Sferele celeste - Celestial spheres

Sferele cerești geocentrice; Cosmographia lui Peter Apian (Anvers, 1539)

În sferele cerești , sau globurile cerești , au fost entitățile fundamentale ale cosmologice modelelor dezvoltate de Platon , Eudoxus , Aristotel , Ptolemeu , Copernic , și altele. În aceste modele cerești, mișcările aparente ale stelelor și planetelor fixe sunt luate în considerare prin tratarea lor ca fiind încorporate în sfere rotative formate dintr-un al cincilea element eteric, transparent ( chintesență ), precum bijuteriile așezate în globuri. De vreme ce se credea că stelele fixe nu și-au schimbat pozițiile una față de cealaltă, s-a susținut că acestea trebuie să fie la suprafața unei singure sfere înstelate.

În gândirea modernă, orbitele planetelor sunt privite ca căile acelor planete prin spațiul majoritar gol. Gânditorii antici și medievali, totuși, considerau că globurile cerești erau sfere groase de materie rarefiată cuibărite una în cealaltă, fiecare în contact complet cu sfera de deasupra și sfera de dedesubt. Când oamenii de știință au aplicat epiciclurile lui Ptolemeu , ei au presupus că fiecare sferă planetară era exact suficient de groasă pentru a le putea găzdui. Prin combinarea acestui model de sferă imbricată cu observații astronomice, cercetătorii au calculat ceea ce a devenit valorile general acceptate la momentul respectiv pentru distanțele față de Soare: aproximativ 4 milioane de mile (6,4 milioane de kilometri), la celelalte planete și la marginea universului: aproximativ 73 de milioane de mile (117 milioane de kilometri). Distanțele modelului de sferă cuibărită față de Soare și planete diferă semnificativ de măsurătorile moderne ale distanțelor, iar dimensiunea universului este acum cunoscută ca fiind de neconceput de mare și în continuă expansiune .

Albert Van Helden a sugerat că, din aproximativ 1250 până în secolul al XVII-lea, practic toți europenii educați erau familiarizați cu modelul ptolemeic al „sferelor de cuibărit și cu dimensiunile cosmice derivate din acesta”. Chiar și după adoptarea modelului heliocentric al universului lui Copernic, au fost introduse noi versiuni ale modelului sferei cerești, sferele planetare urmând această secvență din Soarele central: Mercur, Venus, Pământ-Lună, Marte, Jupiter și Saturn.

Credința generală în teoria sferelor cerești nu a supraviețuit Revoluției Științifice . La începutul anilor 1600, Kepler a continuat să discute sferele cerești, deși nu a considerat că planetele erau purtate de sfere, ci a susținut că acestea se mișcau pe căi eliptice descrise de legile lui Kepler ale mișcării planetare . La sfârșitul anilor 1600, teoriile grecești și medievale referitoare la mișcarea obiectelor terestre și cerești au fost înlocuite de legea Newton a gravitației universale și a mecanicii newtoniene , care explică modul în care legile lui Kepler apar din atracția gravitațională dintre corpuri.

Istorie

Idei timpurii de sfere și cercuri

În antichitatea greacă ideile de sfere și inele cerești au apărut pentru prima dată în cosmologia lui Anaximandru la începutul secolului al VI-lea î.Hr. În cosmologia sa, atât Soarele cât și Luna sunt guri de deschidere circulare în inele tubulare de foc închise în tuburi de aer condensat; aceste inele constituie jantele roților rotative asemănătoare unui car care pivotează pe Pământ în centrul lor. Stelele fixe sunt, de asemenea, guri de deschidere în astfel de jante, dar există atât de multe astfel de roți pentru stele, încât jantele lor adiacente formează o coajă sferică continuă care cuprinde Pământul. Toate aceste jante au fost inițial formate dintr-o sferă de foc originală care cuprindea în întregime Pământul, care se dezintegrase în multe inele individuale. Prin urmare, în cosmogonia lui Anaximanders, la început a fost sfera, din care s-au format inele cerești, din care s-a compus la rândul său sfera stelară. Văzut de pe Pământ, inelul Soarelui era cel mai înalt, cel al Lunii era mai jos și sfera stelelor era cea mai mică.

