Helicitate magnetică - Magnetic helicity

Helicitatea magnetică este o cantitate găsită în contextul magnetohidrodinamicii . Cuantifică aspectele topologice ale liniilor câmpului magnetic: cât de mult sunt legate, răsucite, încovoiate și înnodate. Când rezistivitatea electrică a unui sistem este zero, helicitatea sa magnetică totală este conservată (este un invariant pătratic ideal ). Când un câmp magnetic conține helicitate magnetică, acesta tinde să formeze structuri la scară largă din cele la scară mică. Acest proces poate fi denumit un transfer invers în spațiul Fourier .

Această a doua proprietate face ca helicitatea magnetică să fie specială: fluxurile turbulente tridimensionale tind să „distrugă” structura, în sensul în care vortexurile pe scară largă se despart în altele din ce în ce mai mici (un proces numit „cascadă de energie directă” , descris de Lewis Fry Richardson și Andrey Nikolaevich Kolmogorov ). La cele mai mici scale, vârtejurile sunt disipate în căldură prin efecte vâscoase . Printr-un fel de „cascadă inversă de helicitate magnetică”, se întâmplă opusul: structuri elicoidale mici (cu o helicitate magnetică diferită de zero) duc la formarea câmpurilor magnetice pe scară largă. Acest lucru este de exemplu vizibil în foaia de curent heliosferică - o structură magnetică mare în sistemul nostru solar.

Helicitatea magnetică are o mare relevanță în mai multe sisteme astrofizice, unde rezistivitatea este de obicei foarte scăzută, astfel încât helicitatea magnetică este păstrată la o aproximare foarte bună. De exemplu: dinamica helicității magnetice este importantă în erupțiile solare și în ejectiile de masă coronală . Helicitatea magnetică este prezentă în vântul solar . Conservarea sa este foarte importantă în procesele dinamo . De asemenea, joacă un rol în cercetarea fuziunii , de exemplu în experimentele de ciupire în câmp inversat .

Definiție matematică

Helicitatea unui câmp vector net definit pe un domeniu în spațiul 3D este măsura standard a măsurii în care liniile de câmp se înfășoară și se înfășoară una în jurul celeilalte. Este definită ca integrala de volum a produsului scalar și a buclei sale : ${\ displaystyle H ^ {\ mathbf {f}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {f}}}$

${\ displaystyle H ^ {\ mathbf {f}} = \ int {\ mathbf {f}} \ cdot {\ nabla \ times {\ mathbf {f}}} \, d ^ {3} {\ mathbf {r} }}$,

unde este elementul de volum diferențial pentru integralul de volum, integrarea având loc pe întregul domeniu considerat. ${\ displaystyle d ^ {3} {\ mathbf {r}}}$

În ceea ce privește helicitatea magnetică , este helicitatea potențialului magnetic magnetic , astfel încât este câmpul magnetic : ${\ displaystyle H ^ {\ mathbf {M}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}$

${\ displaystyle H ^ {\ mathbf {M}} = \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} \, d ^ {3} {\ mathbf {r}}}$.

Helicitatea magnetică are unități de Wb ² ( webers pătrat) în unități SI și Mx ² ( maxwells pătrat) în unități gaussiene .

Helicitatea magnetică nu trebuie confundată cu helicitatea câmpului magnetic , cu curentul. Această cantitate se numește „ helicitatea curentă ”. Spre deosebire de helicitatea magnetică, helicitatea curentă nu este un invariant ideal (nu este conservată nici atunci când rezistivitatea electrică este zero). ${\ displaystyle H ^ {\ mathbf {J}} = \ int {\ mathbf {B}} \ cdot {\ mathbf {J}} \, d ^ {3} {\ mathbf {r}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {J}} = \ nabla \ times {\ mathbf {B}}}$

Deoarece potențialul vector magnetic nu este invariant de ecartament, helicitatea magnetică nu este, de asemenea, invariant de ecartament în general. În consecință, nu se poate măsura direct helicitatea magnetică a unui sistem fizic. În anumite condiții și în anumite ipoteze, se poate măsura totuși helicitatea curentă a unui sistem și din acesta, atunci când sunt îndeplinite alte condiții și în alte ipoteze, se poate deduce helicitatea magnetică.

Interpretarea topologică

Denumirea de „helicitate” se bazează pe faptul că traiectoria unei particule de fluid într-un fluid cu viteză și vorticitate formează o helică în regiunile în care helicitatea cinetică . Când , helixul este dreptaci și când este stângaci. Acest comportament este foarte similar pentru liniile de câmp magnetic. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {v}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle H ^ {K} = \ int \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ neq 0}$${\ displaystyle \ textstyle H ^ {K}> 0}$${\ displaystyle \ textstyle H ^ {K} <0}$

Regiunile în care helicitatea magnetică nu este zero pot conține și alte tipuri de structuri magnetice ca linii de câmp magnetic elicoidal. Helicitatea magnetică este într-adevăr o generalizare a conceptului topologic de legare a numărului la mărimile diferențiale necesare pentru a descrie câmpul magnetic. Numărul de legătură descrie cât de multe linii de câmp magnetic sunt interconectate (a se vedea o dovadă matematică a acestuia). Printr-un experiment simplu cu hârtie și foarfece, se poate arăta că liniile câmpului magnetic care se răsucesc una pe cealaltă pot fi considerate ca fiind legate între ele (figura 5 din). Astfel, prezența helicității magnetice poate fi interpretată ca linii de câmp magnetic elicoidal, structuri magnetice interconectate, dar și linii de câmp magnetic care se răsucesc una în jurul celeilalte.

