Diagrama Smith - Smith chart

Smith diagramă , inventat de Phillip H. Smith (1905-1987) și independent de Mizuhashi Tosaku, este un calculator grafic sau nomograma proiectat pentru inginerii electrică și electronică specializate în frecvență radio (RF) de inginerie pentru a ajuta la rezolvarea problemelor cu linii de transmisie și potrivirea circuitelor. Diagrama Smith poate fi utilizată pentru a afișa simultan mai mulți parametri, inclusiv impedanțe , admitențe , coeficienți de reflexie , parametri de împrăștiere , cercuri de cifre de zgomot , contururi de câștig constant și regiuni pentru stabilitate necondiționată , inclusiv analiza vibrațiilor mecanice . Graficul Smith este cel mai frecvent utilizat la sau în regiunea razei unitare. Cu toate acestea, restul este încă relevant din punct de vedere matematic, fiind utilizat, de exemplu, în proiectarea oscilatorului și analiza stabilității . În timp ce utilizarea diagramelor Smith de hârtie pentru rezolvarea matematicii complexe implicate în potrivirea problemelor a fost în mare parte înlocuită de metode bazate pe software, diagrama Smith este încă o metodă foarte utilă de a arăta cum se comportă parametrii RF la una sau mai multe frecvențe, o alternativă la utilizarea informații tabulare . Astfel, majoritatea software-ului de analiză a circuitelor RF include o opțiune de diagramă Smith pentru afișarea rezultatelor și toate instrumentele de măsurare a impedanței, cu excepția celor mai simple, pot grafica rezultatele măsurate pe un afișaj de diagrame Smith. ${\ displaystyle S_ {nn} \,}$

Un grafic Smith de impedanță (fără date reprezentate)

Prezentare generală

Un analizor de rețea ( HP 8720A) care prezintă o diagramă Smith.

Diagrama Smith este trasată pe planul complex al coeficientului de reflecție în două dimensiuni și este scalată în impedanță normalizată (cea mai comună), admisie normalizată sau ambele, folosind culori diferite pentru a distinge între ele. Acestea sunt adesea cunoscute ca graficele Z, Y și respectiv YZ Smith. Scalarea normalizată permite graficului Smith să fie utilizat pentru probleme care implică orice impedanță caracteristică sau de sistem reprezentată de punctul central al graficului. Cea mai frecvent utilizată impedanță de normalizare este de 50  ohmi . Odată ce un răspuns este obținut prin construcțiile grafice descrise mai jos, este simplu să se convertească între impedanța normalizată (sau admisia normalizată) și valoarea corespunzătoare neormalizată prin înmulțirea cu impedanța caracteristică (admiterea). Coeficienții de reflecție pot fi citiți direct din diagramă deoarece sunt parametri fără unitate.

Diagrama Smith are o scară în jurul circumferinței sau periferiei sale, care este gradată în lungimi de undă și grade . Scara lungimilor de undă este utilizată în problemele distribuite ale componentelor și reprezintă distanța măsurată de-a lungul liniei de transmisie conectată între generator sau sursă și sarcina până la punctul luat în considerare. Scara de grade reprezintă unghiul coeficientului de reflecție a tensiunii în acel moment. Diagrama Smith poate fi, de asemenea, utilizată pentru potrivirea elementelor forfetare și probleme de analiză.

Utilizarea diagramei Smith și interpretarea rezultatelor obținute folosind aceasta necesită o bună înțelegere a teoriei circuitului de curent alternativ și a teoriei liniilor de transmisie, ambele fiind condiții prealabile pentru inginerii RF.

Deoarece impedanțele și admitențele se schimbă odată cu frecvența, problemele care utilizează graficul Smith pot fi rezolvate manual numai folosind o singură frecvență la un moment dat, rezultatul fiind reprezentat de un punct . Acest lucru este adesea adecvat pentru aplicații cu bandă îngustă (de obicei până la aproximativ 5% până la 10% lățime de bandă ), dar pentru lățimi de bandă mai largi este de obicei necesar să se aplice tehnici de diagramă Smith la mai mult de o frecvență pe banda de frecvență de operare. Cu condiția ca frecvențele să fie suficient de apropiate, punctele grafice Smith rezultate pot fi unite prin linii drepte pentru a crea un locus .

Un locus de puncte pe o diagramă Smith care acoperă o gamă de frecvențe poate fi folosit pentru a reprezenta vizual:

• cât de capacitivă sau cât de inductivă este o sarcină pe toată gama de frecvențe
• cât de dificilă este potrivirea probabilă la diferite frecvențe
• cât de bine se potrivește o anumită componentă.

Acuratețea graficului Smith este redusă pentru problemele care implică un locus mare de impedanțe sau intrări, deși scalarea poate fi mărită pentru zone individuale pentru a le adapta.

Baza matematică

Cea mai simplă utilizare a unei diagrame Smith de impedanță. O undă parcurge o linie de transmisie cu impedanță caracteristică Z ₀ , terminată la o sarcină cu impedanță Z _L și impedanță normalizată z = Z _L / Z ₀ . Există o reflectare a semnalului cu coeficientul Γ. Fiecare punct din diagrama Smith reprezintă simultan atât o valoare a z (stânga jos), cât și valoarea corespunzătoare a lui Γ (dreapta jos), legată de z = (1 + Γ) / (1 - Γ).

