Paradoxul Faraday - Faraday paradox

Paradoxul Faraday sau paradoxul lui Faraday este orice experiment în care Michael Faraday legea lui de inducție electromagnetică pare a anticipa un rezultat incorect. Paradoxurile se împart în două clase:

Legea lui Faraday pare să prezică că va exista zero CEM, dar există un CEM diferit de zero.
Legea Faraday pare să prezică că va exista un CEM diferit de zero, dar că este zero CEM.

Faraday și-a dedus legea inducției în 1831, după inventarea primului generator electromagnetic sau dinam , dar nu a fost niciodată mulțumit de propria sa explicație a paradoxului.

Legea lui Faraday în comparație cu ecuația Maxwell – Faraday

Legea lui Faraday (cunoscută și sub numele de legea Faraday – Lenz ) prevede că forța electromotivă (EMF) este dată de derivata totală a fluxului magnetic în raport cu timpul t :

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}},}

unde este EMF și Φ _B este fluxul magnetic . Direcția forței electromotoare este dată de legea lui Lenz . Un fapt adesea trecut cu vederea este că legea lui Faraday se bazează pe derivata totală, nu pe derivata parțială, a fluxului magnetic. Aceasta înseamnă că un EMF poate fi generat chiar dacă fluxul total prin suprafață este constant. Pentru a depăși această problemă, pot fi folosite tehnici speciale. Vezi mai jos secțiunea privind utilizarea tehnicilor speciale cu legea lui Faraday . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

Cu toate acestea, cea mai comună interpretare a legii lui Faraday este că:

Forța electromotivă indusă în orice circuit închis este egală cu negativul ratei de timp a schimbării fluxului magnetic închis de circuit.

Această versiune a legii lui Faraday este valabilă strict atunci când circuitul închis este o buclă de fir infinit subțire și este invalid în alte circumstanțe. Ignoră faptul că legea lui Faraday este definită de derivatul total, nu parțial, al fluxului magnetic și, de asemenea, faptul că EMF nu este neapărat limitat la o cale închisă, dar poate avea, de asemenea, componente radiale așa cum este discutat mai jos. O versiune diferită, ecuația Maxwell – Faraday (discutată mai jos), este valabilă în toate circumstanțele și, atunci când este utilizată împreună cu legea forței Lorentz, este în concordanță cu aplicarea corectă a legii Faraday.

Schița dovezii legii lui Faraday din ecuațiile lui Maxwell și legea forței Lorentz. -

Luați în considerare derivata în timp a fluxului printr-o buclă posibilă în mișcare, cu aria : ${\ displaystyle \ Sigma (t)}$

{\ displaystyle {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {B} (t) \ cdot d \ mathbf {A}}

Integrala se poate schimba în timp din două motive: integrandul se poate schimba sau regiunea de integrare se poate schimba. Acestea se adaugă liniar, prin urmare:

{\ displaystyle \ left. {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} \ right | _ {t = t_ {0}} = \ left (\ int _ {\ Sigma (t_ {0}) } \ left. {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ right | _ {t = t_ {0}} \ cdot d \ mathbf {A} \ right) + \ left ({ \ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {B} (t_ {0}) \ cdot d \ mathbf {A} \ right)}

unde t ₀ este orice timp fix dat. Vom arăta că primul termen din partea dreaptă corespunde EMF transformator, al doilea EMF motional. Primul termen din partea dreaptă poate fi rescris utilizând forma integrală a ecuației Maxwell – Faraday:

{\ displaystyle \ int _ {\ Sigma (t_ {0})} \ left. {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ right | _ {t = t_ {0}} \ cdot d \ mathbf {A} = - \ oint _ {\ partial \ Sigma (t_ {0})} \ mathbf {E} (t_ {0}) \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}}}

Aria măturată de elementul vector d ℓ al curbei ∂Σ în timpul dt când se deplasează cu viteza v .

