Mecanica hamiltoniană - Hamiltonian mechanics

Parte dintr-o serie pe
Mecanica clasică
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ A doua lege a mișcării
Istorie Cronologie Manuale
Ramuri
Fundamente
Formulări
Subiecte de bază
Rotație
Oamenii de știință
Portalul de fizică  Categorie
v t e

Mecanica hamiltoniană a apărut în 1833 ca o reformulare a mecanicii lagrangiene . Introdus de Sir William Rowan Hamilton , mecanica Hamiltoniene înlocuieste (generalizate) vitezele utilizate în mecanica Lagrangianului cu (generalizata) Impulsul . Ambele teorii oferă interpretări ale mecanicii clasice și descriu aceleași fenomene fizice. ${\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {i}}$

Mecanica hamiltoniană are o relație strânsă cu geometria (în special, geometria simplectică și structurile Poisson ) și servește ca o legătură între mecanica clasică și cea cuantică .

Prezentare generală

Coordonatele spațiului de fază (p, q) și Hamiltonianul H

Fie un sistem mecanic cu spațiul de configurare și un Lagrangian neted Selectați un sistem de coordonate standard pe Cantitățile sunt numite momenta . (De asemenea , momenta generalizată , momenta conjugată și momenta canonică ). Pentru o perioadă de timp , transformarea Legendre este definită ca harta pe care o vom presupune că are o inversă lină. Pentru un sistem cu grade de libertate, mecanica lagrangiană definește funcția energetică${\ displaystyle (M, {\ cal {L}})}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ cal {L}}.}$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}})}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ textstyle p_ {i} ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}, t) \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, {\ partial {\ cal {L}}} / {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}}$${\ displaystyle t,}$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}) \ to \ left ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}} \ right)}$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}) \ to ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}).}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle E _ {\ cal {L}} ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}, t) \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {q}} ^ {i} {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {Eu chem}}.}$

Inversul transformării Legendre se transformă într-o funcție cunoscută sub numele de hamiltonian . Oficial, ${\ displaystyle E _ {\ cal {L}}}$${\ displaystyle {\ cal {H}} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t)}$

${\ displaystyle {\ cal {H}} \ left ({\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial {\ boldsymbol {\ dot {q}}}}}, {\ boldsymbol {q} }, t \ right) = E _ {\ cal {L}} ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}, t)}$

ceea ce implică asta

${\ displaystyle {\ cal {H}} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} {\ dot { q}} ^ {i} - {\ cal {L}} ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}, t),}$

unde viteza se găsește din ecuația ( -dimensională) care, prin presupunere, este soluționabilă în mod unic pentru perechea ( -dimensională) se numește coordonate spațiale de fază . (De asemenea, coordonate canonice ). ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ dot {q}}} = ({\ dot {q}} ^ {1}, \ ldots, {\ dot {q}} ^ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {p}} = {\ partial {\ cal {L}}} / {\ partial {\ boldsymbol {\ dot {q}}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ dot {q}}}.}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}})}$

Observație de terminologie. Unele surse definesc transformarea Legendre ca o funcționalitate dependentă de timp

${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {q}}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}}) \ mapsto g ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}) = \ sum _ { i = 1} ^ {n} p_ {i} {\ dot {q}} ^ {i} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t) -f ({\ boldsymbol {q }}, {\ boldsymbol {\ dot {q}}} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t)),}$

unde, ca și mai înainte, funcția se îndeplinește În cadrul acestei din urmă definiții, hamiltonienul este transformarea Legendre a Lagrangianului${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ dot {q}}} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {p}} = {\ partial {\ cal {L}}} / {\ partial {\ boldsymbol {\ dot {q}}}}.}$${\ displaystyle {\ cal {H}}}$${\ displaystyle {\ cal {L}}.}$