Exemplu de structuri elicoidale în ADN . Arată similar pentru liniile de câmp magnetic elicoidal. Topologic vorbind: unitățile de zdrobire și unitățile de răsucire pot fi schimbate.

Liniile câmpului magnetic care se răsucesc una pe cealaltă pot lua mai multe forme. Să luăm în considerare, de exemplu, un set de linii de rotație a câmpului magnetic într-un vecinătate apropiată, care formează așa-numitul „ tub de flux magnetic ” (a se vedea figura pentru o ilustrație).

„ Răsucire ” înseamnă că tubul de flux se rotește în jurul propriei axe (cifre cu Răsucire = ). Topologic vorbind, unitățile de torsiune și de zvârcolire (care înseamnă, rotirea tubului de flux în sine - axă figuri cu crispeze = ) pot fi transformați unul în altul. Se poate arăta, de asemenea, că nodurile sunt, de asemenea, echivalente cu unitățile de răsucire și / sau zdrobire. ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ pm 1}$

La fel ca în multe cantități din electromagnetism, helicitatea magnetică (care descrie liniile câmpului magnetic) este strâns legată de helicitatea mecanică a fluidelor (care descrie liniile de curgere a fluidelor) și dinamica lor este interconectată.

Invarianță pătratică ideală

La sfârșitul anilor 1950, Lodewijk Woltjer și Walter M. Elsässer au descoperit independent invarianța ideală a helicității magnetice, adică conservarea acesteia în cazul unei rezistivități zero. Dovada lui Woltjer, valabilă pentru un sistem închis, se repetă în următoarele:

În MHD ideal , câmpul magnetic și evoluția timpului potențial al vectorului magnetic sunt guvernate de:

${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}),}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} + \ nabla (\ Phi),}$

unde a doua ecuație este obținută prin „desfacerea” primei și este un potențial scalar dat de condiția gabaritului (vezi paragraful despre considerarea gabaritului ). Alegând gabaritul astfel încât potențialul scalar să dispară ( = 0), evoluția timpului de helicitate magnetică este dată de: ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$${\ displaystyle \ nabla (\ Phi)}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} H ^ {\ mathbf {M}} = \ int (\ partial _ {t} {\ mathbf {A}}) \ cdot {\ mathbf {B}} + {\ mathbf { A}} \ cdot \ partial _ {t} {\ mathbf {B}} d ^ {3} {\ mathbf {r}} = \ int ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}} ) \ cdot {\ mathbf {B}} d ^ {3} {\ mathbf {r}} + \ int {\ mathbf {A}} \ cdot (\ nabla \ times \ partial _ {t} {\ mathbf {A }}) d ^ {3} {\ mathbf {r}}}$.

Prima integrală este zero, deoarece este ortogonală cu produsul încrucișat . A doua integrală poate fi integrată prin părți, oferind: ${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} H ^ {\ mathbf {M}} = \ int _ {V} \ nabla \ times {\ mathbf {A}} \ cdot (\ partial _ {t} {\ mathbf {A }}) d ^ {3} {\ mathbf {r}} + \ int _ {S} {\ mathbf {A}} \ times (\ partial _ {t} {\ mathbf {A}}) d ^ {2 } {\ mathbf {r}} = 0.}$

Prima integrală se realizează pe întregul volum și este zero deoarece așa cum am scris mai sus. A doua integrală corespunde integralei de suprafață , limitele sistemului închis. Este zero, deoarece mișcările din interiorul sistemului închis nu pot afecta potențialul vectorial din exterior, astfel încât la suprafața limită , deoarece potențialul vector magnetic este o funcție continuă. ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ mathbf {B}} \ perp \ partial _ {t} {\ mathbf {A}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ partial _ {t} A = 0}$

În toate situațiile în care helicitatea magnetică este invariantă a gabaritului (vezi paragraful de mai jos), helicitatea magnetică este, prin urmare, conservată în mod ideal, fără a fi necesară alegerea gabaritului specific . ${\ displaystyle \ nabla (\ Phi) = 0}$

Helicitatea magnetică rămâne conservată într-o bună aproximare chiar și cu o rezistivitate mică, dar finită, caz în care reconectarea magnetică disipă energia .

