyle {\ vec {E}}}$ și ${\ displaystyle {\ vec {B}},}$
• ${\ displaystyle \ rho}$ și ${\ displaystyle {\ vec {j}},}$
• ${\ displaystyle \ phi}$ și ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

poate fi unificat la cantități cu șase rsp. patru componente netriviale, care sta la baza invarianței relativiste a ecuațiilor Maxwell .

Dacă starea staționarității este lăsată, în partea stângă a ecuației menționate mai sus trebuie să adăugăm, în ecuațiile pentru , la cele trei coordonate spațiale, ca a patra variabilă și timpul t , în timp ce în partea dreaptă parte, în , așa-numitul „timp retardat“, , trebuie să fie utilizate, adică se adaugă la argumentul densității de curent. În cele din urmă, ca și înainte, se integrează peste cele trei coordonate spațiale amorsate. (Ca de obicei c este viteza de vid a luminii.) ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle j_ {i} '}$${\ displaystyle t ': = t - {\ frac {| {\ vec {r}} - {\ vec {r}} ^ {\,'} |} {c}}}$

Note

Note de subsol

Referințe

• Flanders, Harley (1989) [1963]. Forme diferențiale cu aplicații la științele fizice . New York: publicațiile Dover . ISBN 978-0-486-66169-8..
• Warner, Frank W. (1983), Fundamente ale varietăților diferențiate și ale grupurilor de minciuni , Texte postuniversitare în matematică, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), O introducere la suprafețele Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1976), Note de prelegere despre topologie și geometrie elementară , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784