Elipsă Steiner - Steiner ellipse

Elipsa Steiner a unui triunghi isoscel . Cele trei segmente de linie din interiorul triunghiului sunt medianele triunghiului , fiecare împărțind câte o parte. Medianele coincid la centroidul triunghiului , care este, de asemenea, centrul elipsei Steiner.

În geometrie , elipsa Steiner a unui triunghi , numită și circumellipse Steiner pentru a-l distinge de inellipse Steiner , este circumellipse unic ( elipsă care atinge triunghiul la vârfurile sale ) al cărui centru este centroidul triunghiului . Numit după Jakob Steiner , este un exemplu de circumconic . Prin comparație, circumscris unui triunghi este un alt circumconic care atinge triunghiul la vârfurile sale, dar nu este centrat la centroidul triunghiului excepția cazului în care triunghiul este echilateral .

Aria elipsei Steiner este egală cu aria triunghiului și, prin urmare, este de 4 ori aria inelipsei Steiner. Elipsa Steiner are cea mai mică zonă dintre orice elipsă circumscrisă în jurul triunghiului. ${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}},}$

Elipsa Steiner este inelipsa Steiner scalată (factorul 2, centrul este centroidul). Prin urmare, ambele elipse sunt similare (au aceeași excentricitate ).

Proprietăți

Elipsa Steiner a unui triunghi echilateral (stânga) și isoscel

O elipsă Steiner este singura elipsă, al cărei centru este centroidul unui triunghi și conține punctele . Aria elipsei Steiner este mai mare decât aria triunghiului. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle A, B, C}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Dovadă

A) Pentru un triunghi echilateral, elipsa lui Steiner este circumcercul , care este singura elipsă, care îndeplinește condițiile prealabile. Elipsa dorită trebuie să conțină triunghiul reflectat în centrul elipsei. Acest lucru este valabil pentru circumcerc. O conică este determinată în mod unic de 5 puncte. Prin urmare circumcercul este singura elipsă Steiner.

B) Deoarece un triunghi arbitrar este imaginea afină a unui triunghi echilateral, o elipsă este imaginea afină a cercului unitar, iar centroul unui triunghi este mapat pe centroul triunghiului imaginii, proprietatea (un circumellipse unic cu centroidul ca centru) este adevărat pentru orice triunghi.

Aria circumferinței circumscrise a unui triunghi echilateral este -pliată a ariei triunghiului. O hartă afină păstrează raportul suprafețelor. Prin urmare, afirmația privind raportul este adevărată pentru orice triunghi și elipsa lui Steiner. ${\ displaystyle {\ tfrac {4 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Determinarea punctelor conjugate

O elipsă poate fi desenată (computer sau manual), dacă pe lângă centru sunt cunoscute cel puțin două puncte conjugate pe diametre conjugate. În acest caz

oricare determină prin construcția lui Rytz vârfurile elipsei și desenează elipsa cu o busolă de elipsă adecvată
sau folosește o reprezentare parametrică pentru desenarea elipsei.

Pași pentru determinarea punctelor conjugate pe o elipsă Steiner:
1) transformarea triunghiului pe un triunghi isoscel
2) determinarea punctului care este conjugat cu (pașii 1-5) 3) desenarea elipsei cu jumătăți de diametre conjugate

{\ displaystyle D}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle SC, SD}

Fie un triunghi și centroul său . Cartografierea forfecării cu axa prin și paralelă transformă triunghiul pe triunghiul isoscel (a se vedea diagrama). Punctul este un vârf al elipsei de triunghi Steiner . Un al doilea vârf al acestei elipse se află , deoarece este perpendicular pe (motive de simetrie). Acest vârf poate fi determinat din date (elipsă cu centrul prin și , ) prin calcul . Se pare că ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle AB}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle SC '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle | A'B '| = c}$

{\ displaystyle | SD | = {\ frac {c} {\ sqrt {3}}} \.}

Sau prin desen : Folosind metoda lui de la Hire (vezi diagrama centrală) se determină vârful elipsei Steiner a triunghiului isoscel . ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle A'B'C '}$

Maparea inversă a hărților de forfecare înapoi la și punctul este fixă, deoarece este un punct pe axa de forfecare. Prin urmare, semidiametrul este conjugat cu . ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle SD}$ ${\ displaystyle SC}$

Cu ajutorul acestei perechi de semidiametre conjugate, elipsa poate fi desenată, manual sau computer.