Impedanță și admitere reale și normalizate

O linie de transmisie cu o impedanță caracteristică de poate fi considerată universal ca având o admisie caracteristică de unde ${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle Y_ {0} \,}$

${\ displaystyle Y_ {0} = {\ frac {1} {Z_ {0}}} \,}$

Orice impedanță, exprimată în ohmi, poate fi normalizată prin împărțirea acesteia la impedanța caracteristică, astfel încât impedanța normalizată utilizând litere mici Z _T este dată de ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {Z _ {\ text {T}}} {Z_ {0}}} \,}$

În mod similar, pentru admiterea normalizată

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {Y _ {\ text {T}}} {Y_ {0}}} \,}$

Unitatea SI de impedanță este ohmul cu simbolul literei grecești majuscule omega (Ω), iar unitatea SI pentru admisie este siemensul cu simbolul unei litere majuscule S. Impedanța normalizată și admisiunea normalizată sunt adimensionale . Impedanțele și intrările reale trebuie normalizate înainte de a le utiliza pe o diagramă Smith. Odată ce rezultatul este obținut, acesta poate fi deznormalizat pentru a obține rezultatul real.

Diagrama Smith a impedanței normalizate

Liniile de transmisie terminate de un circuit deschis (sus) și un scurtcircuit (jos). Un impuls reflectă perfect aceste ambele terminații, dar semnul tensiunii reflectate este opus în cele două cazuri. Punctele negre reprezintă electroni, iar săgețile arată câmpul electric.

Folosind teoria liniei de transmisie, dacă o linie de transmisie este terminată într-o impedanță ( ) care diferă de impedanța sa caracteristică ( ), se va forma o undă staționară pe linia care cuprinde atât rezultatul incidentului, fie f orward ( ), cât și r unde reflecte sau inversate ( ). Utilizarea notației exponențiale complexe : ${\ displaystyle Z _ {\ text {T}} \,}$${\ displaystyle Z_ {0} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {F}} \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {R}} \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (j \ omega t) \ exp (+ \ gamma \ ell) ~ \,}$ și

${\ displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (j \ omega t) \ exp (- \ gamma \ ell) \,}$

Unde

${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$este partea temporală a valului

${\ displaystyle \ exp (\ pm \ gamma \ ell) \,}$ este partea spațială a undei și

${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f \,}$ Unde

${\ displaystyle \ omega \,}$este frecvența unghiulară în radiani pe secundă (rad / s)

${\ displaystyle f \,}$este frecvența în hertz (Hz)

${\ displaystyle t \,}$ este timpul în secunde

${\ displaystyle A \,}$și sunt constante${\ displaystyle B \,}$

${\ displaystyle \ ell \,}$ este distanța măsurată de-a lungul liniei de transmisie de la sarcină spre generator în metri (m)

De asemenea

${\ displaystyle \ gamma = \ alpha + j \ beta \,}$este constanta de propagare care are unități 1 / m

Unde

${\ displaystyle \ alpha \,}$este constanta de atenuare în neperi pe metru (Np / m)

${\ displaystyle \ beta \,}$este constanta de faza in radiani pe metru (rad / m)

Diagrama Smith este utilizată cu o singură frecvență ( ) la un moment dat și numai pentru un moment ( ) la un moment dat, astfel încât partea temporală a fazei ( ) este fixă. Toți termenii sunt de fapt înmulțiți cu acest lucru pentru a obține faza instantanee , dar este convențional și se înțelege că îl omite. Prin urmare, ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ exp (j \ omega t) \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} = A \ exp (+ \ gamma \ ell) \,}$ și

${\ displaystyle V _ {\ text {R}} = B \ exp (- \ gamma \ ell) \,}$

unde și sunt respectiv amplitudinile de tensiune înainte și inversă la sarcină. ${\ displaystyle A \,}$${\ displaystyle B \,}$

Variația coeficientului de reflexie complex cu poziția de-a lungul liniei

Privind spre o sarcină printr-o lungime de linie de transmisie fără pierderi, impedanța se modifică pe măsură ce crește, urmând cercul albastru. (Această impedanță este caracterizată de coeficientul său de reflexie .) Cercul albastru, centrat în diagrama Smith a impedanței, este uneori numit cerc SWR (scurt pentru raportul constant al undelor staționare ).${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle V _ {\ text {reflect}} / V _ {\ text {incident}}}$

Coeficientul complex de reflecție a tensiunii este definit ca raportul dintre unda reflectată și unda incidentă (sau înainte). Prin urmare, ${\ displaystyle \ Gamma \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} = {\ frac {B \ exp (- \ gamma \ ell)} {A \ exp (+ \ gamma \ ell)}} = C \ exp (-2 \ gamma \ ell) \,}$

unde C este și o constantă.

