Ecuația Hagen – Poiseuille - Hagen–Poiseuille equation

În dinamica fluidelor neideale , ecuația Hagen – Poiseuille , cunoscută și sub numele de legea Hagen – Poiseuille , legea Poiseuille sau ecuația Poiseuille , este o lege fizică care dă căderea de presiune într-un fluid incompresibil și newtonian în fluxul laminar care curge printr-o conductă cilindrică lungă de secțiune transversală constantă. Poate fi aplicat cu succes la fluxul de aer din alveolele pulmonare sau la fluxul printr-o paie de băut sau printr-un ac hipodermic . A fost derivat experimental de Jean Léonard Marie Poiseuille în 1838 și Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen și publicat de Poiseuille în 1840–41 și 1846. Justificarea teoretică a legii Poiseuille a fost dată de George Stokes în 1845.

Ipotezele ecuației sunt că fluidul este incompresibil și newtonian ; curgerea este laminară printr - o conductă de constantă secțiune transversală circulară , care este substanțial mai mare decât diametrul său; și nu există nicio accelerare a fluidului în conductă. Pentru viteze și diametre ale conductelor peste un prag, debitul real al fluidului nu este laminar, ci turbulent , ducând la scăderi de presiune mai mari decât cele calculate de ecuația Hagen-Poiseuille.

Ecuația lui Poiseuille descrie căderea de presiune datorată vâscozității fluidului; Alte tipuri de căderi de presiune pot apărea în continuare într-un fluid (a se vedea o demonstrație aici). De exemplu, presiunea necesară pentru a conduce un fluid vâscos împotriva gravitației ar conține atât cea necesară în legea lui Poiseuille, cât și cea necesară în ecuația lui Bernoulli , astfel încât orice punct al fluxului ar avea o presiune mai mare decât zero (altfel nici un flux nu ar avea întâmpla).

Un alt exemplu este atunci când curge într - o mai îngust de sânge gâtuire , viteza sa va fi mai mare decât într - un diametru mai mare (datorită continuității de debit volumetric ), iar presiunea va fi mai mică decât într - un diametru mai mare (datorită ecuației lui Bernoulli). Cu toate acestea, vâscozitatea sângelui va provoca scăderi suplimentare de presiune de-a lungul direcției de curgere, care este proporțională cu lungimea parcursă (conform Legii lui Poiseuille). Ambele efecte contribuie la scăderea efectivă a presiunii.

Ecuaţie

În notația standard a fluidelor-cinetică:

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu LQ} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ pi \ mu LQ} {A ^ {2}}}}$

Unde:

Δ p este diferența de presiune între cele două capete,

L este lungimea conductei,

μ este vâscozitatea dinamică ,

Q este debitul volumetric ,

R este raza conductei ,

A este secțiunea transversală a conductei.

Ecuația nu se menține aproape de intrarea conductei.

Ecuația eșuează în limita vâscozității scăzute, a țevii largi și / sau scurte. Vâscozitatea redusă sau o conductă largă pot duce la un flux turbulent, ceea ce face necesară utilizarea unor modele mai complexe, cum ar fi ecuația Darcy-Weisbach . Raportul dintre lungime și raza unei conducte ar trebui să fie mai mare de un patruzeci și opt din numărul Reynolds pentru ca legea Hagen – Poiseuille să fie valabilă. Dacă conducta este prea scurtă, ecuația Hagen – Poiseuille poate duce la debituri nefizic ridicate; fluxul este delimitat de principiul lui Bernoulli , în condiții mai puțin restrictive, de

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ overline {v}} _ {\ text {max}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ left ({\ frac {Q _ {\ max} {}} {\ pi R ^ {2}}} \ right) ^ {2} \, \, \, \ rightarrow \, \, \, Q _ {\ max} {} = \ pi R ^ {2} {\ sqrt {\ frac {2 \ Delta p} {\ rho}}},}$

deoarece este imposibil să ai o presiune mai mică decât zero (absolută) (nu trebuie confundată cu presiunea manometrului ) într-un debit incompresibil.