Apoi, analizăm al doilea termen pe partea dreaptă:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {B} (t_ {0}) \ cdot d \ mathbf {A}}

Aceasta este cea mai dificilă parte a dovezii; mai multe detalii și abordări alternative pot fi găsite în referințe. Pe măsură ce bucla se mișcă și / sau se deformează, aceasta mătură o suprafață (vezi figura din dreapta). Fluxul magnetic prin această suprafață bătută corespunde fluxului magnetic care intră sau iese din buclă și, prin urmare, acesta este fluxul magnetic care contribuie la derivarea în timp. (Acest pas implicit folosește legea lui Gauss pentru magnetism : Deoarece liniile de flux nu au început sau sfârșit, ele pot intra în buclă numai prin tăierea prin sârmă.) Pe măsură ce o mică parte a buclei se mișcă cu viteza v pentru un scurt în timp , elimină un vector de zonă vectorială . Prin urmare, schimbarea fluxului magnetic prin buclă este aici ${\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ ell}}}$ ${\ displaystyle dt}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {A} = \ mathbf {v} \, dt \ times d {\ boldsymbol {\ ell}}}$

{\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot (\ mathbf {v} \, dt \ times d {\ boldsymbol {\ ell}}) = - dt \, d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}

Prin urmare:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {B} (t_ {0}) \ cdot d \ mathbf {A} = - \ oint _ {\ partial \ Sigma (t_ {0})} (\ mathbf {v} (t_ {0}) \ times \ mathbf {B} (t_ {0})) \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}}}

unde v este viteza unui punct de pe buclă . ${\ displaystyle \ partial \ Sigma}$

Unind acestea,

{\ displaystyle \ left. {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} \ right | _ {t = t_ {0}} = \ left (- \ oint _ {\ partial \ Sigma (t_ { 0})} \ mathbf {E} (t_ {0}) \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} \ right) + \ left (- \ oint _ {\ partial \ Sigma (t_ {0})} ( \ mathbf {v} (t_ {0}) \ times \ mathbf {B} (t_ {0})) \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}} \ right)}

Între timp, EMF este definit ca energia disponibilă pe unitate de încărcare care se deplasează o dată în jurul buclei firului. Prin urmare, prin legea forței Lorentz ,

{\ displaystyle \ mathrm {EMF} = \ oint \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ text {d}} {\ boldsymbol {\ ell }}}

Combinând acestea, ${\ displaystyle {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = - \ mathrm {EMF}}$

Ecuația Maxwell – Faraday este o generalizare a legii lui Faraday care afirmă că un câmp magnetic care variază în timp este întotdeauna însoțit de un câmp electric care nu variază spațial, neconservativ și invers. Ecuația Maxwell – Faraday este:

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$

(în unități SI ) unde este operatorul derivat parțial , este operatorul curl și din nou E ( r , t ) este câmpul electric și B ( r , t ) este câmpul magnetic . Aceste câmpuri pot fi în general funcții ale poziției r și ale timpului t . ${\ displaystyle \ partial}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times}$

Ecuația Maxwell – Faraday este una dintre cele patru ecuații Maxwell și, prin urmare, joacă un rol fundamental în teoria electromagnetismului clasic . De asemenea, poate fi scris într-o formă integrală prin teorema Kelvin – Stokes .

Paradoxuri în care legea inducției Faraday pare să prezică EMF zero, dar prezice de fapt EMF non-zero

Aceste paradoxuri sunt rezolvate în general prin faptul că un CEM poate fi creat printr-un flux de schimbare într-un circuit așa cum se explică în legea lui Faraday sau prin mișcarea unui conductor într-un câmp magnetic. Acest lucru este explicat de Feynman așa cum este menționat mai jos. A se vedea, de asemenea, A. Sommerfeld, Vol III Electrodynamics Academic Press, pagina 362.

Echipamentul

Figura 1: Generatorul electric al discului Faraday. Discul se rotește cu viteza unghiulară ω, măturând circular discul conductor în câmpul magnetic static B datorită unui magnet permanent. Forța magnetică Lorentz v × B conduce curentul radial pe discul conductor către janta conductoare și de acolo calea circuitului se finalizează prin peria inferioară și axul care susține discul. Astfel, curentul este generat din mișcarea mecanică.