După Anaximandru, elevul său Anaximenes (c. 585–528 / 4) a susținut că stelele, Soarele, Luna și planetele sunt toate făcute din foc. Dar, în timp ce stelele sunt fixate pe o sferă de cristal rotativă, cum ar fi cuie sau știfturi, Soarele, Luna și planetele, precum și Pământul, toate călătoresc doar pe aer ca frunzele din cauza lățimii lor. Și în timp ce stelele fixe sunt purtate într-un cerc complet de sfera stelară, Soarele, Luna și planetele nu se învârt sub pământ între apariția și răsăritul, așa cum fac stelele, ci mai degrabă la asezare, acestea se întorc lateral în jurul Pământului, un capac întorcându-se la jumătatea capului până când se ridică din nou. Și spre deosebire de Anaximandru, el a retrogradat stelele fixe în regiunea cea mai îndepărtată de Pământ. Cea mai durabilă caracteristică a cosmosului lui Anaximenes a fost concepția sa despre stele fixate pe o sferă de cristal ca într-un cadru rigid, care a devenit un principiu fundamental al cosmologiei până la Copernic și Kepler.

După Anaximenes, Pitagora , Xenofan și Parmenide au susținut că universul era sferic. Și mult mai târziu, în secolul al IV-lea î.Hr. Timpul lui Platon a propus că corpul cosmosului a fost realizat în forma cea mai perfectă și uniformă, cea a unei sfere care conține stelele fixe. Dar a susținut că planetele erau corpuri sferice așezate în benzi sau inele rotative, mai degrabă decât jante de roți, ca în cosmologia lui Anaximander.

Apariția sferelor planetare

În loc de benzi, studentul lui Platon, Eudoxus, a dezvoltat un model planetar folosind sfere concentrice pentru toate planetele, cu trei sfere fiecare pentru modelele sale de Lună și Soare și patru fiecare pentru modelele celorlalte cinci planete, realizând astfel 26 de sfere în total . Callipp a modificat acest sistem, folosind cinci sfere pentru modelele sale de Soare, Lună, Mercur, Venus și Marte și păstrând patru sfere pentru modelele lui Jupiter și Saturn, realizând astfel 33 de sfere în total. Fiecare planetă este atașată la interiorul propriului set de sfere. Deși modelele lui Eudoxus și Callippus descriu calitativ trăsăturile majore ale mișcării planetelor, acestea nu reușesc să dea seama exact de aceste mișcări și, prin urmare, nu pot oferi previziuni cantitative. Deși istoricii științei grecești au considerat în mod tradițional aceste modele ca fiind doar reprezentări geometrice, studii recente au propus că acestea au fost, de asemenea, destinate să fie fizic reale sau au reținut judecata, observând dovezile limitate pentru a rezolva problema.

În Metafizica sa , Aristotel a dezvoltat o cosmologie fizică a sferelor, bazată pe modelele matematice ale lui Eudoxus. În modelul ceresc pe deplin dezvoltat de Aristotel, Pământul sferic se află în centrul universului și planetele sunt mișcate de 47 sau 55 de sfere interconectate care formează un sistem planetar unificat, în timp ce în modelele lui Eudoxus și Callippus setul individual de sfere al fiecărei planete nu erau conectate la cele ale planetei următoare. Aristotel spune că numărul exact de sfere și, prin urmare, numărul de motoare, urmează să fie determinat prin investigații astronomice, dar a adăugat sfere suplimentare la cele propuse de Eudox și Callippus, pentru a contracara mișcarea sferelor exterioare. Aristotel consideră că aceste sfere sunt formate dintr-un al cincilea element neschimbat, eterul . Fiecare dintre aceste sfere concentrice este mișcată de propriul său zeu - un mutant divin nemiscat neschimbător și care își mișcă sfera pur și simplu în virtutea faptului că este iubit de ea.

Model ptolemeic al sferelor pentru Venus, Marte, Jupiter și Saturn cu epiciclu , punct excentric deferent și egal . Georg von Peuerbach , Theoricae novae planetarum , 1474.

