Modele cu factori multipli - Multiple factor models

În finanțele matematice , modelele cu factori multipli sunt modele de stabilire a prețurilor activelor care pot fi utilizate pentru a estima rata de actualizare pentru evaluarea activelor financiare. Ele sunt, în general, extensii ale modelului de stabilire a prețurilor activelor de capital cu un singur factor (CAPM).

Modelul lui Rosenberg și Marathe

Modelul multifactorial de risc de capital a fost dezvoltat pentru prima dată de Barr Rosenberg și Vinay Marathe. Inițial au propus un model liniar de beta

                            ${\displaystyle r(i,t)-r(0,t)=b(i,t)[m(t)-r(0,t)]+g(i,t)}$
                                     ${\displaystyle b(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(j,t)+e(i,t)}$

unde r (i, t) este rentabilitatea activului de capital I în perioada [t, t + 1], r (0, t) este rentabilitatea fără risc, m (t) este rentabilitatea indicelui pieței, e (i , t) este o rentabilitate reziduală pe piață și b (i, t) este un parametru potrivit cu o regresie a seriei temporale pe parcursul istoriei anterioare timpului t. Atunci X (i, j, t) sunt valori ale expunerii la risc calculate din date fundamentale și tehnice, f (j, t) sunt randamente ale factorilor determinate de o regresie transversală pentru fiecare perioadă de timp și g (i, t) sunt regresia reziduuri. Acest model a fost reformulat de Rosenberg și colab. într-un model direct de rentabilitate a activelor,

                              ${\displaystyle r(i,t)=\sum _{j}X(i,j,t)f(i,j)+e(i,t)}$

Aici factorul returnează f (j, t) și randamentele specifice e (i, t) se potrivesc printr-o regresie ponderată pe fiecare perioadă de timp t pentru un univers activ reprezentativ. De exemplu, modelul s-ar putea potrivi cu cele 3000 cele mai mari capitalizări ale stocurilor comune din SUA. Aplicația principală a modelului este de a estima activul prin matricea C de covarianță a activelor a randamentelor activelor prin ecuație

                                       ${\displaystyle C=XFX^{t}+D}$

unde F este matricea de covarianță a randamentelor activelor, iar D este o matrice diagonală bloc a randamentelor specifice. Matricea C este apoi utilizată pentru construcția portofoliului Markowitz care implică maximizarea funcției de utilitate pătratică

                                     ${\displaystyle u(h)=a^{t}h-kh^{t}Ch}$

sub rezerva constrângerilor liniare asupra vectorului deținerilor de active h. Aici a este un vector al randamentelor așteptate și k este un parametru scalar denumit aversiune la risc.

Modificări de Torre

Nicolo G. Torre a adus o serie de îmbunătățiri la acest cadru, ceea ce a acutizat în mod important controlul riscurilor realizabil prin aceste mijloace. În modelul lui Rosenberg, indicii de risc X au constat din ponderile industriei și indicii de risc. Fiecare activ ar primi o expunere la una sau mai multe industrii, de exemplu pe baza defalcărilor bilanțului firmelor sau a declarației de câștig în segmente de industrie. Aceste expuneri din industrie s-ar însuma la 1 pentru fiecare activ. Astfel, modelul nu a avut un factor de piață explicit, ci mai degrabă rentabilitatea pieței a fost proiectată pentru rentabilitățile industriei. Torre a modificat această schemă introducând un factor de piață explicit (cu expunerea unitară pentru fiecare activ.) Pentru a păstra modelul identificat prin impus condiția ca factorul industrial să revină la zero în fiecare perioadă de timp. Astfel modelul este estimat ca

                                   f(i,t)=m(t)+sum_j X(i,j,t)f(j,t) + e(i,t)

supus

                                    sum_k f(k,t)=0 for all t

unde suma depășește factorii din industrie. Aici m (t) este rentabilitatea pieței. Identificarea explicită a factorului de piață a permis apoi Torre să estimeze varianța acestui factor utilizând un model GARCH (1,1) cu pârghie datorat lui Robert Engle și Tim Bollerslev

                                    s^2(t)=w+a s^2(t-1)+ b1 fp(m(t-1))^2 + b2 fm(m(t-1))^2

Aici

                       fp(x)=x for x>0
                                 0 for x<=0

                       fm(x)=0  for x>=0
                                  x  for x<0

și w, a, b1 și b2 sunt parametri care se potrivesc din estimările seriilor de timp îndelungate folosind metode de maximă probabilitate. Acest model oferă o actualizare rapidă a varianței pieței, care este încorporată în actualizarea F, rezultând un model mai dinamic de risc. În special, acesta contabilizează convergența randamentelor activelor și pierderea consecventă a diversificării care are loc în portofolii în perioadele de turbulență ale pieței.