Experimentul necesită câteva componente simple (a se vedea figura 1): un magnet cilindric , un disc conductor cu o jantă conductoare, o axă conductoare, unele cabluri și un galvanometru . Discul și magnetul sunt montate la o distanță mică de ax, pe care sunt libere să se rotească în jurul axelor lor de simetrie. Un circuit electric este format prin conectarea contactelor glisante: unul la axa discului, celălalt la janta acestuia. Un galvanometru poate fi introdus în circuit pentru a măsura curentul.

Procedura

Experimentul se desfășoară în trei pași:

Magnetul este ținut pentru a preveni rotirea acestuia, în timp ce discul este rotit pe axa sa. Rezultatul este că galvanometrul înregistrează un curent continuu . Prin urmare, aparatul acționează ca un generator , numit diferit generator Faraday , disc Faraday sau generator homopolar (sau unipolar) .
Discul este ținut staționar în timp ce magnetul este rotit pe axa sa. Rezultatul este că galvanometrul nu înregistrează curent.
Discul și magnetul sunt rotite împreună. Galvanometrul înregistrează un curent, așa cum a făcut-o la pasul 1.

De ce este paradoxal acest lucru?

Experimentul este descris de unii ca un „paradox”, deoarece pare, la prima vedere, că încalcă legea inducției electromagnetice a lui Faraday, deoarece fluxul prin disc pare a fi același indiferent de ceea ce se rotește. Prin urmare, se preconizează că EMF va fi zero în toate cele trei cazuri de rotație. Discuția de mai jos arată că acest punct de vedere provine dintr-o alegere incorectă a suprafeței peste care să se calculeze fluxul.

Paradoxul apare un pic diferit de punctul de vedere al liniilor fluxului: în modelul de inducție electromagnetică al lui Faraday, un câmp magnetic consta din linii imaginare de flux magnetic , asemănătoare liniilor care apar atunci când piliturile de fier sunt stropite pe hârtie și ținute lângă un magnet. Se propune ca EMF să fie proporțional cu viteza liniilor de tăiere a fluxului. Dacă se imaginează că liniile de flux provin din magnet, atunci acestea ar sta staționare în cadrul magnetului și rotirea discului față de magnet, fie prin rotirea magnetului sau a discului, ar trebui să producă un EMF, dar rotind amândoi împreună nu ar trebui.

Explicația lui Faraday

În modelul Faraday de inducție electromagnetică, un circuit a primit un curent indus atunci când a tăiat linii de flux magnetic. Conform acestui model, discul Faraday ar fi trebuit să funcționeze atunci când discul sau magnetul au fost rotite, dar nu ambele. Faraday a încercat să explice dezacordul cu observația presupunând că câmpul magnetului, complet cu liniile sale de flux, a rămas staționar pe măsură ce magnetul se rotea (o imagine complet precisă, dar poate nu intuitivă în modelul liniilor de flux). Cu alte cuvinte, liniile de flux au propriul cadru de referință. După cum vom vedea în secțiunea următoare, fizica modernă (de la descoperirea electronului ) nu are nevoie de imaginea liniilor de flux și risipe paradoxul.

Explicații moderne

Luând în considerare calea de întoarcere

La pasul 2 , deoarece nu se observă curent, s-ar putea concluziona că câmpul magnetic nu s-a rotit cu magnetul rotativ. (Indiferent dacă este sau nu efectiv sau relativ, forța Lorentz este zero, deoarece v este zero în raport cu cadrul laboratorului. Deci nu există măsurarea curentului din cadrul laboratorului.) Utilizarea ecuației Lorentz pentru a explica acest paradox a dus la o dezbatere în literatură dacă un câmp magnetic se rotește sau nu cu un magnet. Deoarece forța asupra sarcinilor exprimată de ecuația Lorentz depinde de mișcarea relativă a câmpului magnetic (adică a cadrului de laborator) față de conductorul în care se află EMF, s-a speculat că, în cazul în care magnetul se rotește cu discul, dar o tensiune încă se dezvoltă, câmpul magnetic (adică cadrul de laborator) nu trebuie, prin urmare, să se rotească cu materialul magnetic (desigur, deoarece este cadrul de laborator), în timp ce definiția efectivă a cadrului câmpului magnetic sau „rotația efectivă / relativă a câmpului” se rotește fără mișcare relativă față de discul conductor.

