Ecuația lui Poisson - Poisson's equation

Siméon Denis Poisson

Ecuația lui Poisson este o ecuație eliptică diferențială parțială de utilitate largă în fizica teoretică . De exemplu, soluția la ecuația lui Poisson este câmpul potențial cauzat de o anumită sarcină electrică sau distribuție a densității de masă; cu câmpul potențial cunoscut, se poate calcula câmpul electrostatic sau gravitațional (forța). Este o generalizare a ecuației lui Laplace , care este văzută frecvent și în fizică. Ecuația poartă numele matematicianului și fizicianului francez Siméon Denis Poisson .

Enunțul ecuației

Ecuația lui Poisson este

{\ displaystyle \ Delta \ varphi = f}

unde este operatorul Laplace și și sunt funcții reale sau complexe -evaluate pe o varietate . De obicei, este dat și este căutat. Când varietatea este spațiu euclidian , operatorul Laplace este adesea notat ca ∇ ² și astfel ecuația lui Poisson este frecvent scrisă ca ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = f.}

În coordonate carteziene tridimensionale , ia forma

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z).}

Când identic obținem ecuația lui Laplace . ${\ displaystyle f = 0}$

Ecuația lui Poisson poate fi rezolvată folosind funcția lui Green :

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}) = - \ iiint {\ frac {f (\ mathbf {r} ')} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \! r ',}

unde integralul este peste tot spațiul. O expunere generală a funcției lui Green pentru ecuația lui Poisson este dată în articolul despre ecuația Poisson ecranată . Există diverse metode pentru soluția numerică, cum ar fi metoda de relaxare , un algoritm iterativ.

Gravitația newtoniană

În cazul unui câmp gravitațional g datorat unui obiect masiv atractiv de densitate ρ , legea lui Gauss pentru gravitație în formă diferențială poate fi utilizată pentru a obține ecuația Poisson corespunzătoare pentru gravitație,

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho ~.}

Deoarece câmpul gravitațional este conservator (și irotațional ), acesta poate fi exprimat în termeni de potențial scalar Φ ,

{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi ~.}

Înlocuind în legea lui Gauss

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (- \ nabla \ phi) = - 4 \ pi G \ rho}

dă ecuația lui Poisson pentru gravitație,

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.}

Dacă densitatea masei este zero, ecuația lui Poisson se reduce la ecuația lui Laplace. Funcția Green corespunzătoare poate fi utilizată pentru a calcula potențialul la distanța $r de$ la o masă punct $m$ centrală (adică, soluția fundamentală ). În trei dimensiuni potențialul este

{\ displaystyle \ phi (r) = {\ dfrac {-Gm} {r}}.}

ceea ce este echivalent cu legea gravitației universale a lui Newton .

Electrostatică

Una dintre pietrele de temelie ale electrostaticii este configurarea și rezolvarea problemelor descrise de ecuația Poisson. Rezolvarea ecuației Poisson echivalează cu găsirea potențialului electric $φ$ pentru o distribuție dată a sarcinii . ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$

Detaliile matematice din spatele ecuației lui Poisson în electrostatică sunt după cum urmează ( sunt utilizate mai degrabă unități SI decât unități gaussiene , care sunt de asemenea utilizate frecvent în electromagnetism ).

Începând cu legea lui Gauss pentru electricitate (de asemenea, una dintre ecuațiile lui Maxwell ) sub formă diferențială, se are

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}

unde este operatorul de divergență , D = câmpul de deplasare electrică și ρ _f = densitatea volumului sarcinii libere (descrierea sarcinilor aduse din exterior). ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot}$

Presupunând că mediul este liniar, izotrop și omogen (vezi densitatea de polarizare ), avem ecuația constitutivă ,

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

unde $ε$ = permitivitatea mediului și E = câmpul electric .

Înlocuirea acestui lucru în legea lui Gauss și presupunerea lui $ε$ este spațial constantă în regiunea randamentelor dobânzii

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} ~.}

unde este densitatea încărcării volumului total. În electrostatic, presupunem că nu există câmp magnetic (argumentul care urmează este valabil și în prezența unui câmp magnetic constant). Apoi, avem asta ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0,}

unde ∇ × este operatorul curl . Această ecuație înseamnă că putem scrie câmpul electric ca gradient al unei funcții scalare $φ$ (numită potențial electric), deoarece bucla oricărui gradient este zero. Astfel putem scrie,

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi,}

unde se introduce semnul minus astfel încât $φ să$ fie identificat ca energia potențială pe unitate de încărcare.

Derivarea ecuației lui Poisson în aceste condiții este simplă. Înlocuind gradientul potențial pentru câmpul electric,

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ nabla \ cdot (- \ nabla \ varphi) = - {\ nabla} ^ {2} \ varphi = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}}, }

produce direct ecuația lui Poisson pentru electrostatice, care este

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}}.}

Rezolvarea ecuației lui Poisson pentru potențial necesită cunoașterea distribuției densității sarcinii. Dacă densitatea sarcinii este zero, atunci rezultă ecuația lui Laplace . Dacă densitatea sarcinii urmează o distribuție Boltzmann , atunci rezultă ecuația Poisson-Boltzmann . Ecuația Poisson-Boltzmann joacă un rol în dezvoltarea teoriei Debye-Hückel a soluțiilor de electroliți diluați .