În Almagest , astronomul Ptolemeu (aprox. 150 d.Hr.) a dezvoltat modele geometrice predictive ale mișcărilor stelelor și planetelor și le-a extins la un model fizic unificat al cosmosului din ipotezele sale planetare . Folosind excentrici și epicicluri , modelul său geometric a obținut detalii matematice și precizie predictivă mai mari decât cele prezentate de modelele sferice concentrice anterioare ale cosmosului. În modelul fizic al lui Ptolemeu, fiecare planetă este conținută în două sau mai multe sfere, dar în cartea 2 a ipotezelor sale planetare, Ptolemeu a descris felii circulare groase mai degrabă decât sfere ca în cartea 1. O sferă / felie este deferentă , cu un centru decalat oarecum de pe Pământ; cealaltă sferă / felie este un epiciclu încorporat în deferent, cu planeta încorporată în sfera / felie epiciclică. Modelul lui Ptolemeu de sfere de cuibărit a furnizat dimensiunile generale ale cosmosului, cea mai mare distanță de Saturn fiind de 19.865 ori raza Pământului și distanța stelelor fixe fiind de cel puțin 20.000 de raze ale Pământului.

Sferele planetare erau dispuse în afară de Pământul sferic, staționar din centrul universului în această ordine: sferele Lunii , Mercur , Venus , Soare , Marte , Jupiter și Saturn . În modele mai detaliate, cele șapte sfere planetare conțineau alte sfere secundare în ele. Sferele planetare au fost urmate de sfera stelară care conține stelele fixe; alți cercetători au adăugat o a noua sferă pentru a explica precesiunea echinocțiilor , o a zecea pentru a explica presupusa trepidare a echinocțiilor și chiar o a unsprezecea pentru a explica oblicitatea în schimbare a eclipticii . În antichitate, ordinea planetelor inferioare nu a fost convenită universal. Platon și adepții săi le-au comandat Luna, Soarele, Mercur, Venus și apoi au urmat modelul standard pentru sferele superioare. Alții nu au fost de acord cu privire la locul relativ al sferelor lui Mercur și Venus: Ptolemeu le-a plasat pe amândouă sub Soare cu Venus deasupra lui Mercur, dar a remarcat că altele le-au plasat pe amândouă deasupra Soarelui; unii gânditori medievali, precum al-Bitruji , au plasat sfera lui Venus deasupra Soarelui și cea a lui Mercur sub ea.

Evul Mediu

Discuții astronomice

Pământul în șapte sfere cerești, de la Bede , De natura rerum , la sfârșitul secolului al XI-lea

O serie de astronomi, începând cu astronomul musulman al-Farghānī , au folosit modelul ptolemeic al sferelor de cuibărit pentru a calcula distanțele față de stele și sfere planetare. Distanța lui Al-Farghānī de stele a fost de 20.110 raze ale Pământului, care, presupunând că raza Pământului a fost de 5.230 kilometri, a ajuns la 105.182.700 kilometri. O introducere în Almagestul lui Ptolemeu , Tashil al-Majisti , despre care se crede că a fost scrisă de Thābit ibn Qurra , a prezentat variații minore ale distanțelor lui Ptolemeu față de sferele cerești. În lucrarea sa Zij , Al-Battani a prezentat calcule independente ale distanței față de planete pe modelul de sfere de cuibărit, pe care el credea a fost din cauza oamenii de știință scris după Ptolemeu. Calculele sale au condus la o distanță de 19.000 de raze ale Pământului până la stele.

Pe la sfârșitul mileniului, astronomul și polimatul arab Ibn al-Haytham (Alhacen) a prezentat o dezvoltare a modelelor geocentrice ale lui Ptolemeu în ceea ce privește sferele cuibărite. În ciuda similitudinii acestui concept cu cel al ipotezelor planetare ale lui Ptolemeu , prezentarea lui al-Haytham diferă în detalii suficiente încât s-a susținut că reflectă o dezvoltare independentă a conceptului. În capitolele 15-16 din Cartea sa de optică , Ibn al-Haytham a mai spus că sferele cerești nu constau din materie solidă .

Aproape de sfârșitul secolului al XII-lea, astronomul musulman spaniol al-Bitrūjī (Alpetragius) a căutat să explice mișcările complexe ale planetelor fără epiciclurile și excentricele lui Ptolemeu, folosind un cadru aristotelic de sfere pur concentrice care se deplasau cu viteze diferite de la est la vest. . Acest model a fost mult mai puțin precis ca model predictiv astronomic, dar a fost discutat de astronomii și filosofii europeni de mai târziu.