O gândire atentă a arătat că, dacă s-a presupus că câmpul magnetic se rotește odată cu magnetul și magnetul se rotește cu discul, ar trebui totuși să se producă un curent, nu prin EMF pe disc (nu există nicio mișcare relativă între disc și magnet) dar în circuitul extern care leagă periile, care este de fapt în mișcare relativă față de magnetul rotativ. (Periile se află în cadrul laboratorului.)

Acest mecanism este de acord cu observațiile care implică căile de întoarcere: un EMF este generat ori de câte ori discul se mișcă în raport cu calea de întoarcere, indiferent de rotația magnetului. De fapt, s-a arătat că, atâta timp cât o buclă de curent este utilizată pentru a măsura EMF induse de mișcarea discului și a magnetului, nu este posibil să se spună dacă câmpul magnetic se învârte sau nu cu magnetul. (Acest lucru depinde de definiție, mișcarea unui câmp poate fi definită numai în mod eficient / relativ. Dacă țineți opinia că fluxul de câmp este o entitate fizică, acesta se rotește sau depinde de modul în care este generat. Dar acest lucru nu se modifică ceea ce este utilizat în formula Lorentz, în special v , viteza purtătorului de sarcină în raport cu cadrul în care are loc măsurarea și intensitatea câmpului variază în funcție de relativitate în orice punct spațiu-timp.)

Au fost propuse mai multe experimente folosind măsurători electrostatice sau fascicule de electroni pentru a rezolva problema, dar aparent niciunul nu a fost efectuat cu succes până în prezent.

Folosind forța Lorentz

Forța Lorentz F pe o particulă încărcată (de sarcină q ) în mișcare (viteza instantanee v ). E câmp și B câmp variază în spațiu și timp.

Forța F care acționează asupra unei particule de sarcină electrică q cu viteza instantanee v , datorită unui câmp electric extern E și câmpului magnetic B , este dată de forța Lorentz:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}$

unde × este produsul transversal vector. Toate cantitățile de caractere aldine sunt vectori. Câmpul electric relativist corect al unei sarcini punctuale variază cu viteza ca:

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1-v ^ {2} / c ^ {2}} {(1-v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta / c ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ frac {\ mathbf {{\ hat {r}} '}} {| \ mathbf {r } '| ^ {2}}}}

unde este vectorul unitar care indică de la poziția curentă (neretardată) a particulei până la punctul în care câmpul este măsurat și θ este unghiul dintre și . Câmpul magnetic B al unei sarcini este: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}}

La cel mai subiacent nivel, forța Lorentz totală este rezultatul cumulativ al câmpurilor electrice E și câmpurilor magnetice B ale fiecărei sarcini care acționează asupra oricărei alte sarcini.

Când magnetul se rotește, dar liniile de flux sunt staționare, iar conductorul este staționar

Luați în considerare cazul special în care discul conductor cilindric este staționar, dar discul magnetic cilindric se rotește. Într-o astfel de situație, viteza medie v a sarcinilor din discul conductor este inițial zero și, prin urmare, forța magnetică F = q v × B este 0, unde v este viteza medie a unei sarcini q a circuitului în raport cu cadrul unde se iau măsurătorile și q este sarcina unui electron.

Când magnetul și liniile de flux sunt staționare și conductorul se rotește

După descoperirea electronului și a forțelor care îl afectează, a devenit posibilă o rezoluție microscopică a paradoxului. Vedeți Figura 1. Porțiunile metalice ale aparatului sunt conductoare și limitează un curent datorat mișcării electronice în limitele metalice. Toți electronii care se mișcă într-un câmp magnetic experimentează o forță Lorentz de F = q v × B , unde v este viteza electronilor față de cadrul în care sunt luate măsurători și q este sarcina pe un electron. Amintiți-vă, nu există un cadru precum „cadrul câmpului electromagnetic”. Un cadru este setat pe un anumit punct spațiu-timp, nu un câmp extins sau o linie de flux ca obiect matematic. Este o problemă diferită dacă considerați fluxul ca o entitate fizică (a se vedea cuanticul fluxului magnetic ) sau luați în considerare definiția efectivă / relativă a mișcării / rotației unui câmp (a se vedea mai jos). Această notă ajută la rezolvarea paradoxului.