Relația cu ecuația Darcy – Weisbach

În mod normal, debitul Hagen – Poiseuille implică nu doar relația pentru căderea de presiune de mai sus, ci și soluția completă pentru profilul fluxului laminar, care este parabolic. Cu toate acestea, rezultatul pentru scăderea de presiune poate fi extins la fluxul turbulent prin deducerea unei vâscozități turbulente efective în cazul fluxului turbulent, chiar dacă profilul de curgere în fluxul turbulent nu este strict parabolic. În ambele cazuri, laminar sau turbulent, scăderea de presiune este legată de stresul de la perete, care determină așa-numitul factor de frecare. Stresul peretelui poate fi determinat fenomenologic prin ecuația Darcy – Weisbach din domeniul hidraulicii , având în vedere o relație pentru factorul de frecare în ceea ce privește numărul Reynolds. În cazul fluxului laminar, pentru o secțiune transversală circulară:

${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {64} {\ mathrm {Re}}}, \ quad \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho vd} {\ mu}},}$

unde Re este numărul Reynolds , ρ este densitatea fluidului și v este viteza medie de curgere, care este jumătate din viteza maximă de curgere în cazul fluxului laminar. Se dovedește mai util să se definească numărul Reynolds în funcție de viteza medie a debitului, deoarece această cantitate rămâne bine definită chiar și în cazul fluxului turbulent, în timp ce viteza maximă a debitului poate să nu fie sau, în orice caz, poate fi dificil de dedus . În această formă legea aproximează factorul de frecare Darcy , energie (cap) factorul de pierderi , factor de pierdere prin frecare sau Darcy (frecare) factorul Λ în curgerea laminară la viteze foarte mici în tub cilindric. Derivarea teoretică a unei forme ușor diferite a legii a fost realizată independent de Wiedman în 1856 și Neumann și E. Hagenbach în 1858 (1859, 1860). Hagenbach a fost primul care a numit această lege legea lui Poiseuille.

Legea este, de asemenea, foarte importantă în hemorheologie și hemodinamică , ambele domenii ale fiziologiei .

Legea lui Poiseuille a fost extinsă mai târziu în 1891 la fluxul turbulent de L. R. Wilberforce, pe baza operei lui Hagenbach.

Derivare

Ecuația Hagen-Poiseuille poate fi derivată din ecuațiile Navier-Stokes . Fluxul laminar printr-o conductă cu secțiune transversală uniformă (circulară) este cunoscut sub numele de flux Hagen – Poiseuille. Ecuațiile care guvernează fluxul Hagen – Poiseuille pot fi derivate direct din ecuațiile impulsului Navier-Stokes în coordonate cilindrice 3D, făcând următorul set de ipoteze: ${\ displaystyle (r, \ theta, x)}$

1. Debitul este constant ( ).${\ displaystyle \ partial (...) / \ partial t = 0}$
2. Componentele radiale și azimutale ale vitezei fluidului sunt zero ( ).${\ displaystyle u_ {r} = u _ {\ theta} = 0}$
3. Debitul este aximetric ( ).${\ displaystyle \ partial (...) / \ partial \ theta = 0}$
4. Fluxul este complet dezvoltat ( ). Aici Cu toate acestea, acest lucru poate fi dovedit prin conservarea în masă și prin ipotezele de mai sus.${\ displaystyle \ partial u_ {x} / \ partial x = 0}$

Atunci ecuația unghiulară din ecuațiile impulsului și ecuația continuității sunt satisfăcute identic. Ecuația impulsului radial se reduce la , adică presiunea este doar o funcție a coordonatei axiale . Pentru concizie, utilizați în loc de . Ecuația impulsului axial se reduce la ${\ displaystyle \ partial p / \ partial r = 0}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {x}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) = {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}}}$

unde este vâscozitatea dinamică a fluidului. În ecuația de mai sus, partea stângă este doar o funcție a și termenul din partea dreaptă este doar o funcție a , ceea ce implică faptul că ambii termeni trebuie să fie aceeași constantă. Evaluarea acestei constante este simplă. Dacă luăm lungimea țevii să fie și notăm diferența de presiune între cele două capete ale țevii cu (presiune ridicată minus presiune scăzută), atunci constanta este pur și simplu definită astfel încât să fie pozitivă. Soluția este ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Delta p}$${\ displaystyle - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = \ Delta p / L = G}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle u = - {\ frac {Gr ^ {2}} {4 \ mu}} + c_ {1} \ ln r + c_ {2}}$