În modelul de risc, factorii din industrie au aproximativ jumătate din puterea explicativă după ce se contabilizează efectul pe piață. Cu toate acestea, Rosenberg a lăsat nerezolvat modul în care ar trebui definite grupările industriale - alegând să se bazeze pur și simplu pe un set convențional de industrii. Definirea seturilor industriale este o problemă în taxonomie. Dificultatea de bază constă în faptul că industria este definită de membrii care i-au fost atribuiți, dar căreia ar trebui să i se atribuie o acțiune individuală este adesea neclară. Dificultățile pot fi reduse prin introducerea unui număr mare de industrii strict definite, dar această abordare este în tensiune cu cerințele de estimare a riscului. Pentru estimări de risc solide, favorizăm un număr moderat de industrii, fiecare sector reprezentând câteva puncte procentuale din capitalizarea pieței și nu dominat exclusiv de cea mai mare companie din industrie. Torre a rezolvat această problemă introducând câteva sute de mini-industrii definite în mod restrâns și apoi aplicând tehnici de clustering ghidate pentru a combina mini-industriile în grupuri industriale adecvate pentru estimarea riscurilor.

În abordarea inițială Rosenberg factorul și rentabilitățile specifice sunt presupuse a fi distribuite în mod normal. Cu toate acestea, experiența arată o serie de observații periferice, care sunt atât prea mari, cât și prea frecvente pentru a se potrivi cu o distribuție normală. Deși introducerea unui factor de piață GARCH reduce parțial această dificultate, nu o elimină. Torre a arătat că distribuțiile de retur pot fi modelate ca un amestec de distribuție normală și distribuție salt. În cazul unui singur factor, modelul de amestecare este ușor de menționat. De fiecare dată când există o variabilă b de amestecare b (t). Dacă b (t) = 0 atunci factorul returnat în acea perioadă este extras din distribuția normală și dacă b (t) = 1 este extras din distribuția saltului. Torre a descoperit că salturile simultane apar în factori. În consecință, în cazul multivariat este necesar să se introducă un vector de șoc multivariat w (i, t) unde w (i, t) = 0 dacă variabila de amestecare multivariată b (i, t) = 0 și w (i, t) este extras din distribuția ith jump dacă b (i, t) = 1. O matrice de transmisie T mapează apoi w din spațiul de șoc în spațiul factorului. Torre a descoperit că piața, factorul și randamentele specifice ar putea fi descrise printr-un amestec de randamente normale și șocuri distribuite de legea puterii care apar la o frecvență joasă. Acest rafinament de modelare îmbunătățește substanțial performanța modelului în ceea ce privește evenimentele extreme. Ca atare, face posibilă construirea de portofolii care se comportă într-o manieră mai așteptată în perioadele de turbulență ale pieței.

Extensii la alte tipuri de piață

Deși inițial dezvoltat pentru piața de capital din SUA, modelul de risc multifactorial a fost extins rapid la alte piețe de capitaluri proprii și la alte tipuri de titluri de valoare, cum ar fi obligațiunile și opțiunile de capitaluri proprii. Apare atunci problema modului de construire a unui model de risc pentru mai multe clase de active. O primă abordare a fost făcută de Beckers, Rudd și Stefek pentru piața de capital globală. Ei au estimat un model care implică valută, țară, industrii globale și indici de risc globali. Acest model a funcționat bine pentru portofolii construite prin procesul de sus în jos, selectând mai întâi țări și apoi selectând active în țări. A avut mai puțin succes pe portofoliile construite printr-un proces ascendent în care portofoliile din țări au fost selectate mai întâi de specialiștii din țară și apoi s-a aplicat o suprapunere globală. În plus, modelul global aplicat unui singur portofoliu de țări ar fi adesea în contradicție cu modelul pieței locale. Torre a rezolvat aceste dificultăți prin introducerea unei analize a factorilor în două etape. Prima etapă constă în potrivirea unei serii de modele de factori locali de forma familiară, rezultând un set de factori returnează f (i, j, t) unde f (i, j, t) este revenirea la factorul i în j model la t. Returnările factorilor se potrivesc apoi unui model de etapă a doua a formularului

                                 f(i,j,t)=sum_k Y(i,j,k) g(k,t) + h(i,j,t)

Aici Y oferă expunerea factorului local (i, j) la factorul global a cărui rentabilitate este g (k, t) și h (i, j, t) este rentabilitatea factorului specific local. Matricea de covarianță a rentabilității factorilor este estimată ca ${\ displaystyle k ^ {t} h}$

${\ displaystyle \ mathbf {F = YGY ^ {t} + H}}$

unde G este matricea de covarianță a factorilor globali și H este covarianța în diagonală bloc a randamentelor factorului specific local. Această abordare de modelare permite lipirea oricărui număr de modele locale pentru a oferi o analiză cuprinzătoare a clasei multi-active. Acest lucru este deosebit de relevant pentru portofoliile globale de capitaluri proprii și pentru gestionarea riscurilor la nivelul întregii întreprinderi.

Modelul de risc multifactorial cu rafinamentele discutate mai sus este metoda dominantă pentru controlul riscului în portofoliile gestionate profesional. Se estimează că mai mult de jumătate din capitalul mondial este gestionat folosind astfel de modele.

Modele academice

Mulți academicieni au încercat să construiască modele de factori cu un număr destul de mic de parametri. Acestea includ:

• Fama - modelul francez în trei factori
• Modelul cu patru factori Carhart
• Teoria prețurilor arbitrajului

Cu toate acestea, nu există încă un acord general cu privire la câți factori există. Există numeroase modele comerciale disponibile, inclusiv cele de la MSCI și modelul factorului de gestionare a activelor Goldman Sachs .

Referințe