Forța Lorentz este perpendiculară atât asupra vitezei electronilor, care se află în planul discului, cât și asupra câmpului magnetic, care este normal ( suprafața normală ) față de disc. Un electron în repaus în cadrul discului se mișcă circular cu discul în raport cu câmpul B (adică axa de rotație sau cadrul de laborator, amintiți-vă nota de mai sus) și astfel experimentează o forță Lorentz radială. În Figura 1, această forță (pe o sarcină pozitivă , nu pe un electron) este orientată spre jantă conform regulii din dreapta.

Desigur, această forță radială, care este cauza curentului, creează o componentă radială a vitezei electronilor, generând la rândul său propria componentă a forței Lorentz care se opune mișcării circulare a electronilor, având tendința de a încetini rotația discului, dar electronii reține o componentă a mișcării circulare care continuă să conducă curentul prin forța Lorentz radială.

Utilizarea tehnicilor speciale cu legea lui Faraday

Fluxul prin porțiunea căii de la perie la jantă, prin bucla exterioară și axă până la centrul discului este întotdeauna zero deoarece câmpul magnetic se află în planul acestei căi (nu perpendicular pe acesta), nu indiferent de ceea ce se rotește, astfel încât EMF-ul integrat în jurul acestei părți a căii este întotdeauna zero. Prin urmare, atenția se concentrează pe porțiunea căii de la axa de pe disc până la peria de pe jantă.

Legea inducției Faraday poate fi enunțată în cuvinte ca:

Forța electromotivă indusă sau EMF în orice circuit închis este egală cu rata de timp a schimbării fluxului magnetic prin circuit.

Matematic, legea este menționată:

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = - {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} d \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t) \,}

unde Φ _B este fluxul și d A este un element vector al zonei unei suprafețe mobile Σ ( t ) mărginită de bucla în jurul căreia se găsește EMF.

Figura 2: Două bucle posibile pentru găsirea EMF: calea geometrică simplă este ușor de utilizat, dar cealaltă oferă același EMF. Niciuna dintre acestea nu este destinată să imite nicio linie de curent fizic de curent.

Cum poate fi legată această lege la generatorul de disc Faraday, unde legătura fluxului pare a fi doar câmpul B înmulțit cu aria discului?

O abordare este de a defini noțiunea de „rata de schimbare a legăturii fluxului” trasând o linie ipotetică pe disc de la perie la axă și întrebând cât de multă legătură flux este străbătută peste această linie pe unitate de timp. Vezi Figura 2. Presupunând o rază R pentru disc, un sector de disc cu unghi central θ are o zonă:

{\ displaystyle A = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ pi R ^ {2} \,}

deci rata pe care fluxul o străbate peste linia imaginară este

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = B {\ frac {dA} {dt}} = B \ {\ frac {R ^ { 2}} {2}} \ {\ frac {d \ theta} {dt}} = B \ {\ frac {R ^ {2}} {2}} \ omega \,}

cu ω = dθ / dt rata unghiulară de rotație. Semnul este ales pe baza legii lui Lenz : câmpul generat de mișcare trebuie să se opună schimbării fluxului cauzată de rotație. De exemplu, circuitul cu segmentul radial din Figura 2 conform regulii din dreapta se adaugă câmpului B aplicat, având tendința de a crește legătura fluxului. Asta sugerează că fluxul prin această cale scade din cauza rotației, deci dθ / dt este negativ.

Acest rezultat de reducere a fluxului pentru EMF poate fi comparat cu calcularea muncii efectuate pe unitate de sarcină, făcând o sarcină de test infinitesimală să traverseze linia ipotetică folosind forța Lorentz / sarcina unitară pe raza r , și anume | v × B | = Bv = Brω :

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ int _ {0} ^ {R} drBr \ omega = {\ frac {R ^ {2}} {2}} B \ omega \,}

care este același rezultat.