Din moment ce trebuie să fie finit la , . Condiția de limitare a alunecării la peretele țevii necesită aceea la (raza țevii), ceea ce produce astfel În sfârșit avem următorul profil de viteză parabolică : ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle c_ {1} = 0}$${\ displaystyle u = 0}$${\ displaystyle r = R}$${\ displaystyle c_ {2} = GR ^ {2} / (4 \ mu).}$

${\ displaystyle u = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}).}$

Viteza maximă are loc la linia centrală a țevii ( ) ,. Viteza medie poate fi obținută prin integrarea peste secțiunea transversală a țevii , ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle {u} _ {\ rm {max}} = GR ^ {2} / (4 \ mu)}$

${\ displaystyle {u} _ {\ mathrm {avg}} = {\ frac {1} {\ pi R ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi ru \ mathrm {d} r = {\ frac {1} {2}} {u} _ {\ mathrm {max}}.}$

Cantitatea ușor de măsurat în experimente este debitul volumetric . Rearanjarea acestui lucru dă ecuația Hagen – Poiseuille ${\ displaystyle Q = \ pi R ^ {2} {u} _ {\ mathrm {avg}}}$

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {8 \ mu QL} {\ pi R ^ {4}}}.}$

Derivarea elaborată pornind direct de la primele principii

Deși este mai lungă decât folosind direct ecuațiile Navier-Stokes , o metodă alternativă de derivare a ecuației Hagen-Poiseuille este următoarea. Curgerea lichidului printr-o conductă a) Un tub care prezintă lamina imaginară. b) O secțiune transversală a tubului arată lamina care se deplasează la viteze diferite. Cei mai apropiați de marginea tubului se mișcă încet, în timp ce cei din apropierea centrului se mișcă rapid. Să presupunem că lichidul prezintă flux laminar . Fluxul laminar într-o țeavă rotundă prescrie că există o grămadă de straturi circulare (lamina) de lichid, fiecare având o viteză determinată doar de distanța lor radială de centrul tubului. Să presupunem, de asemenea, că centrul se mișcă cel mai rapid, în timp ce lichidul care atinge pereții tubului este staționar (datorită condiției de alunecare ). Pentru a afla mișcarea lichidului, trebuie cunoscute toate forțele care acționează asupra fiecărei lamine: Forța de presiune care împinge lichidul prin tub este modificarea presiunii înmulțită cu aria: F = - A Δ p . Această forță este în direcția mișcării lichidului. Semnul negativ provine din modul convențional în care definim Δ p = p end - p top <0 . Efectele de viscozitate vor trage de la lamina mai rapidă imediat mai aproape de centrul tubului. Efectele de viscozitate vor trage de pe lamina mai lentă imediat mai aproape de pereții tubului. Viscozitate Două fluide care se deplasează unul peste altul în direcția x . Lichidul de deasupra se mișcă mai repede și va fi tras în direcția negativă de lichidul de jos, în timp ce lichidul de jos va fi tras în direcția pozitivă de lichidul de sus. Când două straturi de lichid în contact unul cu celălalt se mișcă la viteze diferite, va exista o forță de forfecare între ele. Această forță este proporțională cu aria de contact A , gradientul de viteză perpendicular pe direcția de curgere Δ v x/Δ y, și o constantă de proporționalitate (vâscozitate) și este dată de ${\ displaystyle F _ {\ text {viscosity, top}} = - \ mu A {\ frac {\ Delta v_ {x}} {\ Delta y}}.}$ Semnul negativ se află acolo, deoarece ne preocupă lichidul care se mișcă mai repede (sus în figură), care este încetinit de lichidul mai lent (jos în figură). Prin a treia lege a mișcării lui Newton , forța asupra lichidului mai lent este egală și opusă (fără semn negativ) forței asupra lichidului mai rapid. Această ecuație presupune că zona de contact este atât de mare încât putem ignora orice efect de la margini și că fluidele se comportă ca fluide newtoniene . Lamină mai rapidă Să presupunem că descoperim forța pe lamina cu raza r . Din ecuația de mai sus, trebuie să cunoaștem