Pentru o linie de transmisie uniformă (în care este constantă), coeficientul complex de reflexie al unei unde staționare variază în funcție de poziția pe linie. Dacă linia are pierderi ( este diferită de zero), aceasta este reprezentată pe diagrama Smith printr-o cale spirală . În cele mai multe probleme ale graficului Smith, pierderile pot fi considerate neglijabile ( ), iar sarcina de a le rezolva este mult simplificată. Prin urmare, pentru cazul fără pierderi, devine expresia coeficientului de reflexie complex ${\ displaystyle \ gamma \,}$${\ displaystyle \ alpha \,}$${\ displaystyle \ alpha = 0 \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp (-2j \ beta \ ell) \,}$

unde este coeficientul de reflexie la sarcină și este lungimea liniei de la sarcină la locul unde se măsoară coeficientul de reflecție. Constanta de fază poate fi, de asemenea, scrisă ca ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ text {L}} \,}$${\ displaystyle \ ell \,}$${\ displaystyle \ beta \,}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} \,}$

unde este lungimea de undă din cadrul liniei de transmisie la frecvența de testare. ${\ displaystyle \ lambda \,}$

Prin urmare,

${\ displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ text {L}} \ exp \ left ({\ frac {-4j \ pi} {\ lambda}} \ ell \ right) \,}$

Această ecuație arată că, pentru o undă staționară, coeficientul complex de reflexie și impedanța se repetă la fiecare jumătate de lungime de undă de-a lungul liniei de transmisie. Coeficientul complex de reflexie este denumit în general simplu coeficient de reflexie. Scara circumferențială exterioară a diagramei Smith reprezintă distanța de la generator la sarcina scalată în lungimi de undă și, prin urmare, este scalată de la zero la 0,50.

Variația impedanței normalizate cu poziția de-a lungul liniei

Dacă și sunt tensiunea transversală și curentul care intră în terminație, respectiv la sfârșitul liniei de transmisie, atunci ${\ displaystyle V \,}$${\ displaystyle I \,}$

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} + V _ {\ text {R}} = V \,}$ și

${\ displaystyle V _ {\ text {F}} - V _ {\ text {R}} = Z_ {0} I \,}$.

Prin împărțirea acestor ecuații și substituirea atât a coeficientului de reflecție a tensiunii

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {V _ {\ text {R}}} {V _ {\ text {F}}}} \,}$

și impedanța normalizată a terminării reprezentată de minuscula z , indicele T

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {V} {Z_ {0} I}} \,}$

dă rezultatul:

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

Alternativ, în ceea ce privește coeficientul de reflexie

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z _ {\ text {T}} - 1} {z _ {\ text {T}} + 1}} \,}$

Acestea sunt ecuațiile care sunt folosite pentru a construi diagrama lui Z Smith. Matematic vorbind și sunt legate printr-o transformare Möbius . ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

Ambele și sunt exprimate în numere complexe fără nicio unitate. Ambele se schimbă în funcție de frecvență, astfel încât pentru orice măsurare anume, frecvența la care a fost efectuată trebuie să fie indicată împreună cu impedanța caracteristică. ${\ displaystyle \ Gamma \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} \,}$

${\ displaystyle \ Gamma \,}$pot fi exprimate în mărime și unghi pe o diagramă polară . Orice coeficient de reflecție real trebuie să aibă o magnitudine mai mică sau egală cu unitatea , astfel încât, la frecvența de testare, aceasta poate fi exprimată printr-un punct din interiorul unui cerc de rază de unitate. Diagrama Smith este de fapt construită pe o astfel de diagramă polară. Scalarea graficului Smith este concepută în așa fel încât coeficientul de reflexie să poată fi transformat în impedanță normalizată sau invers. Folosind diagrama Smith, impedanța normalizată poate fi obținută cu o precizie apreciabilă trasând punctul reprezentând coeficientul de reflexie tratând diagrama Smith ca o diagramă polară și citind apoi valoarea acesteia direct folosind scalarea caracteristică a diagramei Smith. Această tehnică este o alternativă grafică la substituirea valorilor din ecuații.

Prin înlocuirea expresiei cu modul în care se modifică coeficientul de reflecție de-a lungul unei linii de transmisie fără pierderi de neegalat

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {B \ exp (- \ gamma \ ell)} {A \ exp (\ gamma \ ell)}} = {\ frac {B \ exp (-j \ beta \ ell)} {A \ exp (j \ beta \ ell)}} \,}$

pentru cazul fără pierderi, în ecuația pentru impedanță normalizată în termeni de coeficient de reflexie

${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = {\ frac {1+ \ Gamma} {1- \ Gamma}} \,}$.

și folosind formula lui Euler

${\ displaystyle \ exp (j \ theta) = \ cos \ theta + j \ sin \ theta \,}$

produce ecuația liniei de transmisie a versiunii de impedanță pentru cazul fără pierderi:

${\ displaystyle Z _ {\ text {in}} = Z_ {0} {\ frac {Z _ {\ text {L}} + jZ_ {0} \ tan (\ beta \ ell)} {Z_ {0} + jZ_ { \ text {L}} \ tan (\ beta \ ell)}} \,}$

unde este impedanța „văzută” la intrarea unei linii de transmisie fără pierderi de lungime , terminată cu o impedanță${\ displaystyle Z _ {\ text {în}} \,}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Versiunile ecuației liniei de transmisie pot fi derivate în mod similar pentru cazul fără pierderi de admitere și pentru cazurile de impedanță și pierdere de admisie.