În secolul al XIII-lea astronomul al-'Urḍi a propus o schimbare radicală a sistemului de sfere de cuibărire al lui Ptolemeu. În Kitāb al-Hayáh , el a recalculat distanța planetelor folosind parametri pe care i-a redeterminat. Luând distanța Soarelui ca 1.266 de raze ale Pământului, el a fost forțat să plaseze sfera lui Venus deasupra sferei Soarelui; ca un rafinament suplimentar, el a adăugat diametrele planetei la grosimea sferelor lor. În consecință, versiunea sa a modelului de sfere cuibăritoare avea sfera stelelor la o distanță de 140.177 raze terestre.

Cam în același timp, savanții din universitățile europene au început să abordeze implicațiile filozofiei redescoperite a lui Aristotel și a astronomiei lui Ptolemeu. Atât cercetătorii astronomi, cât și scriitorii populari au luat în considerare implicațiile modelului de sferă imbricată pentru dimensiunile universului. Textul astronomic introductiv al lui Campanus din Novara , Theorica planetarum , a folosit modelul sferelor de cuibărit pentru a calcula distanțele diferitelor planete față de Pământ, pe care le-a dat ca 22.612 raze ale Pământului sau 73.387.747 100 ⁄ 660 mile. În Opus Majus , Roger Bacon a citat distanța lui Al-Farghānī de stelele de 20,110 raze ale Pământului, adică 65.357.700 mile, de la care a calculat circumferința universului la 410.818.517 3 ⁄ 7 mile. Dovezi clare că acest model a fost gandit pentru a reprezenta realitatea fizică este conturile găsite în Bacon Opus Majus a timpului necesar pentru a merge la Lună și în populara Orientul Mijlociu engleză de Sud engleză legendar , care ar dura 8.000 de ani pentru a ajunge la cel mai înalt cerul înstelat . Înțelegerea generală a dimensiunilor universului derivate din modelul sferei imbricate a ajuns la un public mai larg prin prezentările în ebraică de Moise Maimonide , în franceză de Gossuin din Metz și în italiană de Dante Alighieri .

Discuții filozofice și teologice

Filosofii erau mai puțin preocupați de astfel de calcule matematice decât de natura sferelor cerești, de relația lor cu relatările dezvăluite despre natura creată și de cauzele mișcării lor.

Adi Setia descrie dezbaterea dintre savanții islamici din secolul al XII-lea, bazată pe comentariul lui Fakhr al-Din al-Razi despre dacă sferele cerești sunt corpuri fizice reale, concrete sau „doar cercurile abstracte din ceruri trasate ... de către diferite stele și planete. " Setia subliniază că majoritatea celor învățați și astronomii au spus că sunt sfere solide „pe care se întorc stelele ... și această viziune este mai apropiată de sensul aparent al versetelor Coranice referitoare la orbitele cerești”. Cu toate acestea, al-Razi menționează că unii, precum savantul islamic Dahhak, i-au considerat abstracte. Al-Razi însuși, a fost indecis, a spus: „Într-adevăr, nu există nici o modalitate de a constata caracteristicile cerurilor decât prin autoritate [a revelației divine sau a tradițiilor profetice]”. Setia concluzionează: „Astfel se pare că pentru al-Razi (și pentru alții dinainte și după el), modelele astronomice, indiferent de utilitatea lor sau lipsa acestora pentru ordonarea cerurilor, nu se bazează pe dovezi raționale solide și, prin urmare, niciun angajament intelectual nu poate să le fie făcute în ceea ce privește descrierea și explicația realităților cerești. "

Filozofii creștini și musulmani au modificat sistemul lui Ptolemeu pentru a include o regiune ultraperiferică nemișcată, cerul empiric , care a ajuns să fie identificat ca locuința lui Dumnezeu și a tuturor aleșilor. Creștinii medievali au identificat sfera stelelor cu firmamentul biblic și uneori au propus un strat invizibil de apă deasupra firmamentului, în acord cu Geneza . O sferă exterioară, locuită de îngeri , a apărut în unele relatări.

Edward Grant , un istoric al științei, a furnizat dovezi că filozofii scolastici medievali considerau în general sferele cerești ca fiind solide în sensul tridimensional sau continuu, dar majoritatea nu le considera solide în sensul de greu. Consensul a fost că sferele cerești erau formate dintr-un fel de fluid continuu.