aria de contact și gradientul de viteză . Gândiți-vă la lamă ca la un inel de rază r , grosime dr și lungime Δ x . Zona de contact dintre lamă și cea mai rapidă este pur și simplu zona din interiorul cilindrului: A = 2π r Δ x . Nu știm încă forma exactă a vitezei lichidului din interiorul tubului, dar știm (din presupunerea noastră de mai sus) că acesta este dependent de rază. Prin urmare, gradientul de viteză este schimbarea vitezei în raport cu schimbarea razei la intersecția acestor două lamine. Această intersecție este pe o rază de r . Deci, având în vedere că această forță va fi pozitivă în ceea ce privește mișcarea lichidului (dar derivata vitezei este negativă), forma finală a ecuației devine ${\ displaystyle F _ {\ text {viscosity, fast}} = - 2 \ pi r \ mu \, \ Delta x \, \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r}}$ unde bara verticală și indicele r care urmează derivatei indică faptul că ar trebui luate pe o rază de r . Lamă mai lentă În continuare, să găsim forța de tragere de pe lamina mai lentă. Trebuie să calculăm aceleași valori pe care le-am făcut pentru forța din lamina mai rapidă. În acest caz, zona de contact este la r + dr în loc de r . De asemenea, trebuie să ne amintim că această forță se opune direcției de mișcare a lichidului și, prin urmare, va fi negativă (și că derivata vitezei este negativă). ${\ displaystyle F _ {\ text {viscosity, slow}} = 2 \ pi (r + dr) \ mu \, \ Delta x \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r + dr }}$ Punând totul împreună Pentru a găsi soluția pentru fluxul unui strat laminar printr-un tub, trebuie să facem o ultimă presupunere. Nu există o accelerare a lichidului în conductă și, conform primei legi a lui Newton , nu există o forță netă. Dacă nu există o forță netă, putem adăuga toate forțele împreună pentru a obține zero ${\ displaystyle 0 = F _ {\ text {pressure}} + F _ {\ text {viscosity, fast}} + F _ {\ text {viscosity, slow}}}$ sau ${\ displaystyle 0 = - \ Delta p2 \ pi r \, dr-2 \ pi r \ mu \, \ Delta x \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r} +2 \ pi (r + dr) \ mu \, \ Delta x \, \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right \ vert _ {r + dr}.}$ În primul rând, pentru ca totul să se întâmple în același punct, utilizați primii doi termeni ai unei expansiuni din seria Taylor a gradientului de viteză: ${\ displaystyle \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r + dr} = \ left. {\ frac {dv} {dr}} \ right | _ {r} + \ left. {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} \ right | _ {r} \, dr.}$ Expresia este valabilă pentru toate lamine. Gruparea ca termeni și scăderea barei verticale, deoarece se presupune că toate derivatele sunt la raza r , ${\ displaystyle 0 = - \ Delta p2 \ pi r \, dr + 2 \ pi \ mu \, dr \, \ Delta x {\ frac {dv} {dr}} + 2 \ pi r \ mu \, dr \ , \ Delta x {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} + 2 \ pi \ mu (dr) ^ {2} \, \ Delta x {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}}.}$ În cele din urmă, puneți această expresie sub forma unei ecuații diferențiale , scăpând termenul pătratic în dr . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ Delta p} {\ Delta x}} = {\ frac {d ^ {2} v} {dr ^ {2}}} + { \ frac {1} {r}} {\ frac {dv} {dr}}}$ Ecuația de mai sus este aceeași cu cea obținută din ecuațiile Navier-Stokes, iar derivarea de aici urmează ca mai înainte.

Pornirea fluxului Poiseuille într-o conductă

Când se aplică un gradient de presiune constant între cele două capete ale unei conducte lungi, debitul nu va obține imediat profilul Poiseuille, ci se dezvoltă în timp și atinge profilul Poiseuille la starea de echilibru. Cele ecuațiile Navier-Stokes reduc la ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {G} {\ rho}} + \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right)}$