Echivalentul grafic al diagramei Smith al utilizării ecuației liniei de transmisie este normalizarea , trasarea punctului rezultat pe o diagramă Z Smith și trasarea unui cerc prin acel punct centrat în centrul diagramei Smith. Calea de-a lungul arcului cercului reprezintă modul în care se schimbă impedanța în timp ce se deplasează de-a lungul liniei de transmisie. În acest caz, trebuie utilizată scalarea circumferențială (lungimea de undă), amintindu-ne că aceasta este lungimea de undă din linia de transmisie și poate diferi de lungimea de undă a spațiului liber. ${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} \,}$

Regiunile graficului Z Smith

Dacă o diagramă polară este mapată pe un sistem de coordonate cartezian , este convențional să se măsoare unghiurile în raport cu axa pozitivă x folosind o direcție în sens invers acelor de ceasornic pentru unghiuri pozitive. Magnitudinea unui număr complex este lungimea unei linii drepte trasate de la origine la punctul care îl reprezintă. Diagrama Smith folosește aceeași convenție, menționând că, în planul de impedanță normalizat, axa x pozitivă se extinde de la centrul diagramei Smith până la punct . Regiunea de deasupra axei x reprezintă impedanțe inductive (părți imaginare pozitive), iar regiunea de sub axa x reprezintă impedanțe capacitive (părți imaginare negative). ${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = 1 \ pm j0 \,}$${\ displaystyle z _ {\ text {T}} = \ infty \ pm j \ infty \,}$

Dacă încheierea este perfect potrivită, coeficientul de reflexie va fi zero, reprezentat efectiv de un cerc cu rază zero sau de fapt un punct din centrul diagramei Smith. Dacă terminarea ar fi un circuit deschis sau un scurtcircuit perfect , magnitudinea coeficientului de reflecție ar fi unitate, toată puterea ar fi reflectată și punctul ar sta la un moment dat pe cercul de circumferință a unității.

Cercuri de rezistență normalizată constantă și reactanță normalizată constantă

Diagrama Smith a impedanței normalizate este compusă din două familii de cercuri: cercuri de rezistență constantă normalizată și cercuri de reactanță normalizată constantă. În planul complex al coeficientului de reflecție, diagrama Smith ocupă un cerc de rază de unitate centrat la origine. În coordonatele carteziene, cercul ar trece prin punctele (+1,0) și (−1,0) pe axa x și punctele (0, + 1) și (0, −1) pe axa y .

Deoarece ambele și sunt numere complexe, în general ele pot fi scrise ca: ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle z \,}$

${\ displaystyle z = a + jb \,}$

${\ displaystyle \ Gamma = c + jd \,}$

cu a , b , c și d numere reale.

Înlocuind acestea în ecuația care leagă impedanța normalizată și coeficientul de reflexie complex:

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {z-1} {z + 1}} \,}$

dă următorul rezultat:

${\ displaystyle \ Gamma = c + jd = \ left [{\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -1} {(a + 1) ^ {2} + b ^ {2}}} \ dreapta] + j \ left [{\ frac {2b} {(a + 1) ^ {2} + b ^ {2}}} \ right] \,}$.

Aceasta este ecuația care descrie modul în care coeficientul de reflexie complex se modifică cu impedanța normalizată și poate fi utilizat pentru a construi ambele familii de cercuri.

Graficul Y Smith

Graficul Y Smith este construit într-un mod similar cu cazul graficului Z Smith, dar prin exprimarea valorilor coeficientului de reflecție a tensiunii în termeni de admisie normalizată în loc de impedanță normalizată. Admiterea normalizată y _T este reciprocă a impedanței normalizate z _T , deci

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

Prin urmare:

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1- \ Gamma} {1+ \ Gamma}} \,}$

și

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {1-y _ {\ text {T}}} {1 + y _ {\ text {T}}}} \,}$

Y diagramă Smith apare ca tipul de impedanta normalizat dar cu scalarea grafic rotită cu 180 °, scalarea numerică rămânând neschimbată.

Regiunea de deasupra axei x reprezintă admisii capacitive, iar regiunea de sub axa x reprezintă admiterile inductive. Admiterile capacitive au părți imaginare pozitive, iar admiterile inductive au părți imaginare negative.

Din nou, dacă încheierea este perfect potrivită, coeficientul de reflecție va fi zero, reprezentat de un „cerc” cu rază zero sau, de fapt, un punct din centrul diagramei Smith. Dacă terminarea ar fi un circuit deschis sau scurtcircuit, magnitudinea coeficientului de reflecție a tensiunii ar fi unitate, toată puterea ar fi reflectată și punctul ar sta la un moment dat pe cercul de circumferință a unității din diagrama Smith.

Exemple practice

Exemple de puncte reprezentate pe diagrama Smith a impedanței normalizate

Un punct cu magnitudinea coeficientului de reflexie 0,63 și unghiul de 60 ° reprezentat în formă polară ca , este prezentat ca punctul P ₁ pe diagrama Smith. Pentru a grafica acest lucru, se poate utiliza scala unghiulară circumferențială (coeficient de reflecție) pentru a găsi gradarea și o riglă pentru a trasa o linie care trece prin aceasta și centrul diagramei Smith. Lungimea liniei ar fi apoi scalată la P ₁ presupunând că raza graficului Smith este unitatea. De exemplu, dacă raza reală măsurată din hârtie a fost de 100 mm, lungimea OP ₁ ar fi de 63 mm. ${\ displaystyle 0.63 \ angle 60 ^ {\ circ} \,}$${\ displaystyle \ angle 60 ^ {\ circ} \,}$

Tabelul următor oferă câteva exemple similare de puncte care sunt reprezentate pe graficul Z Smith. Pentru fiecare, coeficientul de reflecție este dat în formă polară împreună cu impedanța normalizată corespunzătoare în formă dreptunghiulară. Conversia poate fi citită direct din graficul Smith sau prin substituirea în ecuație.