Metodologia de mai sus pentru găsirea fluxului tăiat de circuit este formalizată în legea fluxului prin tratarea corespunzătoare a derivatei de timp a suprafeței de limitare Σ ( t ). Desigur, derivata în timp a unei integrale cu limite dependente de timp nu este pur și simplu derivata în timp a integrandului singur, un punct adesea uitat; vezi regula integrală Leibniz și forța Lorentz .

În alegerea suprafeței Σ ( t ), restricțiile constau în faptul că (i) trebuie să fie delimitată de o curbă închisă în jurul căreia să se găsească EMF și (ii) trebuie să surprindă mișcarea relativă a tuturor părților în mișcare ale circuitul. Este categoric nu necesar ca corespunde curba de încadrare într - o linie fizică de curgere a curentului. Pe de altă parte, inducția se referă la mișcare relativă, iar calea trebuie să surprindă emfatic orice mișcare relativă. Într-un caz ca Figura 1 în care o porțiune a căii curente este distribuită pe o regiune în spațiu, CEM care conduce curentul poate fi găsit folosind o varietate de căi. Figura 2 prezintă două posibilități. Toate căile includ bucla de întoarcere evidentă, dar în disc sunt afișate două căi: una este o cale geometrică simplă, cealaltă una sinuoasă. Suntem liberi să alegem orice cale ne place, dar o porțiune din orice cale acceptabilă este fixată în disc în sine și se întoarce odată cu discul. Fluxul este calculat de-a lungul întregii căi, a buclei de întoarcere plus a segmentului de disc și a ratei de schimbare găsite.

Figura 3: Maparea discului Faraday într-un exemplu de dreptunghi de conducere glisant. Discul este privit ca un inel; este tăiat de-a lungul unei raze și îndoit pentru a deveni un dreptunghi.

În acest exemplu, toate aceste căi duc la aceeași rată de schimbare a fluxului și, prin urmare, la același CEM. Pentru a oferi o anumită intuiție despre această independență a căii, în Figura 3, discul Faraday este desfăcut pe o bandă, făcându-l să semene cu o problemă de dreptunghi glisant. În cazul dreptunghiului glisant, devine evident că modelul fluxului de curent în interiorul dreptunghiului este independent de timp și, prin urmare, nu este relevant pentru rata de schimbare a fluxului care leagă circuitul. Nu este necesar să se ia în considerare exact modul în care curentul traversează dreptunghiul (sau discul). Orice alegere de cale care leagă partea superioară și inferioară a dreptunghiului (ax-la-perie în disc) și se deplasează cu dreptunghiul (rotind cu discul) mătură aceeași rată de schimbare a fluxului și prezice același EMF . Pentru disc, această rată de schimbare a estimării fluxului este aceeași cu cea făcută mai sus pe baza rotației discului pe lângă o linie care unește peria cu axa.

Configurare cu o cale de întoarcere

Dacă magnetul este „în mișcare” este irelevant în această analiză, datorită fluxului indus în calea de întoarcere. Mișcarea relativă crucială este cea a discului și a căii de întoarcere, nu a discului și a magnetului. Acest lucru devine mai clar dacă este utilizat un disc Faraday modificat în care calea de întoarcere nu este un fir, ci un alt disc. Adică, montați două discuri conductoare unul lângă altul pe aceeași axă și lăsați-le să aibă contact electric glisant în centru și la circumferință. Curentul va fi proporțional cu rotația relativă a celor două discuri și independent de orice rotație a magnetului.

Configurare fără cale de întoarcere

Un disc Faraday nu poate fi acționat nici cu un galvanometru, nici cu o cale de întoarcere. Când discul se rotește, electronii se colectează de-a lungul jantei și lasă un deficit lângă axă (sau invers). În principiu, este posibil să se măsoare distribuția sarcinii, de exemplu, prin forța electromotivă generată între jantă și axă (deși nu neapărat ușoară). Această separare a sarcinii va fi proporțională cu viteza de rotație relativă dintre disc și magnet.