cu condiții inițiale și limită,

${\ displaystyle u (r, 0) = 0, \ quad u (R, t) = 0.}$

Distribuția vitezei este dată de

${\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}) - {\ frac {2GR ^ {2}} {\ mu} } \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {3}}} {\ frac {J_ {o} (\ lambda _ {n} r / R)} {J_ {1} (\ lambda _ {n})}} e ^ {- \ lambda _ {n} ^ {2} {\ frac {\ nu t} {R ^ {2}}}}, \ quad J_ {o} (\ lambda _ {n}) = 0}$

unde este funcția Bessel a primului tip de ordine zero și sunt rădăcinile pozitive ale acestei funcții și este funcția Bessel a primului tip de ordine una. De asemenea , soluția Poiseuille este recuperată. ${\ displaystyle J_ {o} (\ lambda _ {n} r / R)}$${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle J_ {1} (\ lambda _ {n})}$${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$

Fluxul Poiseuille într-o secțiune inelară

Fluxul Poiseuille în secțiune inelară

Dacă este razele cilindrului interior și este razele cilindrului exterior, cu gradient de presiune aplicat între cele două capete , distribuția vitezei și fluxul de volum prin conducta inelară sunt ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (r) & = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R_ {1} ^ {2} -r ^ {2}) + {\ frac {G} {4 \ mu}} (R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2}) {\ frac {\ ln (r / R_ {1})} {\ ln (R_ {2} / R_ {1})}}, \\ Q & = {\ frac {G \ pi} {8 \ mu}} \ left [R_ {2} ^ {4} -R_ {1} ^ {4} - {\ frac { (R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2}) ^ {2}} {\ ln R_ {2} / R_ {1}}} \ right]. \ End {align}}}$

Când se recuperează problema inițială. ${\ displaystyle R_ {2} = R, \ R_ {1} = 0}$

Debitul Poiseuille într-o conductă cu un gradient de presiune oscilant

Fluxul prin conducte cu un gradient de presiune oscilant găsește aplicații în fluxul de sânge prin arterele mari. Gradientul de presiune impus este dat de

${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = - G- \ alpha \ cos \ omega t- \ beta \ sin \ omega t}$

unde , și sunt constante și este frecvența. Câmpul de viteză este dat de ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {G} {4 \ mu}} (R ^ {2} -r ^ {2}) + [\ alpha F_ {2} + \ beta (F_ {1 } -1)] {\ frac {\ cos \ omega t} {\ rho \ omega}} + [\ beta F_ {2} + \ alpha (F_ {1} -1)] {\ frac {\ sin \ omega t} {\ rho \ omega}}}$

Unde

${\ displaystyle F_ {1} (kr) = {\ frac {\ mathrm {ber} (kr) \ mathrm {ber} (kR) + \ mathrm {bei} (kr) \ mathrm {bei} (kR)} { \ mathrm {ber} ^ {2} (kR) + \ mathrm {bei} ^ {2} (kR)}},}$

${\ displaystyle F_ {2} (kr) = {\ frac {\ mathrm {ber} (kr) \ mathrm {bei} (kR) - \ mathrm {bei} (kr) \ mathrm {ber} (kR)} { \ mathrm {ber} ^ {2} (kR) + \ mathrm {bei} ^ {2} (kR)}},}$

unde și sunt funcțiile Kelvin și . ${\ displaystyle \ mathrm {ber}}$${\ displaystyle \ mathrm {bei}}$${\ displaystyle k ^ {2} = \ rho \ omega / \ mu}$

Flux Poiseuille plan

Flux Poiseuille plan

Fluxul Plane Poiseuille este debitul creat între două plăci paralele infinit de lungi, separate de o distanță cu un gradient de presiune constant se aplică în direcția fluxului. Fluxul este în esență unidirecțional din cauza lungimii infinite. Cele ecuațiile Navier-Stokes reduc la ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} y ^ {2}}} = - {\ frac {G} {\ mu}}}$

cu stare antiderapantă pe ambii pereți

${\ displaystyle u (0) = 0, \ quad u (h) = 0}$

Prin urmare, distribuția vitezei și debitul volumic pe unitate de lungime sunt

${\ displaystyle u (y) = {\ frac {G} {2 \ mu}} y (hy), \ quad Q = {\ frac {Gh ^ {3}} {12 \ mu}}.}$