Folosind funcția lui Green, potențialul la distanța $r$ de o sarcină punct centrală $Q$ (adică: soluția fundamentală) este:

{\ displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}}.}

care este legea electrostatică a lui Coulomb . (Din motive istorice și, spre deosebire de modelul gravitațional de mai sus, factorul apare aici și nu în legea lui Gauss.) ${\ displaystyle 4 \ pi}$

Discuția de mai sus presupune că câmpul magnetic nu variază în timp. Aceeași ecuație Poisson apare chiar dacă variază în timp, atâta timp cât este utilizat ecartamentul Coulomb . În acest context mai general, calculul $φ$ nu mai este suficient pentru a calcula E , deoarece E depinde și de potențialul magnetic magnetic A , care trebuie calculat independent. Vezi ecuația lui Maxwell în formularea potențială pentru mai multe despre $φ$ și A în ecuațiile lui Maxwell și cum se obține ecuația lui Poisson în acest caz.

Potențialul unei densități de încărcare gaussiene

Dacă există o densitate de sarcină gaussiană sferică statică

{\ displaystyle \ rho _ {f} (r) = {\ frac {Q} {\ sigma ^ {3} {\ sqrt {2 \ pi}} ^ {3}}} \, e ^ {- r ^ { 2} / (2 \ sigma ^ {2})},}

unde $Q$ este sarcina totală, atunci soluția $φ (r)$ a ecuației lui Poisson,

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = - {\ rho _ {f} \ over \ varepsilon}}

,

este dat de

{\ displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Q} {r}} \, \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {r} { {\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

unde $erf (x)$ este funcția de eroare .

Această soluție poate fi verificată în mod explicit prin evaluarea $\nabla 2 φ$ .

Rețineți că, pentru $r$ mult mai mare decât $σ$ , funcția erf se apropie de unitate și potențialul $φ (r) se$ apropie de potențialul de încărcare punctuală

{\ displaystyle \ varphi \ approx {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Q} {r}},}

cum ne-am aștepta. În plus, funcția de eroare abordează 1 extrem de rapid pe măsură ce argumentul său crește; în practică pentru $r > 3 σ$ eroarea relativă este mai mică decât o parte dintr-o mie.

Reconstrucția suprafeței

Reconstrucția suprafeței este o problemă inversă . Scopul este de a reconstrui digital o suprafață netedă pe baza unui număr mare de puncte p _i (un nor de puncte ) în care fiecare punct poartă și o estimare a suprafeței locale normale n _i . Ecuația lui Poisson poate fi utilizată pentru a rezolva această problemă cu o tehnică numită reconstrucția suprafeței Poisson.

Scopul acestei tehnici este de a reconstrui o funcție implicită f a cărei valoare este zero în punctele p _i și al cărei gradient în punctele p _i este egal cu vectorii normali n _i . Setul de ( p _i , n _i ) este astfel modelat ca un proces continuu vector câmp V . Funcția implicită f este găsită prin integrarea câmpului vectorial V . Deoarece nu fiecare câmp vector este gradientul unei funcții, problema poate avea sau nu o soluție: condiția necesară și suficientă pentru ca un câmp vector net V să fie gradientul unei funcții f este că bucla lui V trebuie să fie identică zero. În cazul în care această condiție este dificil de impus, este încă posibil să se realizeze o potrivire a celor mai mici pătrate pentru a minimiza diferența dintre V și gradientul lui f .

Pentru a putea aplica în mod eficient ecuația lui Poisson la problema de reconstrucție de suprafață, este necesar să se găsească o bună discretizare a câmpului vectorial V . Abordarea de bază este de a lega datele cu o grilă de diferențe finite. Pentru o funcție evaluată la nodurile unei astfel de rețele, gradientul acesteia poate fi reprezentat ca fiind evaluat pe rețele eșalonate, adică pe rețele ale căror noduri se află între nodurile rețelei originale. Este convenabil să definiți trei grile eșalonate, fiecare deplasată într-o singură și o singură direcție corespunzătoare componentelor datelor normale. Pe fiecare grilă eșalonată efectuăm [interpolare triliniară] pe setul de puncte. Ponderile de interpolare sunt apoi utilizate pentru a distribui magnitudinea componentei asociate a lui n _i pe nodurile celulei grilei eșalonate care conține p _i . Kazhdan și coautorii oferă o metodă mai precisă de discretizare utilizând o grilă de diferență finită adaptativă, adică celulele grilei sunt mai mici (grila este mai fin împărțită) unde există mai multe puncte de date. Ei sugerează implementarea acestei tehnici cu un octree adaptiv .

Dinamica fluidelor

Pentru incompresibile ecuații Navier-Stokes , date de:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} & = - { 1 \ over {\ rho}} \ nabla p + \ nu \ Delta {\ bf {v}} + {\ bf {g}} \\\ nabla \ cdot {\ bf {v}} & = 0 \ end {align }}}

Ecuația pentru câmpul de presiune este un exemplu de ecuație Poisson neliniară: ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta p & = - \ rho \ nabla \ cdot ({\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}) \\ & = - \ rho \, \ mathrm {Tr} {\ big (} (\ nabla {\ bf {v}}) (\ nabla {\ bf {v}}) {\ big)}. \ end {align}}}

Observați că urmele de mai sus nu sunt definite pentru semn.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

Evans, Lawrence C. (1998). Ecuații diferențiale parțiale . Providence (RI): Societatea Americană de Matematică. ISBN 0-8218-0772-2.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Metode matematice de fizică (ed. A II-a). New York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
Polyanin, Andrei D. (2002). Manual de ecuații diferențiale parțiale liniare pentru ingineri și oameni de știință . Boca Raton (FL): Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

linkuri externe

„Ecuația Poisson” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
Ecuația Poisson la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice
Ecuația lui Poisson pe PlanetMath .

Languages

In other projects