De la ecuația Euler-Lagrange la ecuațiile lui Hamilton

În spațiul de fază coordonează ecuația ( -dimensională) Euler-Lagrange${\ displaystyle ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}),}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial {\ boldsymbol {q}}}} - {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial {\ cal { L}}} {\ partial {\ boldsymbol {\ dot {q}}}}} = 0}$

devine ecuațiile lui Hamilton în dimensiuni ${\ displaystyle 2n}$

De la principiul acțiunii staționare la ecuațiile lui Hamilton

Să fie setul de căi netede pentru care și acțiunea funcțională este definită prin ${\ displaystyle {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}: [a, b] \ to M}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (a) = {\ boldsymbol {x}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} (b) = {\ boldsymbol {x}} _ {b}.}$ ${\ displaystyle {\ cal {S}}: {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b}) \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {\ cal {S}} [{\ boldsymbol {q}}] = \ int _ {a} ^ {b} {\ cal {L}} (t, {\ boldsymbol {q}} ( t), {\ dot {\ boldsymbol {q}}} (t)) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i } {\ dot {q}} ^ {i} - {\ cal {H}} ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {q}}, t) \ right) \, dt,}$

unde și (vezi mai sus). O cale este un punct staționar al (și, prin urmare, este o ecuație de mișcare) dacă și numai dacă calea în coordonatele spațiului de fază respectă ecuațiile lui Hamilton. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} = {\ boldsymbol {q}} (t),}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} = \ partial {\ cal {L}} / \ partial {\ boldsymbol {\ dot {q}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ in {\ cal {P}} (a, b, {\ boldsymbol {x}} _ {a}, {\ boldsymbol {x}} _ {b})}$${\ displaystyle {\ cal {S}}}$${\ displaystyle ({\ boldsymbol {p}} (t), {\ boldsymbol {q}} (t))}$

Interpretare fizică de bază

O interpretare simplă a mecanicii hamiltoniene vine din aplicarea sa pe un sistem unidimensional format dintr-o particulă de masă m . Valoarea hamiltonianului este energia totală a sistemului, adică suma energiei cinetice și potențiale , denotate în mod tradițional T și respectiv V. Aici p este impulsul mv și q este coordonata spațială. Atunci ${\ displaystyle H (p, q)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = T + V \ quad, \ quad T = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad, \ quad V = V (q)}$

T este o funcție a lui p singur, în timp ce V este o funcție a lui q singur (adică T și V sunt scleronomice ).

În acest exemplu, derivata în timp a impulsului p este egală cu forța newtoniană , și astfel prima ecuație Hamilton înseamnă că forța este egală cu gradientul negativ al energiei potențiale. Derivata în timp a lui q este viteza, deci a doua ecuație Hamilton înseamnă că viteza particulei este egală cu derivata energiei sale cinetice în raport cu impulsul său.

Exemplu

Un pendul sferic constă dintr-o masă m care se mișcă fără frecare pe suprafața unei sfere . Singurele forțe care acționează asupra masei sunt reacția din sferă și gravitație . Coordonatele sferice sunt folosite pentru a descrie poziția masei în termeni de ( r , θ , φ ), unde r este fix, r = l .

Lagrangianul pentru acest sistem este

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) + mgl \ cos \ theta.}$

Astfel Hamiltonianul este

${\ displaystyle H = P _ {\ theta} {\ dot {\ theta}} + P _ {\ phi} {\ dot {\ phi}} - L}$

Unde

${\ displaystyle P _ {\ theta} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ theta}}}} = ml ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$

și

${\ displaystyle P _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} = ml ^ {2} \ sin ^ {2} \! \ theta \, {\ punct {\ phi}}.}$

În ceea ce privește coordonatele și momenta, Hamiltonianul citește

${\ displaystyle H = \ underbrace {\ left [{\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} \ sin ^ {2} \! \ Theta \, {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right]} _ {T} + \ underbrace {{\ Big [} -mgl \ cos \ theta {\ Big]}} _ {V} = {P _ {\ theta} ^ {2} \ peste 2ml ^ {2}} + {P _ {\ phi} ^ {2} \ peste 2ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} -mgl \ cos \ theta}$

Ecuațiile lui Hamilton oferă evoluția în timp a coordonatelor și momentei conjugate în patru ecuații diferențiale de ordinul întâi,

${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {P _ {\ theta} \ peste ml ^ {2}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = {P _ {\ phi} \ peste ml ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}$

${\ displaystyle {\ dot {P _ {\ theta}}} = {P _ {\ phi} ^ {2} \ over ml ^ {2} \ sin ^ {3} \ theta} \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}$

${\ displaystyle {\ dot {P _ {\ phi}}} = 0}$.