Poiseuille curge prin unele secțiuni transversale necirculare

Joseph Boussinesq a determinat profilul de viteză și debitul volumului în 1868 pentru canalul dreptunghiular și tuburile cu secțiune triunghiulară echilaterală și pentru secțiunea eliptică. Joseph Proudman a derivat același lucru pentru triunghiurile isoscele în 1914. Fie gradientul constant de presiune care acționează în direcție paralelă cu mișcarea. ${\ displaystyle G = - \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} x = {\ text {constant}}}$

Viteza și debitul volumului într-un canal dreptunghiular de înălțime și lățime sunt ${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq h}$${\ displaystyle 0 \ leq z \ leq l}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu}} y (hy) - {\ frac {4Gh ^ {2}} {\ mu \ pi ^ {3}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n-1) ^ {3}}} {\ frac {\ sinh (\ beta _ {n} z ) + \ sinh (\ beta _ {n} (lz))} {\ sinh (\ beta _ {n} l)}} \ sin (\ beta _ {n} y), \ quad \ beta _ {n} = {\ frac {(2n-1) \ pi} {h}}, \\ Q & = {\ frac {Gh ^ {3} l} {12 \ mu}} - {\ frac {16Gh ^ {4}} {\ pi ^ {5} \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n-1) ^ {5}}} {\ frac {\ cosh (\ beta _ {n} l) -1} {\ sinh (\ beta _ {n} l)}}. \ end {align}}}$

Viteza și debitul volumului tubului cu secțiune transversală triunghiulară echilaterală de lungime laterală sunt ${\ displaystyle 2h / {\ sqrt {3}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = - {\ frac {G} {4 \ mu h}} (yh) (y ^ {2} -3z ^ {2}), \\ Q & = {\ frac {Gh ^ {4}} {60 {\ sqrt {3}} \ mu}}. \ End {align}}}$

Viteza și debitul volumului în triunghiul isoscel unghiular sunt ${\ displaystyle y = \ pi, \ y \ pm z = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu}} (y ​​+ z) (\ pi -y) - {\ frac {G} {\ pi \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ beta _ {n} ^ {3} \ sinh (2 \ pi \ beta _ {n})}} \ {\ sinh [\ beta _ {n} (2 \ pi -y + z)] \ sin [\ beta _ {n} (y + z)] - \ sinh [\ beta _ {n} (y + z) ] \ sin [\ beta _ {n} (yz)] \}, \ quad \ beta _ {n} = n - {\ frac {1} {2}}, \\ Q & = {\ frac {G \ pi ^ {4}} {12 \ mu}} - {\ frac {G} {2 \ pi \ mu}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ beta _ { n} ^ {5}}} [\ coth (2 \ pi \ beta _ {n}) + \ csc (2 \ pi \ beta _ {n})]. \ end {align}}}$

Distribuția vitezei pentru tuburile de secțiune eliptică cu semi-axă și este ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ begin {align} u (y, z) & = {\ frac {G} {2 \ mu \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1 } {b ^ {2}}} \ right)}} \ left (1 - {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right), \\ Q & = {\ frac {\ pi Ga ^ {3} b ^ {3}} {4 \ mu (a ^ {2} + b ^ {2})}} . \ end {align}}}$

Aici, când , se recuperează debitul Poiseuille pentru țeava circulară și când , se recuperează debitul Poiseuille plan . Soluții mai explicite cu secțiuni transversale, cum ar fi secțiuni în formă de melc, secțiuni având forma unui cerc de crestătură urmând un semicerc, secțiuni inelare între elipse homofocale, secțiuni inelare între cercuri neconcentrice sunt, de asemenea, disponibile, după cum a revizuit Ratip Berker  [ tr ; de ] . ${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle a \ rightarrow \ infty}$

Poiseuille curge printr-o secțiune transversală arbitrară

Fluxul prin secțiune transversală arbitrară îndeplinește condiția pe care se află pe pereți. Ecuația de guvernare se reduce la ${\ displaystyle u (y, z)}$${\ displaystyle u = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial z ^ {2}}} = - {\ frac {G} {\ mu}}.}$

Dacă introducem o nouă variabilă dependentă ca

${\ displaystyle U = u + {\ frac {G} {4 \ mu}} (y ​​^ {2} + z ^ {2}),}$

atunci este ușor de văzut că problema se reduce la aceea integrând o ecuație Laplace

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = 0 }$

satisfacerea condiției

${\ displaystyle U = {\ frac {G} {4 \ mu}} (y ​​^ {2} + z ^ {2})}$

pe perete.