Reprezentare parametrică și ecuație

Elipsa Steiner a unui triunghi care include axele și vârfurile (violet)

Date: Triunghi dorit: reprezentare parametrică și ecuația elipsei sale Steiner ${\ displaystyle \ A = (a_ {1}, a_ {2}), \; B = (b_ {1}, b_ {2}), \; C = (c_ {1}, c_ {2})}$

Centroidul triunghiului este ${\ displaystyle \ S = ({\ tfrac {a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}} {3}}, {\ tfrac {a_ {2} + b_ {2} + c_ {2}} {3}}) \.}$

Reprezentare parametrică:

Din investigația secțiunii anterioare se obține următoarea reprezentare parametrică a elipsei Steiner:

${\ displaystyle \ {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ overrightarrow {OS}} \; + \; {\ overrightarrow {SC}} \; \ cos t \; + \; {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ overrightarrow {AB}} \; \ sin t \;, \ quad 0 \ leq t <2 \ pi \ ;.}$

Cele patru vârfuri ale elipsei sunt de unde vine ${\ displaystyle \ quad {\ vec {p}} (t_ {0}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} \ pm {\ frac {\ pi} {2}}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} + \ pi), \}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$

{\ displaystyle \ cot (2t_ {0}) = {\ frac {{\ vec {f}} _ {1} ^ {\, 2} - {\ vec {f}} _ {2} ^ {\, 2 }} {2 {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}}} \ quad}

cu (vezi elipsa ).

{\ displaystyle \ quad {\ vec {f}} _ {1} = {\ vec {SC}}, \ quad {\ vec {f}} _ {2} = {\ frac {1} {\ sqrt {3 }}} {\ vec {AB}} \ quad}

Rolurile punctelor pentru determinarea reprezentării parametrice pot fi modificate.

Exemplu (vezi diagrama): . ${\ displaystyle A = (- 5, -5), B = (0,25), C = (20,0)}$

Elipsa Steiner ca exemplu pentru „ecuație”

Ecuaţie:

Dacă originea este centroidul triunghiului (centrul elipsei Steiner), ecuația corespunzătoare reprezentării parametrice este ${\ textstyle {\ vec {x}} = {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t}$

${\ displaystyle \ (xf_ {2y} -yf_ {2x}) ^ {2} + (yf_ {1x} -xf_ {1y}) ^ {2} - (f_ {1x} f_ {2y} -f_ {1y} f_ {2x}) ^ {2} = 0 \,}$

cu . ${\ displaystyle \ {\ vec {f}} _ {i} = (f_ {ix}, f_ {iy}) ^ {T} \}$

Exemplu: Centroidul triunghiului este originea. Din vectori se obține ecuația elipsei Steiner: ${\ displaystyle \ quad A = (- {\ tfrac {3} {2}} {\ sqrt {3}}, - {\ tfrac {3} {2}}), \ B = ({\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}, - {\ tfrac {3} {2}}), \ C = ({\ sqrt {3}}, 3) \ quad}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1} = ({\ sqrt {3}}, 3) ^ {T}, \ {\ vec {f}} _ {2} = (2,0) ^ {T} \}$

{\ displaystyle 9x ^ {2} + 7y ^ {2} -6 {\ sqrt {3}} xy-36 = 0 \.}

Determinarea semiaxelor și a excentricității liniare

Dacă vârfurile sunt deja cunoscute (a se vedea mai sus), semi-axele pot fi determinate. Dacă cineva este interesat doar de axe și excentricitate, următoarea metodă este mai potrivită:

Fie semi axele elipsei Steiner. Din teorema lui Apollonios privind proprietățile semi-diametrelor conjugate ale elipselor se obține: ${\ displaystyle a, b, \; a> b}$

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = {\ vec {SC}} ^ {2} + {\ vec {SD}} ^ {2} \, \ quad a \ cdot b = \ left | \ det ({\ vec {SC}}, {\ vec {SD}}) \ right | \.}

Notarea laturilor drepte ale ecuațiilor prin și respectiv și transformarea sistemului neliniar (respectând ) conduce la: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle a> b> 0}$

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = M, \ ab = N \ quad \ rightarrow \ quad a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = M + 2N, \ a ^ {2 } -2ab + b ^ {2} = M-2N}

{\ displaystyle \ rightarrow \ quad (a + b) ^ {2} = M + 2N, \ (ab) ^ {2} = M-2N \ quad \ rightarrow \ quad a + b = {\ sqrt {M + 2N }}, \ ab = {\ sqrt {M-2N}} \.}

Rezolvarea pentru și se obține semi-axele : ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ a = {\ frac {1} {2}} ({\ sqrt {M + 2N}} + {\ sqrt {M-2N}}) \, \ qquad b = {\ frac {1} { 2}} ({\ sqrt {M + 2N}} - {\ sqrt {M-2N}}) \,}$

cu . ${\ displaystyle \ qquad M = {\ vec {SC}} ^ {2} + {\ frac {1} {3}} {\ vec {AB}} ^ {2} \, \ quad N = {\ frac { 1} {\ sqrt {3}}} | \ det ({\ vec {SC}}, {\ vec {AB}}) | \ qquad}$