Circulație (fizică) - Circulation (physics)

Liniile de câmp ale unui câmp vectorial v , în jurul limitei unei suprafețe curbe deschise cu linie infinitezimal elementul d l -a lungul limită, iar prin interiorul său cu dS elementul de suprafață infinitezimal și n unitatea normală la suprafață. Top: Circulation este linia integralei v în jurul unei buclă închisă C . Proiectul v de -a lungul lui d l , apoi suma. Aici v este împărțit în componente perpendiculare (⊥) paralele (‖) la d l , componentele paralele sunt tangențiale buclei închise și contribuie la circulație, componentele perpendiculare nu. Partea de jos: Circulația este, de asemenea, fluxul de vorticitate ω = ∇ × v prin suprafață, iar bucla lui v este reprezentată euristic ca o săgeată elicoidală (nu o reprezentare literală). Rețineți că proiecția lui v de -a lungul d l și bucla lui v pot fi în sens negativ, reducând circulația.

În fizică, circulația este integralul liniei unui câmp vectorial în jurul unei curbe închise. În dinamica fluidelor , câmpul este câmpul vitezei fluidului . În electrodinamică , poate fi câmpul electric sau cel magnetic.

Circulația a fost utilizată pentru prima dată independent de Frederick Lanchester , Martin Kutta și Nikolay Zhukovsky . De obicei se notează Γ ( gamma cu majuscule în greacă ).

Definiție și proprietăți

Dacă V este un câmp vectorial și d l este un vector care reprezintă lungimea diferențială a unui element mic dintr-o curbă definită, contribuția acestei lungimi diferențiale la circulație este dΓ:

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma = \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = | \ mathbf {V} || \ mathrm {d} \ mathbf {l} | \ cos \ theta}$ .

Aici, θ este unghiul dintre vectorii V și d l .

Circulație y a unui câmp vectorial V în jurul unei curbe închise C este linia integrală :

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}$ .

Într-un câmp vector conservator, această integral se evaluează la zero pentru fiecare curbă închisă. Asta înseamnă că o linie integrală între oricare două puncte din câmp este independentă de calea luată. De asemenea, implică faptul că câmpul vectorial poate fi exprimat ca gradient al unei funcții scalare, care se numește potențial .

Relația cu vorticitatea și bucla

Circulația poate fi legată de ondularea unui câmp vector V și, mai precis, de vorticitate dacă câmpul este un câmp de viteză a fluidului,

${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = \ nabla \ times \ mathbf {V}}$ .

Prin teorema lui Stokes , fluxul vectorilor de curl sau vorticitate printr-o suprafață S este egal cu circulația în jurul perimetrului său,

${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {\ omega} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} }$

Aici, calea de integrare închisă ∂S este granița sau perimetrul unei suprafețe deschise S , al cărui element infinitesimal normal d S = n dS este orientat conform regulii din dreapta . Astfel, bucla și vorticitatea sunt circulația pe unitate de suprafață, luată în jurul unei bucle infinitezimale locale.

În fluxul potențial al unui fluid cu o regiune de vorticitate , toate curbele închise care înglobează vorticitatea au aceeași valoare pentru circulație.

Utilizări

Teorema lui Kutta – Joukowski în dinamica fluidelor

În dinamica fluidelor, ridicarea pe unitate de întindere (L ') care acționează asupra unui corp într-un câmp de flux bidimensional este direct proporțională cu circulația, adică poate fi exprimată ca produs al circulației Γ despre corp, densitatea fluidului ρ și viteza corpului în raport cu fluxul liber V :

${\ displaystyle L '= \ rho V \ Gamma \!}$

Aceasta este cunoscută sub numele de teorema Kutta-Joukowski.

Această ecuație se aplică în jurul planurilor aeriene, unde circulația este generată de acțiunea aerului ; și în jurul obiectelor care se răsucesc experimentând efectul Magnus unde circulația este indusă mecanic. În acțiunea aerodinamică, magnitudinea circulației este determinată de starea Kutta .

Circulația pe fiecare curbă închisă în jurul aerului are aceeași valoare și este legată de ridicarea generată de fiecare unitate de lungime. Cu condiția ca curba închisă să cuprindă volanul, alegerea curbei este arbitrară.

Circulația este adesea utilizată în dinamica de calcul a fluidelor ca o variabilă intermediară pentru a calcula forțele pe un profil aerian sau alt corp.

Ecuații fundamentale ale electromagnetismului

În electrodinamică, legea inducției Maxwell-Faraday poate fi afirmată în două forme echivalente: că bucla câmpului electric este egală cu rata de schimbare negativă a câmpului magnetic,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$

sau că circulația câmpului electric în jurul unei bucle este egală cu rata negativă de schimbare a fluxului câmpului magnetic prin orice suprafață întinsă de buclă, prin teorema lui Stokes

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ int \! \! \! \ int _ {S} \ nabla \ times \ mathbf { E} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$ .

Circulația unui câmp magnetic static este, conform legii lui Ampère , proporțională cu curentul total închis de buclă

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial S} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ mu _ {0} I _ {\ mathrm {enc}}}$ .

Pentru sistemele cu câmpuri electrice care se schimbă în timp, legea trebuie modificată pentru a include un termen cunoscut sub numele de corecție a lui Maxwell.

Vezi si

• Ecuațiile lui Maxwell
• Legea Biot – Savart în aerodinamică
• Teorema circulației lui Kelvin

Referințe