Ecuația lui Poiseuille pentru un gaz izoterm ideal

Pentru un fluid compresibil într-un tub, debitul volumetric (dar nu și debitul masic) și viteza axială nu sunt constante de-a lungul tubului. Debitul este de obicei exprimat la presiunea de ieșire. Pe măsură ce fluidul este comprimat sau se extinde, se lucrează și fluidul este încălzit sau răcit. Aceasta înseamnă că debitul depinde de transferul de căldură către și de la fluid. Pentru un gaz ideal în cazul izotermic , în care temperatura fluidului este lăsată să se echilibreze cu împrejurimile sale, se poate obține o relație aproximativă pentru căderea de presiune. Folosind ecuația de stare a gazului ideal pentru procesul de temperatură constantă, relația poate fi obținută. Pe o secțiune scurtă a conductei, gazul care curge prin conductă poate fi presupus a fi incompresibil, astfel încât legea Poiseuille să poată fi utilizată local, ${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle Qp = Q_ {1} p_ {1} = Q_ {2} p_ {2}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {8 \ mu Q} {\ pi R ^ {4}}} = {\ frac {8 \ mu Q_ {2} p_ {2}} {\ pi pR ^ {4}}}.}$

Aici am presupus că gradientul de presiune local nu este prea mare pentru a avea efecte de compresibilitate. Deși la nivel local am ignorat efectele variației presiunii datorate variației densității, pe distanțe mari aceste efecte sunt luate în considerare. Deoarece este independent de presiune, ecuația de mai sus poate fi integrată pe lungimea de dat ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} = {\ frac {16 \ mu LQ_ {2} p_ {2}} {\ pi R ^ {4}}}.}$

Prin urmare, debitul volumetric la ieșirea țevii este dat de

${\ displaystyle Q_ {2} = {\ frac {\ pi R ^ {4}} {16 \ mu L}} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2 }} {p_ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi R ^ {4} (p_ {1} -p_ {2})} {8 \ mu L}} {\ frac {(p_ { 1} + p_ {2})} {2p_ {2}}}.}$

Această ecuație poate fi văzută ca legea lui Poiseuille cu un factor de corecție suplimentar p ₁ + p ₂/2 p ₂ exprimând presiunea medie în raport cu presiunea de ieșire.

Analogia circuitelor electrice

Electricitatea a fost inițial înțeleasă a fi un fel de fluid. Această analogie hidraulică este încă utilă din punct de vedere conceptual pentru înțelegerea circuitelor. Această analogie este, de asemenea, utilizată pentru a studia răspunsul în frecvență al rețelelor fluidomecanice folosind instrumente de circuit, caz în care rețeaua de fluid este denumită circuit hidraulic . Legea lui Poiseuille corespunde legii lui Ohm pentru circuitele electrice, V = IR . Deoarece forța netă care acționează asupra fluidului este egală cu , unde S = π r ² , adică Δ F = π r ² Δ P , atunci din legea lui Poiseuille, rezultă că ${\ displaystyle \ Delta F = S \ Delta p,}$

${\ displaystyle \ Delta F = {\ frac {8 \ mu LQ} {r ^ {2}}}}$.

Pentru circuitele electrice, fie n concentrația particulelor încărcate liber (în m ⁻³ ) și fie q * sarcina fiecărei particule (în coulombi ). (Pentru electroni, q * = e =1.6 × 10 ⁻¹⁹  C. ) Atunci nQ este numărul de particule din volumul Q și nQq * este sarcina lor totală. Aceasta este sarcina care curge prin secțiunea transversală pe unitateatimp, adică curent I . Prin urmare, I = nQq * . În consecință, Q =Eu/nq *, și

${\ displaystyle \ Delta F = {\ frac {8 \ mu LI} {nr ^ {2} q ^ {*}}}.}$

Dar Δ F = Eq , unde q este sarcina totală din volumul tubului. Volumul tubului este egal cu π r ² L , deci numărul de particule încărcate în acest volum este egal cu n π r ² L , iar sarcina lor totală este Deoarece tensiunea V = EL , urmează atunci ${\ displaystyle q = n \ pi r ^ {2} Lq ^ {*}.}$

${\ displaystyle V = {\ frac {8 \ mu LI} {n ^ {2} \ pi r ^ {4} (q ^ {*}) ^ {2}}}.}$

Aceasta este exact legea lui Ohm, unde rezistența R =V/Eu este descris prin formula

${\ displaystyle R = {\ frac {8 \ mu L} {n ^ {2} \ pi r ^ {4} (q ^ {*}) ^ {2}}}}$.