Câteva exemple de puncte reprezentate pe diagrama Smith a impedanței normalizate

Identitate punctuală	Coeficient de reflecție (formă polară)	Impedanță normalizată (formă dreptunghiulară)
P 1 (inductiv)	${\ displaystyle 0.63 \ angle 60 ^ {\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0.80 + j1.40 \,}$
P 2 (inductiv)	${\ displaystyle 0.73 \ angle 125 ^ {\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0,20 + j0,50 \,}$
P 3 (Capacitiv)	${\ displaystyle 0.44 \ angle -116 ^ {\ circ} \,}$	${\ displaystyle 0.50-j0.50 \,}$

Lucrând atât cu graficul Z Smith, cât și cu graficele Y Smith

În circuitele RF și problemele de potrivire, uneori este mai convenabil să lucrați cu admitențe (reprezentând conductanțe și susceptanțe ) și uneori este mai convenabil să lucrați cu impedanțe (reprezentând rezistențe și reactanțe ). Rezolvarea unei probleme tipice de potrivire va necesita adesea mai multe modificări între ambele tipuri de diagrame Smith, folosind impedanță normalizată pentru elementele din serie și admiteri normalizate pentru elementele paralele . Pentru acestea se poate utiliza o diagramă Smith cu impedanță și admisie duală (normalizată). Alternativ, poate fi utilizat un tip și scalarea convertită la celălalt atunci când este necesar. Pentru a trece de la impedanță normalizată la admisie normalizată sau invers, punctul care reprezintă valoarea coeficientului de reflexie luat în considerare este deplasat cu exact 180 de grade pe aceeași rază. De exemplu, punctul P1 din exemplu reprezentând un coeficient de reflexie are o impedanță normalizată de . Pentru a schimba grafic acest lucru la punctul de intrare normalizat echivalent, să zicem Q1, se trasează o linie cu o riglă de la P1 prin centrul graficului Smith la Q1, o rază egală în direcția opusă. Acest lucru este echivalent cu deplasarea punctului printr-o cale circulară de exact 180 de grade. Citind valoarea din graficul Smith pentru Q1, ne amintim că scalarea este acum în admitere normalizată, dă . Efectuarea calculului ${\ displaystyle 0.63 \ angle 60 ^ {\ circ} \,}$${\ displaystyle z_ {P} = 0,80 + j1.40 \,}$${\ displaystyle y_ {P} = 0,30-j0,54 \,}$

${\ displaystyle y _ {\ text {T}} = {\ frac {1} {z _ {\ text {T}}}} \,}$

manual va confirma acest lucru.

Odată ce a fost efectuată o transformare de la impedanță la admisie, scalarea se schimbă în admisie normalizată până când se efectuează o transformare ulterioară înapoi la impedanță normalizată.

Tabelul de mai jos prezintă exemple de impedanțe normalizate și admitențele normalizate echivalente ale acestora obținute prin rotația punctului la 180 °. Din nou, acestea pot fi obținute fie prin calcul, fie utilizând o diagramă Smith așa cum se arată, convertind între impedanța normalizată și planurile de admitere normalizate.

Valorile coeficientului de reflecție ca impedanțe normalizate și admiterile echivalente normalizate

Planul de impedanță normalizat	Planul de admitere normalizat
P 1 ( ) ${\ displaystyle z = 0,80 + j1.40 \,}$	Q 1 ( ) ${\ displaystyle y = 0,30-j0,54 \,}$
P 10 ( ) ${\ displaystyle z = 0.10 + j0.22 \,}$	Q 10 ( ) ${\ displaystyle y = 1.80-j3.90 \,}$

Valorile coeficientului de reflecție complex reprezentate pe diagrama Smith cu impedanță normalizată și echivalenții lor pe diagrama Smith cu admitență normalizată

Alegerea tipului de grafic Smith și a tipului de componentă

Alegerea dacă se folosește graficul Z Smith sau graficul Y Smith pentru un anumit calcul depinde de care este mai convenabil. Impedanțele în serie și admitențele în paralel se adaugă în timp ce impedanțele în paralel și admitențele în serie sunt legate de o ecuație reciprocă. Dacă este impedanța echivalentă a impedanțelor de serie și este impedanța echivalentă a impedanțelor paralele, atunci ${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {TP}}}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {TS}} = Z_ {1} + Z_ {2} + Z_ {3} + ... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Z _ {\ text {TP}}}} = {\ frac {1} {Z_ {1}}} + {\ frac {1} {Z_ {2}}} + { \ frac {1} {Z_ {3}}} + ... \,}$

Pentru admiteri, inversul este adevărat, adică

${\ displaystyle Y _ {\ text {TP}} = Y_ {1} + Y_ {2} + Y_ {3} + ... \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {Y _ {\ text {TS}}}} = {\ frac {1} {Y_ {1}}} + {\ frac {1} {Y_ {2}}} + { \ frac {1} {Y_ {3}}} + ... \,}$

Tratarea reciprocelor , în special în numere complexe, consumă mai mult timp și este predispusă la erori decât folosirea adunării liniare. Prin urmare, în general, majoritatea inginerilor RF lucrează în planul în care topografia circuitului acceptă adăugarea liniară. Tabelul următor prezintă expresiile complexe pentru impedanță (reală și normalizată) și admisie (reală și normalizată) pentru fiecare dintre cele trei elemente de bază ale circuitului pasiv : rezistență, inductanță și capacitate. Folosind doar impedanța caracteristică (sau admisia caracteristică) și frecvența de testare , se poate găsi un circuit echivalent și invers.

