Extrapolare - Extrapolation

În matematică , extrapolarea este un tip de estimare , dincolo de intervalul de observare inițial, a valorii unei variabile pe baza relației sale cu o altă variabilă. Este similar cu interpolația , care produce estimări între observațiile cunoscute, dar extrapolația este supusă unei incertitudini mai mari și unui risc mai mare de a produce rezultate fără sens. Extrapolarea poate însemna și extinderea unei metode , presupunând că vor fi aplicabile metode similare. Extrapolarea se poate aplica, de asemenea, experienței umane pentru a proiecta, extinde sau extinde experiența cunoscută într-o zonă necunoscută sau experimentată anterior pentru a ajunge la o cunoaștere (de obicei conjecturală) a necunoscutului (de exemplu, un șofer extrapolează condițiile rutiere dincolo de vederea lui în timp ce conduce ). Metoda extrapolării poate fi aplicată în problema reconstrucției interioare .

Exemplu de ilustrare a problemei de extrapolare, constând în atribuirea unei valori semnificative la caseta albastră, la , având în vedere punctele de date roșii.

{\ displaystyle x = 7}

Metode

O alegere solidă a metodei de extrapolare care trebuie aplicată se bazează pe o cunoaștere prealabilă a procesului care a creat punctele de date existente. Unii experți au propus utilizarea forțelor cauzale în evaluarea metodelor de extrapolare. Întrebările cruciale sunt, de exemplu, dacă se poate presupune că datele sunt continue, netede, eventual periodice etc.

Liniar

Extrapolarea liniară înseamnă crearea unei linii tangente la sfârșitul datelor cunoscute și extinderea acesteia dincolo de acea limită. Extrapolarea liniară va oferi rezultate bune numai atunci când este utilizată pentru a extinde graficul unei funcții aproximativ liniare sau nu prea departe de datele cunoscute.

Dacă cele două puncte de date cele mai apropiate de punctul de extrapolat sunt și , extrapolarea liniară dă funcția: ${\ displaystyle x _ {*}}$ ${\ displaystyle (x_ {k-1}, y_ {k-1})}$ ${\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$

{\ displaystyle y (x _ {*}) = y_ {k-1} + {\ frac {x _ {*} - x_ {k-1}} {x_ {k} -x_ {k-1}}} (y_ {k} -y_ {k-1}).}

(care este identică cu interpolare liniară dacă ). Este posibil să se includă mai mult de două puncte și media pantei interpolantului liniar, prin tehnici de regresie , pe punctele de date alese pentru a fi incluse. Acest lucru este similar cu predicția liniară . ${\ displaystyle x_ {k-1} <x _ {*} <x_ {k}}$

Polinom

Extrapolări Lagrange ale secvenței 1,2,3. Extrapolarea cu 4 conduce la un polinom de grad minim ( linia cian ).

O curbă polinomială poate fi creată prin toate datele cunoscute sau chiar aproape de final (două puncte pentru extrapolare liniară, trei puncte pentru extrapolare pătratică etc.). Curba rezultată poate fi apoi extinsă dincolo de sfârșitul datelor cunoscute. Extrapolarea polinomială se face de obicei prin interpolare Lagrange sau folosind metoda Newton a diferențelor finite pentru a crea o serie Newton care se potrivește cu datele. Polinomul rezultat poate fi folosit pentru a extrapola datele.

Extrapolarea polinomială de ordin înalt trebuie utilizată cu grija cuvenită. Pentru exemplul de set de date și problema din figura de mai sus, orice altceva decât ordinea 1 (extrapolare liniară) va produce probabil valori inutilizabile; o estimare a erorii valorii extrapolate va crește odată cu gradul de extrapolare polinomială. Acest lucru este legat de fenomenul lui Runge .

Conic

O secțiune conică poate fi creată folosind cinci puncte aproape de sfârșitul datelor cunoscute. Dacă secțiunea conică creată este o elipsă sau un cerc , atunci când este extrapolată, aceasta se va bucla înapoi și se va reîntregi singură. O parabolă sau o hiperbolă extrapolată nu se va reintegra, dar se poate curba înapoi față de axa X. Acest tip de extrapolare se poate face cu un șablon de secțiuni conice (pe hârtie) sau cu un computer.

curba franceza

Extrapolarea curbei franceze este o metodă potrivită pentru orice distribuție care are tendința de a fi exponențială, dar cu factori de accelerare sau decelerare. Această metodă a fost utilizată cu succes în furnizarea de proiecții prognozate privind creșterea HIV / SIDA în Marea Britanie începând cu 1987 și varianta CJD în Marea Britanie de câțiva ani. Un alt studiu a arătat că extrapolarea poate produce aceeași calitate a rezultatelor prognozării ca și strategiile de prognoză mai complexe.

Extrapolarea geometrică cu predicția erorilor

Poate fi creat cu 3 puncte ale unei secvențe și „momentul” sau „indexul”, acest tip de extrapolare au o precizie de 100% în predicții într-un procent mare din baza de date a seriilor cunoscute (OEIS).

Exemplu de extrapolare cu predicție de eroare:

secvență = [1,2,3,5]

f1 (x, y) = (x) / y

d1 = f1 (3,2)

d2 = f1 (5,3)

m = ultima secvență (5)

n = ultimul $ ultima secvență

fnos (m, n, d1, d2) = rotund (((n * d1) - m) + (m * d2))

rotund $ ((3 * 1.66) -5) + (5 * 1.6) = 8

Calitate

De obicei, calitatea unei anumite metode de extrapolare este limitată de ipotezele despre funcția realizată de metodă. Dacă metoda presupune că datele sunt netede, atunci o funcție care nu este netedă va fi slab extrapolată.