Proprietate de transfer invers

Structurile elicoidale la scară mică tind să formeze structuri magnetice din ce în ce mai mari. Aceasta poate fi numită un transfer invers în spațiul Fourier, spre deosebire de cascada de energie (directă) în fluxuri hidrodinamice turbulente tridimensionale. Posibilitatea unui astfel de transfer invers a fost propusă mai întâi de Uriel Frisch și colaboratori și a fost verificată prin numeroase experimente numerice. În consecință, prezența helicității magnetice este o posibilitate de a explica existența și susținerea structurilor magnetice la scară largă în Univers.

Se repetă aici un argument pentru acest transfer invers preluat, care se bazează pe așa-numita „condiție de realizabilitate” pe spectrul Fourier de helicitate magnetică (unde este coeficientul Fourier la vectorul de undă al câmpului magnetic și, în mod similar , pentru stea denotând conjugatul complex ). „Condiția de realizabilitate” corespunde unei aplicații a inegalității Cauchy-Schwarz , care produce: ${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}} ^ {*} \ cdot {\ pălărie {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle {\ mathbf {B}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}}}$

${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}} ^ {M} | \ leq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}} ^ {M}} {| {\ mathbf {k }} |}}}$,

cu spectrul de energie magnetică. Pentru a obține această inegalitate, a fost folosit faptul că (cu partea solenoidală a potențialului magnetic magnetic transformat Fourier, ortogonal față de vectorul de undă din spațiul Fourier), a fost utilizat . Factorul 2 nu este prezent în lucrare , deoarece helicitate magnetic este definit acolo alternativ ca . ${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = {\ frac {1} {2}} {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} ^ {*} \ cdot {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle | {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} | = | {\ mathbf {k}} || {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}} ^ {\ perp} |}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k}} ^ {\ perp}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} _ {\ mathbf {k}} = i {\ mathbf {k}} \ times {\ hat {\ mathbf {A}}} _ {\ mathbf {k }}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ mathbf {A}} \ cdot {\ mathbf {B}} d ^ {3} {\ mathbf {r}}}$

Se poate imagina apoi o situație inițială fără câmp de viteză și un câmp magnetic prezent doar la doi vectori de undă și . Presupunem un câmp magnetic complet elicoidal, ceea ce înseamnă că saturează condiția de realizabilitate: și . Presupunând că toate transferurile de energie și helicitate magnetică se efectuează către un alt vector de undă , conservarea helicității magnetice pe de o parte și a energiei totale (suma ((m) agnetică și (k) energie inetică) pe de altă parte oferă: ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {p}} ^ {M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}} ^ {M}} {| {\ mathbf {p} } |}}}$${\ displaystyle | {\ hat {H}} _ {\ mathbf {q}} ^ {M} | = {\ frac {2E _ {\ mathbf {q}} ^ {M}} {| {\ mathbf {q} } |}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle E ^ {T} = E ^ {M} + E ^ {K}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = H _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + H _ {\ mathbf {q}} ^ {M},}$

${\ displaystyle E _ {\ mathbf {k}} ^ {T} = E _ {\ mathbf {p}} ^ {T} + E _ {\ mathbf {q}} ^ {T} = E _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + E _ {\ mathbf {q}} ^ {M}.}$

A doua egalitate pentru energie vine din faptul că considerăm o stare inițială fără energie cinetică. Atunci avem neapărat . Într-adevăr, dacă am avea , atunci: ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$${\ displaystyle | \ mathbf {k} |> \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$

${\ displaystyle H _ {\ mathbf {k}} ^ {M} = H _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + H _ {\ mathbf {q}} ^ {M} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {p}} ^ {M}} {| \ mathbf {p} |}} + {\ frac {2E _ {\ mathbf {q}} ^ {M}} {| \ mathbf {q} |}}> {\ frac {2 (E _ {\ mathbf {p}} ^ {M} + E _ {\ mathbf {q}} ^ {M})} {| \ mathbf {k} |}} = {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}} ^ {T}} {| \ mathbf {k} |}} \ geq {\ frac {2E _ {\ mathbf {k}} ^ {M}} {| \ mathbf {k} |}},}$

care ar rupe condiția de realizabilitate. Aceasta înseamnă că . În special, pentru , helicitatea magnetică este transferată la un vector de undă mai mic, ceea ce înseamnă la scări mai mari. ${\ displaystyle | \ mathbf {k} | \ leq \ max (| \ mathbf {p} |, | \ mathbf {q} |)}$${\ displaystyle | {\ mathbf {p}} | = | {\ mathbf {q}} |}$

Considerații de măsurare

Helicitatea magnetică este o cantitate dependentă de gabarit, deoarece poate fi redefinită prin adăugarea unui gradient ( alegerea gabaritului ). Cu toate acestea, pentru a efectua perfect limite sau sisteme periodice fără flux magnetic net, helicitatea magnetică conținută în întregul domeniu este invariantă a gabaritului, adică independent de alegerea gabaritului. O helicitate relativă invariantă a gabaritului a fost definită pentru volumele cu flux magnetic diferit de zero pe suprafețele lor limită. ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Vezi si

• Teorema lui Woltjer

Referințe

linkuri externe

• AA Pevtsov lui helicitate Pagina
• Pagina publicațiilor lui Mitch Berger