Momentul , care corespunde componentei verticale a momentului unghiular , este o constantă a mișcării. Aceasta este o consecință a simetriei rotaționale a sistemului în jurul axei verticale. Absent din hamiltonian, azimutul este o coordonată ciclică , ceea ce implică conservarea impulsului său conjugat. ${\ displaystyle P _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle L_ {z} = l \ sin \ theta \ times ml \ sin \ theta \, {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Derivând ecuațiile lui Hamilton

Ecuațiile lui Hamilton pot fi derivate examinând modul în care diferențialul total al Lagrangianului depinde de timp, pozițiile generalizate q _i și vitezele generalizate q ̇ _i :

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ mathrm {d} {\ dot {q }} ^ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}$

Momentele generalizate au fost definite ca

${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}}}$

Dacă acest lucru este înlocuit în diferențialul total al Lagrangianului, se obține

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + p_ {i} \ mathrm {d} {\ dot {q}} ^ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parțial t}} \ mathrm {d} t}$

Acest lucru poate fi rescris ca

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + \ mathrm {d} \ left (p_ {i} {\ dot {q}} ^ {i} \ right) - {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t \ ,.}$

care după rearanjare duce la

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (\ sum _ {i} p_ {i} {\ dot {q}} ^ {i} - {\ mathcal {L}} \ right) = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}$

Prin urmare, termenul din partea stângă este doar Hamiltonianul care a fost definit anterior

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ dot {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial t}} \ mathrm {d} t}$

De asemenea, este posibil să se calculeze diferențialul total al H-ului hamiltonien cu privire la timp direct, similar cu ceea ce a fost efectuat cu L-ul Lagrangian de mai sus, rezultând:

${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac { \ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}$

Din cele două ecuații independente anterioare rezultă că laturile lor din dreapta sunt egale între ele. Rezultatul este

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ left (- {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ punct {q}} ^ {i} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} \ mathrm {d} q ^ {i} + {\ frac {\ partial { \ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ mathrm {d} p_ {i} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}$

Întrucât acest calcul a fost făcut off-shell (adică fără a lua în considerare ecuațiile de mișcare) se pot asocia termenii corespunzători de pe ambele părți ale acestei ecuații pentru a produce:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i }}} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} = {\ dot {q}} ^ {i} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t}}$

On-shell, ecuațiile Lagrange indică acest lucru

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} = 0}$

O rearanjare a acestui randament

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} = {\ dot {p}} _ {i}}$

Astfel ecuațiile lui Hamilton sunt

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q ^ {j}}} = - {\ dot {p}} _ {j} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {j}}} = {\ dot {q}} ^ {j} \ quad, \ quad {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} { \ partial t}} = - {\ partial {\ mathcal {L}} \ over \ partial t}}$

Ecuațiile lui Hamilton constau din 2 n ecuații diferențiale de primul ordin , în timp ce ecuațiile Lagrange constau din n ecuații de ordinul doi. Ecuațiile lui Hamilton nu reduc de obicei dificultatea de a găsi soluții explicite, dar oferă totuși unele avantaje: pot fi obținute rezultate teoretice importante, deoarece coordonatele și momenta sunt variabile independente cu roluri aproape simetrice.

Ecuațiile lui Hamilton au un alt avantaj față de ecuațiile lui Lagrange: dacă un sistem are o simetrie, astfel încât o coordonată să nu apară în hamiltonien, impulsul corespunzător este conservat și această coordonată poate fi ignorată în celelalte ecuații ale setului. Aceasta reduce efectiv problema de la n coordonate la ( n - 1) coordonate. În cadrul Lagrangian, rezultatul că impulsul corespunzător este conservat urmează încă imediat, dar toate vitezele generalizate apar încă în Lagrangian. Un sistem de ecuații în n coordonate trebuie încă rezolvat. Abordările lagrangiene și hamiltoniene oferă baza pentru rezultate mai profunde în teoria mecanicii clasice și pentru formulări ale mecanicii cuantice.