Expresii pentru impedanță și admitere
normalizate de impedanță Z ₀ sau de admitere Y ₀

Tipul elementului	Impedanță ( Z sau z ) sau Reactanță ( X sau x )		Admiterea ( Y sau y ) sau Susceptarea ( B sau b )
	Real ( ) ${\ displaystyle \ Omega \,}$	Normalizat (fără unitate)	Real (S)	Normalizat (fără unitate)
Rezistență ( R )	${\ displaystyle Z = R \,}$	${\ displaystyle z = {\ frac {R} {Z_ {0}}} = RY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = G = {\ frac {1} {R}} \,}$	${\ displaystyle y = g = {\ frac {1} {RY_ {0}}} = {\ frac {Z_ {0}} {R}} \,}$
Inductanță ( L )	${\ displaystyle Z = jX _ {\ text {L}} = j \ omega L \,}$	${\ displaystyle z = jx _ {\ text {L}} = j {\ frac {\ omega L} {Z_ {0}}} = j \ omega LY_ {0} \,}$	${\ displaystyle Y = -jB _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega L}}}$	${\ displaystyle y = -jb _ {\ text {L}} = {\ frac {-j} {\ omega LY_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {\ omega L}} \, }$
Capacitate ( C )	${\ displaystyle Z = -jX _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega C}} \,}$	${\ displaystyle z = -jx _ {\ text {C}} = {\ frac {-j} {\ omega CZ_ {0}}} = {\ frac {-jY_ {0}} {\ omega C}} \, }$	${\ displaystyle Y = jB _ {\ text {C}} = j \ omega C \,}$	${\ displaystyle y = jb _ {\ text {C}} = j {\ frac {\ omega C} {Y_ {0}}} = j \ omega CZ_ {0} \,}$

Utilizarea diagramei Smith pentru rezolvarea problemelor de potrivire conjugate cu componentele distribuite

Potrivirea distribuită devine fezabilă și este uneori necesară atunci când dimensiunea fizică a componentelor potrivite este mai mare de aproximativ 5% din lungimea de undă la frecvența de funcționare. Aici comportamentul electric al multor componente aglomerate devine destul de imprevizibil. Acest lucru se întâmplă în circuitele cu microunde și când puterea mare necesită componente mari în unde scurte, FM și TV,

Pentru componentele distribuite, efectele asupra coeficientului de reflecție și impedanței deplasării de-a lungul liniei de transmisie trebuie permise pentru utilizarea scalei circumferențiale exterioare a diagramei Smith, care este calibrată în lungimi de undă.

Următorul exemplu arată cum o linie de transmisie, terminată cu o sarcină arbitrară, poate fi potrivită la o singură frecvență, fie cu o componentă reactivă serie, fie paralelă, conectată în fiecare caz la poziții precise.

Construcția graficului Smith pentru unele potriviri distribuite ale liniilor de transmisie

Presupunând că o linie de transmisie aeriană fără pierderi cu impedanță caracteristică , care funcționează la o frecvență de 800 MHz, este terminată cu un circuit cuprinzând un rezistor de 17,5 în serie cu un inductor de 6,5 nanohenry (6,5 nH). Cum poate fi potrivită linia? ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Din tabelul de mai sus, reactanța inductorului care face parte din terminație la 800 MHz este

${\ displaystyle Z_ {L} = j \ omega L = j2 \ pi fL = j32.7 \ \ Omega \,}$

deci impedanța combinației ( ) este dată de ${\ displaystyle Z_ {T}}$

${\ displaystyle Z_ {T} = 17,5 + j32,7 \ \ Omega \,}$

iar impedanța normalizată ( ) este ${\ displaystyle z_ {T}}$

${\ displaystyle z_ {T} = {\ frac {Z_ {T}} {Z_ {0}}} = 0,35 + j0,65 \,}$

Aceasta este reprezentată pe graficul Z Smith la punctul P ₂₀ . Linia OP ₂₀ este extinsă până la scala lungimii de undă unde se intersectează în acest punct . Deoarece linia de transmisie nu prezintă pierderi, un cerc centrat în centrul diagramei Smith este trasat prin punctul P ₂₀ pentru a reprezenta calea coeficientului constant de reflexie a magnitudinii datorată terminării. În punctul P ₂₁ cercul se intersectează cu cercul de unitate de rezistență constantă normalizată la ${\ displaystyle L_ {1} = 0,098 \ lambda \,}$

${\ displaystyle z_ {P21} = 1,00 + j1,52 \,}$.