Mai târziu în secol, mutakallimul Adud al-Din al-Iji (1281–1355) a respins principiul mișcării uniforme și circulare, urmând doctrina Ash'ari a atomismului , care susținea că toate efectele fizice erau cauzate direct de voința lui Dumnezeu mai degrabă decât prin cauze naturale. El susținea că sferele cerești erau „lucruri imaginare” și „mai tenue decât o pânză de păianjen”. Opiniile sale au fost contestate de al-Jurjani (1339-1413), care a susținut că, chiar dacă sferele cerești „nu au o realitate externă, totuși sunt lucruri care sunt corect imaginate și corespund cu ceea ce [există] în realitate”.

Astronomii și filozofii medievali au dezvoltat teorii diverse despre cauzele mișcărilor sferelor cerești. Au încercat să explice mișcările sferelor în termeni de materiale din care se credea că sunt făcute, mișcătoare externe, cum ar fi inteligențele cerești, și mișcări interne, cum ar fi suflete motrice sau forțe impresionate. Majoritatea acestor modele au fost calitative, deși câteva au încorporat analize cantitative care au legat viteza, forța motrice și rezistența. Până la sfârșitul Evului Mediu, opinia comună în Europa a fost că corpurile cerești au fost mutate de inteligențe externe, identificate cu îngerii de revelație . Sfera cea mai exterioară în mișcare , care se mișca odată cu mișcarea zilnică care afectează toate sferele subordonate, a fost mișcată de un mutant neclintit , Primul Mișcător , care a fost identificat cu Dumnezeu. Fiecare dintre sferele inferioare a fost mutată de un mutant spiritual subordonat (un înlocuitor pentru multiplele mișcări divine ale lui Aristotel), numit inteligență.

Renaştere

Modelul heliocentric copernican din 1576 al lui Thomas Digges al globurilor cerești

La începutul secolului al XVI-lea, Nicolaus Copernic a reformat drastic modelul astronomiei deplasând Pământul de la locul său central în favoarea Soarelui, totuși el a numit marea sa lucrare De revolutionibus orbium coelestium ( Despre revoluțiile sferei cerești ). Deși Copernic nu tratează în detaliu natura fizică a sferelor, puținele sale aluzii arată clar că, la fel ca mulți dintre predecesorii săi, el a acceptat sferele cerești non-solide. Copernic a respins a noua și a zecea sferă, a plasat globul Lunii în jurul Pământului și a mutat Soarele de pe globul său în centrul universului . Globele planetare au înconjurat centrul universului în următoarea ordine: Mercur, Venus, marele glob care conține Pământul și globul Lunii, apoi globurile lui Marte, Jupiter și Saturn. În cele din urmă, el a păstrat a opta sferă a stelelor , pe care a considerat-o staționară.

Producătorul englez de almanahuri, Thomas Digges , a delimitat sferele noului sistem cosmologic în Perfit Description of the Caelestiall Orbes ... (1576). Aici a aranjat „orbele” în noua ordine copernicană, extinzând o sferă pentru a transporta „globul mortalității”, Pământul, cele patru elemente clasice și Luna și extinzând sfera stelelor la infinit pentru a cuprinde toate stelele și de asemenea, pentru a servi drept „curtea Marelui Dumnezeu, obișnuința celor aleși și a angelelor celestiale”.

Diagrama lui Johannes Kepler a sferelor cerești și a spațiilor dintre ele, după opinia lui Copernic ( Mysterium Cosmographicum , ed. A II-a, 1621)

În secolul al XVI-lea, un număr de filozofi, teologi și astronomi - printre care Francesco Patrizi , Andrea Cisalpino, Peter Ramus , Robert Bellarmine , Giordano Bruno , Jerónimo Muñoz, Michael Neander , Jean Pena și Christoph Rothmann - au abandonat conceptul de celest sfere. Rothmann a susținut din observațiile cometei din 1585 că lipsa paralaxei observate indică faptul că cometa se află dincolo de Saturn, în timp ce absența refracției observate a indicat că regiunea cerească era din același material ca și aerul, prin urmare nu existau sfere planetare.

Investigațiile lui Tycho Brahe despre o serie de comete din 1577 până în 1585, ajutate de discuția lui Rothmann despre cometa din 1585 și distanțele tabelate ale lui Michael Maestlin ale cometei din 1577, care treceau prin globurile planetare, l-au determinat pe Tycho să concluzioneze că „ structura cerurilor era foarte fluidă și simplă ". Tycho și-a opus punctul de vedere cu cel al „foarte multor filozofi moderni” care au împărțit cerurile în „diferite globuri din materie dură și impermeabilă”. Edward Grant a găsit relativ puțini credincioși în sferele cerești dure înainte de Copernic și a concluzionat că ideea a devenit obișnuită cândva între publicarea De revolutionibus a lui Copernicus în 1542 și publicarea lui Tycho Brahe a cercetărilor sale cometare în 1588.

