Iordania măsură - Jordan measure

În matematică , măsura Peano-Jordan (cunoscută și sub numele de conținutul Jordan ) este o extensie a noțiunii de dimensiune ( lungime , suprafață , volum ) la forme mai complicate decât, de exemplu, un triunghi , disc sau paralelipiped .

Se pare că, pentru ca un set să aibă măsura Iordaniei, acesta ar trebui să se comporte bine într-un anumit sens restrictiv. Din acest motiv, acum este mai obișnuit să lucrați cu măsura Lebesgue , care este o extensie a măsurii Jordan la o clasă mai mare de seturi. Istoric vorbind, măsura Iordaniei a venit pe primul loc, spre sfârșitul secolului al XIX-lea. Din motive istorice, termenul măsură Jordan este acum bine stabilit, în ciuda faptului că nu este o măsură adevărată în definiția sa modernă, deoarece seturile măsurabile Jordan nu formează o σ-algebră. De exemplu, seturile singleton din fiecare au o măsură Jordan 0, în timp ce , o uniune numărabilă a acestora, nu este măsurabilă Jordan. Din acest motiv, unii autori preferă să utilizeze termenul de conținut Jordan (vezi articolul despre conținut ) .${\ displaystyle \ {x \} _ {x \ in \ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$

Măsura Peano-Jordan este numită după inițiatorii săi, matematicianul francez Camille Jordan și matematicianul italian Giuseppe Peano .

Iordania măsură de "seturi simple"

Un set simplu este, prin definiție, o uniune de dreptunghiuri (posibil suprapuse).

Setul simplu de sus s-a descompus ca o uniune de dreptunghiuri care nu se suprapun.

Să considerăm spațiul euclidian R ⁿ . Unul începe prin luarea în considerare a produselor cu intervale mărginite

${\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}$

care sunt închise la capătul stâng și deschise la capătul drept (intervalele pe jumătate deschise este o alegere tehnică; așa cum vedem mai jos, se pot utiliza intervale închise sau deschise, dacă se preferă). Un astfel de set se va numi dreptunghi n - dimensional sau pur și simplu dreptunghi . Una definește măsura Jordan a unui astfel de dreptunghi pentru a fi produsul lungimilor intervalelor:

${\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

Apoi, se iau în considerare mulțimi simple , uneori numite polirectangle , care sunt uniuni finite ale dreptunghiurilor,

${\ displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}$

pentru orice  k  ≥ 1.

Nu se poate defini măsura Jordan a lui S ca simplă sumă a măsurilor dreptunghiurilor individuale, deoarece o astfel de reprezentare a lui S este departe de a fi unică și ar putea exista suprapuneri semnificative între dreptunghiuri.

Din fericire, orice astfel de mulțime simplă S poate fi rescrisă ca o uniune a unei alte familii finite de dreptunghiuri, dreptunghiuri care de această dată sunt disjuncte reciproc și apoi se definește măsura Jordan m ( S ) ca suma măsurilor dreptunghiurilor disjuncte.

Se poate arăta că această definiție a măsurii Jordan a lui S este independentă de reprezentarea lui S ca o uniune finită a dreptunghiurilor disjuncte. În etapa de „rescriere” se folosește presupunerea dreptunghiurilor făcute din intervale pe jumătate deschise.

Extindere la seturi mai complicate

Un set (reprezentat în imagine prin regiunea din interiorul curbei albastre) este măsurabil în Iordania dacă și numai dacă poate fi bine aproximat atât din interior, cât și din exterior prin seturi simple (limitele lor sunt afișate în verde închis și respectiv roz închis) .

Observați că un set care este un produs de intervale închise,

${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}$

nu este un set simplu și nici o minge . Astfel, până acum setul de seturi măsurabile Iordania este încă foarte limitat. Pasul cheie este apoi definirea unui set mărginit pentru a fi măsurabil Jordan dacă este „bine aproximat” prin seturi simple, exact în același mod în care o funcție este Riemann integrabilă dacă este bine aproximată prin funcții constante în bucăți.