Proprietățile lui Hamiltonian H

• Valoarea hamiltonianului este energia totală a sistemului dacă și numai dacă funcția energetică are aceeași proprietate. (A se vedea definiția${\ displaystyle {\ cal {H}}}$${\ displaystyle E _ {\ cal {L}}}$${\ displaystyle {\ cal {H}}).}$

• ${\ displaystyle {\ frac {d {\ cal {H}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial t}}}$ pe soluțiile ecuațiilor lui Hamilton.

Într-adevăr, și orice altceva decât termenul final se anulează.${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {d {\ cal {H}}} {dt}} = {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial {\ boldsymbol {p}}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {p}}} + {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial {\ boldsymbol {q}}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {q} }} + {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial t}},}$

• ${\ displaystyle {\ cal {H}}}$nu se schimbă sub transformări punctuale , adică schimbări linii ale coordonatelor spațiale. (Urmează din invarianța funcției energetice sub transformări punctuale. Invarianța lui poate fi stabilită direct).${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ leftrightarrow {\ boldsymbol {q '}}}$${\ displaystyle E _ {\ cal {L}}}$${\ displaystyle E _ {\ cal {L}}}$

• ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial t}}.}$ (Vezi Derivația ecuațiilor lui Hamilton).

• ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} = {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial q ^ {i}}}.}$ (Comparați ecuațiile Hamilton și Euler-Lagrange sau consultați ecuațiile Derivării lui Hamilton).

• ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ cal {H}}} {\ partial q ^ {i}}} = 0}$ dacă și numai dacă ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ cal {L}}} {\ partial q ^ {i}}} = 0.}$

Coordonata pentru care acest lucru este adevărat se numește ciclică (sau ignorabilă ). Fiecare coordonată ciclică reduce numărul de grade de libertate prin cauzarea conservării impulsului corespunzător și facilitează rezolvarea ecuațiilor lui Hamilton .${\ displaystyle q ^ {i}}$${\ displaystyle 1,}$${\ displaystyle p_ {i}}$

Hamiltonian al unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic

O ilustrare suficientă a mecanicii hamiltoniene este dată de hamiltonianul unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic . În coordonatele carteziene , Lagrangianul unei particule clasice nerelativiste într-un câmp electromagnetic este (în unități SI ):

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m {\ dot {x}} _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} q {\ dot {x}} _ {i} A_ {i} -q \ varphi}$

unde q este sarcina electrică a particulei, φ este potențialul scalar electric , iar A _i sunt componentele potențialului vector magnetic care pot depinde în mod explicit de și . ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle t}$

Acest Lagrangian, combinat cu ecuația Euler-Lagrange , produce legea forței Lorentz

${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} \ times \ mathbf {B} \ ,,}$

și se numește cuplare minimă .

Rețineți că valorile potențialului scalar și ale potențialului vectorial s-ar schimba în timpul unei transformări a ecartamentului , iar Lagrangianul însuși va prelua și termeni suplimentari; Dar termenii suplimentari din Lagrangian se adaugă la o derivată de timp totală a unei funcții scalare și, prin urmare, nu vor schimba ecuația Euler-Lagrange.

Cele Impulsul canonice sunt date de:

${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} = m {\ dot {x}} _ {i } + qA_ {i}}$

Rețineți că momentele canonice nu sunt invariante și nu sunt măsurabile fizic. Cu toate acestea, impulsul cinetic :

${\ displaystyle P_ {i} \ equiv m {\ dot {x}} _ {i} = p_ {i} -qA_ {i}}$

este gabarit invariant și măsurabil fizic.

Hamiltonianul, ca transformare Legendre a Lagrangianului, este deci:

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ left \ {\ sum _ {i} {\ dot {x}} _ {i} p_ {i} \ right \} - {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ left (p_ {i} -qA_ {i} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ varphi}$

Această ecuație este utilizată frecvent în mecanica cuantică .