Rezultă că rezistența R este proporțională cu lungimea L a rezistorului, ceea ce este adevărat. Totuși, rezultă, de asemenea, că rezistența R este invers proporțională cu a patra putere a razei r , adică rezistența R este invers proporțională cu a doua putere a secțiunii transversale S = π r ² a rezistorului, care este diferită de formula electrică. Relația electrică pentru rezistență este

${\ displaystyle R = {\ frac {\ rho L} {S}},}$

unde ρ este rezistivitatea; adică rezistența R este invers proporțională cu aria secțiunii transversale S a rezistorului. Motivul pentru care legea lui Poiseuille duce la o formulă diferită pentru rezistența R este diferența dintre fluxul de fluid și curentul electric. Gazul de electroni este inviscid , deci viteza sa nu depinde de distanța față de pereții conductorului. Rezistența se datorează interacțiunii dintre electronii care curg și atomii conductorului. Prin urmare, legea lui Poiseuille și analogia hidraulică sunt utile numai în anumite limite atunci când sunt aplicate electricității. Atât legea lui Ohm, cât și legea lui Poiseuille ilustrează fenomenele de transport .

Aplicații medicale - acces intravenos și administrare de lichide

Ecuația Hagen-Poiseuille este utilă pentru determinarea rezistenței vasculare și, prin urmare, a debitului fluidelor intravenoase (IV) care pot fi realizate folosind diferite dimensiuni de canule periferice și centrale . Ecuația afirmă că debitul este proporțional cu raza până la a patra putere, ceea ce înseamnă că o mică creștere a diametrului intern al canulei produce o creștere semnificativă a debitului fluidelor IV. Raza canulelor IV este de obicei măsurată în „gabarit”, care este invers proporțional cu raza. Canulele IV periferice sunt de obicei disponibile ca (de la mari la mici) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. De exemplu, fluxul unei canule de 14G este de obicei de două ori mai mare decât cel de 16G și de zece ori mai mare decât cel al unei 20G. De asemenea, se afirmă că debitul este invers proporțional cu lungimea, ceea ce înseamnă că liniile mai lungi au debituri mai mici. Acest lucru este important de reținut, deoarece într-o situație de urgență, mulți medici preferă catetere mai scurte, mai mari, comparativ cu catetere mai lungi și mai înguste. Deși are o importanță mai mică din punct de vedere clinic, o schimbare crescută a presiunii (∆ p ) - cum ar fi prin presurizarea pungii de lichid, stoarcerea pungii sau agățarea pungii mai sus (în raport cu nivelul canulei) - poate fi utilizată pentru a accelera debit. De asemenea, este util să înțelegem că fluidele vâscoase vor curge mai lent (de exemplu, în transfuzia de sânge ).

Vezi si

• Fluxul Couette
• Legea lui Darcy
• Puls
• Val
• Circuit hidraulic

Note

Referințe citate

Referințe

• Sutera, SP; Skalak, R. (1993). „Istoria legii lui Poiseuille” . Revizuirea anuală a mecanicii fluidelor . 25 : 1-19. Bibcode : 1993AnRFM..25 .... 1S . doi : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.000245 ..
• Pfitzner, J (1976). „Poiseuille și legea lui”. Anestezie . 31 (2) (publicat în martie 1976). pp. 273-5. doi : 10.1111 / j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID  779509 ..
• Bennett, CO; Myers, JE (1962). Moment, căldură și transfer de masă . McGraw-Hill..

linkuri externe

• Legea lui Poiseuille pentru fluidul non-newtonian legea puterii
• Legea lui Poiseuille într-un tub ușor conic
• Calculatorul ecuației Hagen – Poiseuille