Paradoxuri în care legea inducției Faraday pare să prezică EMF non-zero, dar de fapt prezice zero EMF

Aceste paradoxuri sunt în general rezolvate prin determinarea faptului că mișcarea aparentă a circuitului este de fapt deconstrucția circuitului urmată de reconstrucția circuitului pe o cale diferită.

O regulă suplimentară

În cazul în care discul se rotește singur, nu există nicio schimbare de flux prin circuit, totuși, există o forță electromotivă indusă contrar legii lui Faraday. Putem arăta, de asemenea, un exemplu când există o schimbare a fluxului, dar nu există tensiune indusă. Figura 5 (aproape la dreapta) arată configurarea utilizată în experimentul lui Tilley. Este un circuit cu două bucle sau ochiuri. Există un galvanometru conectat în bucla din dreapta, un magnet în centrul buclei din stânga, un comutator în bucla din stânga și un comutator între bucle. Începem cu comutatorul din stânga deschis și cel din dreapta închis. Când comutatorul din stânga este închis și comutatorul din dreapta este deschis, nu există nicio schimbare în câmpul magnetului, dar există o schimbare în zona circuitului galvanometrului. Aceasta înseamnă că există o schimbare a fluxului. Cu toate acestea, galvanometrul nu a deviat, ceea ce înseamnă că nu există tensiune indusă, iar legea lui Faraday nu funcționează în acest caz. Potrivit lui AG Kelly, acest lucru sugerează că o tensiune indusă în experimentul lui Faraday se datorează „tăierii” circuitului de către liniile de flux și nu prin „legarea fluxului” sau schimbarea reală a fluxului. Acest lucru rezultă din experimentul Tilley, deoarece nu există mișcare a liniilor de forță în circuit și, prin urmare, nu există curent indus, deși există o schimbare a fluxului prin circuit. Nussbaum sugerează că, pentru ca legea lui Faraday să fie valabilă, trebuie să se lucreze la producerea schimbării fluxului.
Pentru a înțelege această idee, vom trece prin argumentul dat de Nussbaum. Începem prin calcularea forței dintre două fire de transport curente. Forța pe firul 1 datorată firului 2 este dată de:

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I_ {1} I_ {2} \ oint _ {C_ {1}} \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {d \ mathbf {l_ {1}} \ \ mathbf {\ times} \ (d \ mathbf {l_ {2}} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {r_ {21} ^ {2}}}}

Câmpul magnetic de la al doilea fir este dat de:

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {2} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} I_ {2} \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {(d \ mathbf {l_ {2}} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {r_ {21} ^ {2}}}}

Deci putem rescrie forța pe firul 1 ca:

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = I_ {1} \ oint _ {C_ {1}} d \ mathbf {l_ {1}} \ \ mathbf {\ times} \ mathbf {B} _ {2 }}

Acum considerați un segment al unui conductor deplasat într-un câmp magnetic constant. Munca realizată se găsește din: ${\ displaystyle d \ mathbf {l}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle dW = d \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}

Dacă conectăm ceea ce am găsit anterior , obținem: ${\ displaystyle d \ mathbf {F}}$

{\ displaystyle dW = (Id \ mathbf {l} \ mathbf {\ times} \ mathbf {B}) \ cdot d \ mathbf {r}}

Zona acoperită de deplasarea conductorului este:

{\ displaystyle d \ mathbf {S} = d \ mathbf {r} \ mathbf {\ times} d \ mathbf {l}}

Prin urmare:

{\ displaystyle dW = I \ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf {S} = Id \ Phi _ {B}}

Lucrul diferențial poate fi dat și în termeni de sarcină și diferență de potențial : ${\ displaystyle dq}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle dW = Vdq = VIdt}

Stabilind cele două ecuații pentru munca diferențială egale una cu cealaltă, ajungem la legea lui Faraday.