Extensia liniei OP ₂₁ intersectează scala lungimii de undă la , prin urmare distanța de la terminare la acest punct de pe linie este dată de ${\ displaystyle L_ {2} = 0,177 \ lambda \,}$

${\ displaystyle L_ {2} -L_ {1} = 0,177 \ lambda -0,098 \ lambda = 0,079 \ lambda \,}$

Deoarece linia de transmisie este spațiată de aer, lungimea de undă la 800 MHz în linie este aceeași cu cea din spațiul liber și este dată de

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {f}} \,}$

unde este viteza radiației electromagnetice în spațiul liber și este frecvența în hertz. Rezultatul oferă , făcând poziția componentei potrivite la 29,6 mm de sarcină. ${\ displaystyle c \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle \ lambda = 375 \ \ mathrm {mm} \,}$

Potrivirea conjugată pentru impedanța la P ₂₁ ( ) este ${\ displaystyle z_ {match} \,}$

${\ displaystyle z_ {match} = - j (1.52), \!}$

Deoarece graficul Smith se află încă în planul de impedanță normalizat, din tabelul de mai sus este necesar un condensator de serie unde ${\ displaystyle C_ {m} \,}$

${\ displaystyle z_ {match} = - j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {m} Z_ {0}}} = {\ frac {-j} {2 \ pi fC_ {m} Z_ {0}}} \,}$

Rearanjând, obținem

${\ displaystyle C_ {m} = {\ frac {1} {(1.52) \ omega Z_ {0}}} = {\ frac {1} {(1.52) (2 \ pi f) Z_ {0}}}}$.

Înlocuirea valorilor cunoscute dă

${\ displaystyle C_ {m} = 2.6 \ \ mathrm {pF} \,}$

Pentru a se potrivi terminării la 800 MHz, un condensator de serie de 2,6 pF trebuie plasat în serie cu linia de transmisie la o distanță de 29,6 mm de terminare.

O potrivire alternativă de șunt ar putea fi calculată după efectuarea unei transformări a graficului Smith de la impedanță normalizată la admisie normalizată. Punctul Q ₂₀ este echivalentul lui P ₂₀ dar exprimat ca o admitere normalizată. Citind din scalarea graficului Smith, amintindu-ne că acum este o admitere normalizată

${\ displaystyle y_ {Q20} = 0,65-j1.20 \,}$

(De fapt, această valoare nu este de fapt utilizată). Cu toate acestea, extinderea liniei OQ ₂₀ până la scala lungimii de undă dă . Cel mai devreme punct în care s-ar putea introduce o potrivire conjugată de șunt, deplasându-se spre generator, ar fi la Q ₂₁ , aceeași poziție ca P ₂₁ precedent , dar de această dată reprezentând o admisie normalizată dată de ${\ displaystyle L_ {3} = 0,152 \ lambda \,}$

${\ displaystyle y_ {Q21} = 1,00 + j1,52 \,}$.

Distanța de-a lungul liniei de transmisie este în acest caz

${\ displaystyle L_ {2} + L_ {3} = 0.177 \ lambda +0.152 \ lambda = 0.329 \ lambda \,}$

care se transformă la 123 mm.

Componenta de potrivire conjugată trebuie să aibă o admisie normalizată ( ) de ${\ displaystyle y_ {match}}$

${\ displaystyle y_ {match} = - j1.52 \,}$.

Din tabel se poate observa că o admisie negativă ar necesita un inductor, conectat în paralel cu linia de transmisie. Dacă valoarea sa este , atunci ${\ displaystyle L_ {m} \,}$

${\ displaystyle -j1.52 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {m} Y_ {0}}} = {\ frac {-jZ_ {0}} {2 \ pi fL_ {m}}} \ ,}$

Acest lucru dă rezultatul

${\ displaystyle L_ {m} = 6,5 \ \ mathrm {nH} \,}$

O potrivire adecvată a șuntului inductiv ar fi, prin urmare, un inductor de 6,5 nH în paralel cu linia poziționată la 123 mm de sarcină.

Folosind graficul Smith pentru a analiza circuitele cu elemente nodulare

Analiza componentelor elementelor nodulare presupune că lungimea de undă la frecvența de funcționare este mult mai mare decât dimensiunile componentelor în sine. Diagrama Smith poate fi utilizată pentru a analiza astfel de circuite, caz în care mișcările din jurul diagramei sunt generate de impedanțele (normalizate) și admiterile componentelor la frecvența de funcționare. În acest caz, scalarea lungimii de undă pe circumferința diagramei Smith nu este utilizată. Următorul circuit va fi analizat folosind o diagramă Smith la o frecvență de operare de 100 MHz. La această frecvență, lungimea de undă a spațiului liber este de 3 m. Dimensiunile componentelor în sine vor fi în ordinea milimetrilor, astfel încât presupunerea componentelor aglomerate va fi validă. În ciuda faptului că nu există o linie de transmisie ca atare, o impedanță a sistemului trebuie totuși definită pentru a permite calculele de normalizare și de-normalizare și este o alegere bună aici . Dacă ar exista valori foarte diferite ale rezistenței prezente, o valoare mai apropiată de acestea ar putea fi o alegere mai bună. ${\ displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega \,}$${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Un circuit cu element nodular care poate fi analizat folosind o diagramă Smith