Transformare sub ecartament :

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla f \ ,, \ quad \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ dot {f}} \ ,,}$

unde f ( r , t) este orice funcție scalară a spațiului și timpului, Lagrangianul menționat, momenta canonică și Hamiltonianul se transformă ca:

${\ displaystyle L \ rightarrow L '= L + q {\ frac {df} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p'} = \ mathbf {p} + q \ nabla f \ ,, \ quad H \ rightarrow H '= Hq {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ ,,}$

care produce încă aceeași ecuație a lui Hamilton:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left. {\ frac {\ partial H '} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} & = \ left. { \ frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} ({\ dot {x}} _ {i} p' _ {i} -L ' ) = - \ left. {\ frac {\ partial L '} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p' _ {i}} \\ & = - \ left. {\ frac { \ partial L} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} - q \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial {x_ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} {\ frac {df} {dt}} \\ & = - {\ frac {d} {dt}} \ left (\ left. {\ frac {\ partial L } {\ partial {{\ dot {x}} _ {i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} + q \ left. {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ { i}}}} \ right | _ {p '_ ​​{i}} \ right) \\ & = - {\ dot {p}}' _ {i} \ end {align}}}$

În mecanica cuantică, funcția de undă va suferi, de asemenea, o transformare locală a grupului U (1) în timpul Transformării Gauge, ceea ce implică faptul că toate rezultatele fizice trebuie să fie invariante sub transformările U (1) locale.

Particulă relativistă încărcată într-un câmp electromagnetic

Relativistă Lagrangianul pentru o particulă ( masă de repaus și de încărcare ) este dată de: ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (t) = - mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {{{\ dot {\ mathbf {x}}} (t)} ^ {2} } {c ^ {2}}}}} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right) -q \ varphi \ left (\ mathbf {x} (t), t \ right)}$

Astfel, impulsul canonic al particulei este

${\ displaystyle \ mathbf {p} (t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}}} = {\ frac {m {\ punct {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + q \ mathbf {A}}$

adică suma impulsului cinetic și a impulsului potențial.

Rezolvând viteza, obținem

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = {\ frac {\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}} {\ sqrt {m ^ {2} + {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}}}}$

Deci Hamiltonianul este

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {p} - {\ mathcal {L}} = c {\ sqrt {m ^ {2 } c ^ {2} + {\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right)} ^ {2}}} + q \ varphi}$

Aceasta are ca rezultat ecuația forței (echivalentă cu ecuația Euler-Lagrange )

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {x}}} = q {\ dot {\ mathbf {x }}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ dot {\ mathbf { x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$

din care se poate deriva

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {m {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {{\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ right) & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) = {\ dot {\ mathbf {p}}} - q {\ frac {\ partial A} {\ partial t} } -q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ & = q {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {A}) -q {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi -q {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} - q ({\ dot {\ mathbf {x}}} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A} \\ & = q \ mathbf {E} + q {\ dot {\ mathbf {x}}} \ times \ mathbf {B} \ end {align}}}$

Derivația de mai sus folosește identitatea de calcul vector :

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ right) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ { \ mathbf {A}} \ = \ \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ mathbf {A}) \ = \ (\ mathbf {A} {\ cdot} \ nabla) \ mathbf {A} \, + \ , \ mathbf {A} {\ times} (\ nabla {\ times} \ mathbf {A}).}$

O expresie echivalentă pentru hamiltonian ca funcție a impulsului relativist (cinetic) ,, este ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ gamma m {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {p} -q \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {P} (t) + {\ frac {mc ^ {2}} { \ gamma}} + q \ varphi (\ mathbf {x} (t), t) = \ gamma mc ^ {2} + q \ varphi (\ mathbf {x} (t), t) = E + V}$

Aceasta are avantajul că impulsul cinetic poate fi măsurat experimental, în timp ce impulsul canonic nu poate. Observați că hamiltonianul ( energie totală ) poate fi privit ca suma a energiei relativiste (+ repaus cinetică) , , plus energia potențială , . ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2}}$${\ displaystyle V = q \ varphi}$

De la geometria simplectică la ecuațiile lui Hamilton

Geometria sistemelor hamiltoniene

Hamiltonianul poate induce o structură simplectică pe un distribuitor uniform egal M ^{2 n} în mai multe moduri diferite, dar echivalente, cele mai cunoscute dintre care sunt următoarele:

Ca închis nedegenerat simplectic 2 formă ω. Conform teoremei lui Darboux , într-un cartier mic în jurul oricărui punct de pe M în coordonate locale adecvate există forma simplectică${\ displaystyle p_ {1}, \ cdots, p_ {n}, \ q_ {1}, \ cdots, q_ {n}}$

${\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} dp_ {i} \ wedge dq_ {i}}$

Coordonatele locale p , q sunt apoi numite canonice sau simplectice .