În ceea ce privește seriile de timp complexe, unii experți au descoperit că extrapolarea este mai precisă atunci când este efectuată prin descompunerea forțelor cauzale.

Chiar și pentru ipoteze adecvate despre funcție, extrapolarea poate divera sever de la funcție. Exemplul clasic este reprezentarea în serie a puterii trunchiate a lui sin ( x ) și a funcțiilor trigonometrice conexe . De exemplu, luând doar date din apropierea lui x = 0, putem estima că funcția se comportă ca sin ( x ) ~ x . În vecinătatea x = 0, aceasta este o estimare excelentă. Cu toate acestea, departe de x = 0, extrapolarea se îndepărtează în mod arbitrar de x- axa în timp ce sin ( x ) rămâne în intervalul [−1, 1]. Adică, eroarea crește fără limite.

Luând mai mulți termeni în seria de putere a sin ( x ) în jurul valorii de x = 0 se va produce un acord mai bun într-un interval mai mare în apropiere de x = 0, dar se vor produce extrapolații care în cele din urmă se vor îndepărta de x- axa chiar mai repede decât aproximarea liniară.

Această divergență este o proprietate specifică a metodelor de extrapolare și este eludată doar atunci când formele funcționale asumate de metoda extrapolării (în mod involuntar sau intenționat din cauza informațiilor suplimentare) reprezintă cu exactitate natura funcției care se extrapolează. Pentru probleme particulare, aceste informații suplimentare pot fi disponibile, dar în cazul general, este imposibil să se satisfacă toate comportamentele funcționale posibile cu un set de comportament potențial mic.

În planul complex

În analiza complexă , o problemă de extrapolare poate fi convertită într-o problemă de interpolare prin schimbarea variabilei . Această transformare schimbă partea planului complex din interiorul cercului unitar cu partea planului complex din afara cercului unitar. În special, punctul de compactificare la infinit este mapat la origine și invers. Cu toate acestea, trebuie să se acorde atenție acestei transformări, deoarece funcția originală ar fi putut avea „caracteristici”, de exemplu poli și alte singularități , la infinit, care nu au fost evidente din datele eșantionate. ${\ displaystyle {\ hat {z}} = 1 / z}$

O altă problemă a extrapolării este vag legată de problema continuării analitice , în care (de obicei) o reprezentare în serie a puterii unei funcții este extinsă la unul dintre punctele sale de convergență pentru a produce o serie de puteri cu o rază de convergență mai mare . De fapt, un set de date dintr-o regiune mică este utilizat pentru a extrapola o funcție într-o regiune mai mare.

Din nou, continuarea analitică poate fi contracarată de caracteristici funcționale care nu erau evidente din datele inițiale.

De asemenea, se pot utiliza transformări de secvență, cum ar fi aproximanții Padé și transformări de secvență de tip Levin, ca metode de extrapolare care conduc la o însumare a seriilor de putere care sunt divergente în afara razei de convergență inițiale . În acest caz, se obține adesea aproximanți raționali .

Rapid

Datele extrapolate se convoluă adesea cu o funcție de nucleu. După ce datele sunt extrapolate, dimensiunea datelor este crescută de N ori, aici N este de aproximativ 2-3. Dacă aceste date trebuie să fie complicate cu o funcție de nucleu cunoscută, calculele numerice vor crește N log (N) ori chiar și cu transformată Fourier rapidă (FFT). Există un algoritm, acesta calculează analitic contribuția din partea datelor extrapolate. Timpul de calcul poate fi omis în comparație cu calculul original al convoluției. Prin urmare, cu acest algoritm, calculele unei convoluții folosind datele extrapolate aproape că nu sunt crescute. Aceasta este denumită extrapolare rapidă. Extrapolarea rapidă a fost aplicată reconstrucției imaginii CT.

Argumente de extrapolare

Argumentele de extrapolare sunt argumente informale și necuantificate care afirmă că ceva este probabil adevărat dincolo de gama de valori pentru care se știe că este adevărat. De exemplu, credem în realitatea a ceea ce vedem prin lupe, deoarece este de acord cu ceea ce vedem cu ochiul liber, dar se extinde dincolo de el; credem în ceea ce vedem prin microscopuri cu lumină, deoarece este de acord cu ceea ce vedem prin lupă, dar se extinde dincolo de el; și în mod similar pentru microscopii electronici. Astfel de argumente sunt utilizate pe scară largă în biologie în extrapolarea de la studii pe animale la oameni și de la studii pilot la o populație mai largă.

La fel ca argumentele de pantă alunecoasă, argumentele de extrapolare pot fi puternice sau slabe în funcție de factori precum măsura în care extrapolarea depășește intervalul cunoscut.

Vezi si

Note

Referințe

Metode de extrapolare. Teorie și practică de C. Brezinski și M. Redivo Zaglia, Olanda de Nord, 1991.
Avram Sidi: „Metode practice de extrapolare: teorie și aplicații”, Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
Claude Brezinski și Michela Redivo-Zaglia: „Extrapolare și aproximare rațională”, Springer Nature, Elveția, ISBN 9783030584177, (2020).

Languages

In other projects