Diagrama Smith cu construcție grafică pentru analiza unui circuit blocat

Analiza începe cu un grafic Z Smith care analizează R ₁ numai fără alte componente prezente. Așa cum este la fel ca impedanța sistemului, acest lucru este reprezentat de un punct în centrul diagramei Smith. Prima transformare este OP _{1 de} -a lungul liniei de rezistență normalizată constantă în acest caz adăugarea unei reactanțe normalizate de - j 0,80, corespunzătoare unui condensator de serie de 40 pF. Punctele cu sufixul P se află în planul Z și punctele cu sufixul Q se află în planul Y. Prin urmare, transformările P ₁ la Q ₁ și P ₃ la Q ₃ sunt de la diagrama Z Smith la diagrama Y Smith și transformarea Q ₂ la P ₂ este de la diagrama Y Smith la diagrama Z Smith. Tabelul următor arată pașii parcurși pentru a trece prin componentele și transformările rămase, revenind în cele din urmă la centrul diagramei Smith și o potrivire perfectă de 50 ohmi. ${\ displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Pașii graficului Smith pentru analiza unui circuit cu elemente nodulare

Transformare	Avion	x sau y Valoare normalizată	Capacitate / inductanță	Formula de rezolvat	Rezultat
${\ displaystyle O \ rightarrow P_ {1} \,}$	${\ displaystyle Z \,}$	${\ displaystyle -j0.80 \,}$	Capacitate (Seria)	${\ displaystyle -j0.80 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {1} Z_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {1} = 40 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {1} \ rightarrow Q_ {2} \,}$	${\ displaystyle Y \,}$	${\ displaystyle -j1.49 \,}$	Inductanță (șunt)	${\ displaystyle -j1.49 = {\ frac {-j} {\ omega L_ {1} Y_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle L_ {1} = 53 \ \ mathrm {nH} \,}$
${\ displaystyle P_ {2} \ rightarrow P_ {3} \,}$	Z	${\ displaystyle -j0.23 \,}$	Capacitate (Seria)	${\ displaystyle -j0.23 = {\ frac {-j} {\ omega C_ {2} Z_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {2} = 138 \ \ mathrm {pF} \,}$
${\ displaystyle Q_ {3} \ rightarrow O \,}$	Da	${\ displaystyle + j1.14 \,}$	Capacitate (șunt)	${\ displaystyle + j1.14 = {\ frac {j \ omega C_ {3}} {Y_ {0}}} \,}$	${\ displaystyle C_ {3} = 36 \ \ mathrm {pF} \,}$

Diagrama 3D Smith

Reprezentarea graficului 3D Smith

O diagramă 3D Smith generalizată bazată pe planul complex extins ( sfera Riemann ) și geometria inversă a fost propusă în 2011. Diagrama unifică proiectarea circuitului pasiv și activ pe cercuri mici și mari de pe suprafața unei sfere unitare utilizând harta conformă stereografică a planul generalizat al coeficientului de reflexie. Având în vedere punctul la infinit, spațiul noii diagrame include toate sarcinile posibile. Polul nord este punctul perfect de potrivire, în timp ce polul sud este punctul perfect de nepotrivire. Graficul 3D Smith a fost extins în continuare în afara suprafeței sferice, pentru reprezentarea diferiților parametri scalari, cum ar fi întârzierea grupului, factorii de calitate sau orientarea frecvenței. Vizualizarea orientării frecvenței (în sensul acelor de ceasornic / invers acelor de ceasornic) permite diferențierea dintre o capacitate negativă și un inductor pozitiv, ai cărui coeficienți de reflexie sunt aceiași atunci când sunt reprezentate pe o diagramă Smith 2D, dar ale căror orientări diferă pe măsură ce crește frecvența.

Referințe

Lecturi suplimentare

• Pentru o reprezentare timpurie a acestei descrieri grafice înainte de a fi numite „Grafice Smith”, vezi Campbell, GA (1911). „Oscilații cisoidale”. Proceedings of the American Institute of Electrical Engineers . 30 (1-6): 789-824. doi : 10.1109 / PAIEE.1911.6659711 ., În special, Fig. 13 de la p. 810.

linkuri externe

• „Construcția matematică și proprietățile diagramei Smith” . allaboutcircuits.com . articole tehnice.
• „Diagrama Smith și Tutorialul de potrivire a impedanței cu exemple” . antenă-teorie.com .
• „Diagrama Mizuhashi-Smith” . www.linkclub.or.jp/~morikuni . Arhivat din original pe 03-03-2013.
• „Diagrama Excel Smith” . excelhero.com . August 2010. Diagramă interactivă, non-comercială, care arată cel mai bine în Excel 2007+.
• „SimSmith” . ae6ty.com .Non-comercial, disponibil pentru Windows, Mac și Linux. Multe videoclipuri tutoriale cu diagrame Smith. Fără restricții privind dimensiunea circuitului. Nu se limitează la circuitele scării.
• „Smith v3” . fritz.dellsperger.net . Arhivat din original la 04.03.2015. Grafic comercial și gratuit Smith pentru Windows
• „QuickSmith” . github.com/niyeradori .Unealtă gratuită bazată pe web Smith Chart Educational disponibilă pe GitHub .
• „Instrumentul grafic 3D Smith” . 3dsmithchart.com . 2D și 3D Smith grafic instrument generalizat pentru circuite active și pasive (gratuit pentru mediul academic / educație).