{\ displaystyle d \ Phi _ {B} = Vdt}

Mai mult, vedem acum că acest lucru este adevărat numai dacă este ne-dispărând. Adică, Legea lui Faraday este valabilă numai dacă se lucrează pentru a produce schimbarea fluxului. ${\ displaystyle dW}$

O modalitate matematică de a valida legea lui Faraday în acest tip de situații este de a generaliza definiția EMF ca în dovada legii de inducție a lui Faraday :

{\ displaystyle \ mathrm {EMF} = \ oint \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot d {\ boldsymbol {\ ell}}}

Galvanometrul măsoară de obicei doar primul termen din EMF care contribuie la curent în circuit, deși uneori poate măsura încorporarea celui de-al doilea termen, cum ar fi atunci când al doilea termen contribuie cu o parte din curent pe care galvanometrul îl măsoară ca EMF de mișcare, de exemplu în experimentul discului Faraday. În situația de mai sus, primul termen este zero și doar primul termen conduce un curent pe care galvanometrul îl măsoară, deci nu există tensiune indusă. Cu toate acestea, Legea lui Faraday se menține încă, deoarece schimbarea aparentă a fluxului magnetic merge la al doilea termen în generalizarea de mai sus a EMF. Dar nu este măsurată de galvanometru. Amintiți-vă este viteza locală a unui punct din circuit, nu un purtător de sarcină. La urma urmei, ambele / toate aceste situații sunt în concordanță cu preocuparea relativității și microstructurii materiei și / sau completitudinea ecuației Maxwell și a formulei Lorentz, sau combinația acestora, mecanica hamiltoniană . ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

Michael Faraday, Experimental Researches in Electricity, Vol I, First Series, 1831 în Great Books of the Western World, Vol 45, RM Hutchins, ed., Encyclopædia Britannica, Inc., The University of Chicago, 1952. [1]
„Inducția electromagnetică: fizică și flashback-uri” (PDF) de Giuseppe Giuliani - detalii despre forța Lorentz în discul lui Faraday
"Dynamo Electric Homopolar" - conține derivarea ecuației pentru EMF a unui disc Faraday
Coloana „Tech Musings” a lui Don Lancaster, februarie 1998 - despre ineficiențele practice ale discului Faraday
"Ghicitoarea finală a lui Faraday; Câmpul se rotește cu un magnet?" (PDF) - teoria contrariană, dar conține referințe utile la experimentele lui Faraday
PJ Scanlon, RN Henriksen și JR Allen, „Abordări ale inducției electromagnetice”, Am. J. Phys. 37, 698-708 (1969). - descrie modul de aplicare a legii lui Faraday pe discul lui Faraday
Jorge Guala-Valverde, Pedro Mazzoni, Ricardo Ahile „Motorul homopolar: un adevărat motor relativist”, Am. J. Phys. 70 (10), 1052–1055 (octombrie 2002). - susține că doar forța Lorentz poate explica discul lui Faraday și descrie câteva dovezi experimentale în acest sens
Frank Munley, Provocări la regula fluxului lui Faraday, Am. J. Phys. 72, 1478 (2004). - o discuție actualizată a conceptelor din referința Scanlon de mai sus.
Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands, „The Feynman Lectures on Physics Volume II”, Chapter 17 - În plus față de „paradoxul” Faraday (unde fluxul legat nu se schimbă, dar este indus un EMF), el descrie „plăcile de balansare” "experiment în care fluxul legat se schimbă, dar nu este indusă emf. El arată că fizica corectă este întotdeauna dată de combinația forței Lorentz cu ecuația Maxwell – Faraday (vezi caseta de cotație) și prezintă aceste două „paradoxuri” proprii.
Rotația câmpului magnetic de către Vanja Janezic - descrie un experiment simplu pe care oricine îl poate face. Deoarece implică doar două corpuri, rezultatul său este mai puțin ambiguu decât experimentele cu trei corpuri Faraday, Kelly și Guala-Valverde.
WF Hughes și FJ Young, Electromagnetodinamica fluidelor, John Wiley & Sons (1965) LCCC # 66-17631. Capitole 1. Principiile relativității speciale și 2. Electrodinamica mediilor mobile. Din aceste capitole este posibil să se lucreze toate problemele EMF induse și să se explice toate paradoxurile asociate găsite în literatură.

Languages

In other projects