La începutul lui Mysterium Cosmographicum , Johannes Kepler a luat în considerare distanțele planetelor și decalajele necesare între sfera planetară implicată de sistemul copernican, care fusese remarcată de fostul său profesor, Michael Maestlin. Cosmologia platonică a lui Kepler a umplut golurile mari cu cele cinci poliedre platonice , care au reprezentat distanța astronomică măsurată a sferelor. În fizica cerească matură a lui Kepler, sferele erau privite ca regiuni spațiale pur geometrice care conțin fiecare orbită planetară, mai degrabă decât ca orbe fizice rotative ale fizicii celeste aristotelice anterioare. Excentricitatea orbitei fiecărei planete a definit astfel razele limitelor interioare și exterioare ale sferei sale cerești și, astfel, grosimea acesteia. În mecanica cerească a lui Kepler , cauza mișcării planetare a devenit Soarele rotitor, el însuși rotit de propriul său suflet motiv. Cu toate acestea, o sferă stelară imobilă a fost o rămășiță durabilă de sfere ceresti fizice în cosmologia lui Kepler.

Expresii literare și vizuale

Dante și Beatrice privesc spre Cerul cel mai înalt; de la ilustrațiile lui Gustave Doré la Divina Comedie , Paradiso Canto 28, rândurile 16-39

În Visul lui Cicero despre Scipion , bătrânul Scipio Africanus descrie o ascensiune prin sferele cerești, în comparație cu care Pământul și Imperiul Roman se diminuează în nesemnificativitate. Un comentariu la visul lui Scipion al scriitorului roman Macrobius , care a inclus o discuție a diferitelor școli de gândire în ordinea sferelor, a făcut mult pentru a răspândi ideea sferelor cerești prin Evul Mediu timpuriu .

Nicole Oresme, Le livre du Ciel et du Monde, Paris, BnF, Manuscrits, Fr. 565, f. 69, (1377)

Unele figuri medievale târzii au remarcat faptul că ordinea fizică a sferelor cerești era inversă ordinii lor pe planul spiritual, unde Dumnezeu era în centru și Pământul la periferie. Aproape la începutul secolului al XIV-lea , Dante , în Paradiso -ul Divinei sale Comedii , l-a descris pe Dumnezeu ca o lumină în centrul cosmosului. Aici poetul urcă dincolo de existența fizică la Raiul empirian , unde vine față în față cu Dumnezeu însuși și i se acordă înțelegerea atât a naturii divine, cât și a celei umane. Mai târziu , în secolul, iluminatorul de Nicole Oresme lui Le Livre du Ciel et du Monde , o traducere și comentarii asupra lui Aristotel De Caelo produs pentru patron Oresme lui, regele Carol al V , angajat același motiv. El a trasat sferele în ordinea convențională, cu Luna cea mai apropiată de Pământ și stelele cele mai înalte, dar sferele erau concav în sus, centrate pe Dumnezeu, mai degrabă decât concav în jos, centrate pe Pământ. Sub această figură, Oresme citează Psalmii conform cărora „Cerurile declară Slava lui Dumnezeu și firmamentul arată lucrările sale”.

Epopeea portugheză de la sfârșitul secolului al XVI-lea The Lusiads descrie în mod viu sferele cerești ca o „mare mașină a universului” construită de Dumnezeu. Exploratorului Vasco da Gama i se arată sferele cerești sub forma unui model mecanic. Contrar reprezentării lui Cicero, turul lui da Gama în sfere începe cu Empyreanul, apoi coboară spre interior spre Pământ, culminând cu un studiu al domeniilor și diviziunilor regatelor pământești, mărind astfel importanța faptelor umane în planul divin.

Vezi si

Note

Bibliografie

linkuri externe

• Model de lucru și explicație completă a sferelor lui Eudoxus
• Dennis Duke, model animat ptolemeic al sferelor imbricate
• Henry Mendell, Vignettes of Ancient Mathematics: Eudoxus of Cnidus Ptolemy, Almagest
• M. Blundevile exercițiile sale, p 282 - Prezentarea sferelor cerești într-o carte din 1613