În mod formal, pentru o mulțime delimitată B , definiți-i măsura interioară Iordania ca

${\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ subset B} m (S)}$

iar măsura sa exterioară ca

${\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}$

unde infimumul sunt luate și supremumul peste seturile simple de S . Se spune că mulțimea B este măsurabilă Jordan dacă măsura interioară a lui B este egală cu măsura exterioară. Valoarea comună a celor două măsuri este apoi numit pur și simplu măsura Iordania a B .

Se pare că toate dreptunghiurile (deschise sau închise), precum și toate bilele, simplexele etc., sunt măsurabile în Iordania. De asemenea, dacă se iau în considerare două funcții continue , setul de puncte dintre graficele acelor funcții este măsurabil Jordan cu condiția ca acel set să fie delimitat și domeniul comun al celor două funcții este măsurabil Jordan. Orice uniune finită și intersecție a seturilor măsurabile Jordan este măsurabilă Jordan, precum și diferența setată a oricăror două seturi măsurabile Jordan. Un set compact nu este neapărat măsurabil Jordan. De exemplu, setul gras Cantor nu este. Măsura sa interioară de Iordan dispare, deoarece complementul său este dens ; cu toate acestea, măsura sa exterioară a Iordaniei nu dispare, deoarece nu poate fi mai mică decât (de fapt, este egală cu) măsura sa Lebesgue. De asemenea, un set deschis delimitat nu este neapărat măsurabil Jordan. De exemplu, complementul setului de cantor gras (în interval) nu este. Un set delimitat este măsurabil Jordan dacă și numai dacă funcția sa de indicator este integrabilă Riemann , iar valoarea integralei este măsura sa Jordan. [1]

În mod echivalent, pentru o mulțime delimitată B , măsura Jordan interioară a lui B este măsura Lebesgue a interiorului lui B, iar măsura exterioară Jordan este măsura Lebesgue a închiderii . De aici rezultă că un set mărginit este Jordan măsurabil dacă și numai dacă limita sa are măsura Lebesgue zero. (Sau echivalent, dacă granița are Iordania măsură zero; echivalența se menține datorită compactității graniței.)

Măsura Lebesgue

Această ultimă proprietate limitează foarte mult tipurile de seturi care sunt măsurabile în Iordania. De exemplu, mulțimea numerelor raționale conținute în intervalul [0,1] nu este atunci măsurabilă Jordan, deoarece granița sa este [0,1] care nu este de măsura lui Jordan zero. Intuitiv, totuși, mulțimea numerelor raționale este un set „mic”, deoarece este numărabil și ar trebui să aibă „dimensiunea” zero. Acest lucru este adevărat, dar numai dacă cineva înlocuiește măsura Iordaniei cu măsura Lebesgue . Măsura Lebesgue a unui set este aceeași cu măsura sa Iordania, atâta timp cât acel set are o măsură Iordania. Cu toate acestea, măsura Lebesgue este definită pentru o clasă mult mai largă de mulțimi, cum ar fi setul de numere raționale într-un interval menționat anterior și, de asemenea, pentru mulțimi care pot fi nelimitate sau fractale . De asemenea, măsura Lebesgue, spre deosebire de măsura Jordan, este o măsură adevărată , adică orice uniune numărabilă a seturilor măsurabile Lebesgue este măsurabilă Lebesgue, în timp ce uniunile numărabile ale seturilor măsurabile Jordan nu trebuie să fie măsurabile Jordan.

Referințe

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Analiză reală . Basel, Elveția: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
• Richard Courant; Fritz John (1999). Introducere în calcul și analiză Volumul II / 1: Capitolele 1-4 (Clasici în matematică) . Berlin: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

linkuri externe

• Derwent, John. „Măsura Jordan” . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], „Iordania măsură” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press