Forma permite construirea unui izomorfism natural al spațiului tangent și al spațiului cotangent Acest lucru se realizează prin maparea unui vector la forma 1 unde pentru un arbitrar Datorită bilinearității și nedegenerării și a faptului că cartarea este într-adevăr o izomorfism liniar . Acest izomorfism este firesc prin faptul că nu se schimbă odată cu schimbarea coordonatelor la repetarea pentru fiecare ajungem cu un izomorfism între spațiul infinit-dimensional al câmpurilor vectoriale netede și cel al formelor 1 netede. Pentru fiecare și ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle T_ {x} M \ cong T_ {x} ^ {*} M}$ ${\ displaystyle T_ {x} M}$ ${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} M.}$${\ displaystyle \ xi \ în T_ {x} M}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi} \ în T_ {x} ^ {*} M,}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi} (\ eta) = \ omega (\ eta, \ xi),}$${\ displaystyle \ eta \ în T_ {x} M.}$${\ displaystyle \ omega,}$${\ displaystyle \ mathop {\ rm {dim}} T_ {x} M = \ mathop {\ rm {dim}} T_ {x} ^ {*} M,}$${\ displaystyle \ xi \ to \ omega _ {\ xi}}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle x \ în M,}$${\ displaystyle J ^ {- 1}: {\ text {Vect}} (M) \ to \ Omega ^ {1} (M)}$${\ displaystyle f, g \ in C ^ {\ infty} (M, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in {\ text {Vect}} (M),}$

${\ displaystyle J ^ {- 1} (f \ xi + g \ eta) = fJ ^ {- 1} (\ xi) + gJ ^ {- 1} (\ eta).}$

(În termeni algebrici, s-ar spune că -modulele și sunt izomorfe). Dacă atunci, pentru fiecare fix și este cunoscut ca un câmp vector hamiltonian . Ecuația diferențială respectivă pe${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ text {Vect}} (M)}$${\ displaystyle \ Omega ^ {1} (M)}$${\ displaystyle H \ in C ^ {\ infty} (M \ times \ mathbb {R} _ {t}, \ mathbb {R}),}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} _ {t},}$ ${\ displaystyle dH \ in \ Omega ^ {1} (M),}$${\ displaystyle J (dH) \ în {\ text {Vect}} (M).}$ ${\ displaystyle J (dH)}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = J (dH) (x)}$

se numește ecuația lui Hamilton . Iată și este valoarea (dependentă de timp) a câmpului vectorial la${\ displaystyle x = x (t)}$${\ displaystyle J (dH) (x) \ în T_ {x} M}$${\ displaystyle J (dH)}$${\ displaystyle x \ in M.}$

Un sistem hamiltonian poate fi înțeles ca un pachet de fibre E în timp R , cu fibrele E _t , t ∈ R , fiind spațiul de poziție. Lagrangianul este astfel o funcție pe pachetul de jet J peste E ; luând transformarea Legendre în sensul fibrei a Lagrangianului produce o funcție pe fasciculul dual în timp a cărei fibră la t este spațiul cotangent T ^∗ E _t , care vine echipat cu o formă simplectică naturală , iar această din urmă funcție este Hamiltoniana. Corespondența dintre mecanica lagrangiană și cea hamiltoniană se realizează cu forma unică tautologică .

Orice funcție netedă cu valoare reală H pe o varietate simplectică poate fi utilizată pentru a defini un sistem hamiltonian . Funcția H este cunoscută sub numele de „Hamiltonianul” sau „funcția energetică”. Colectorul simplectic este apoi numit spațiu de fază . Hamiltonianul induce un câmp vectorial special pe varietatea simplectică, cunoscut sub numele de câmp vectorial hamiltonian .

Câmpul vectorial hamiltonian induce un flux hamiltonian pe varietate. Aceasta este o familie cu un singur parametru de transformări ale varietății (parametrul curbelor este denumit în mod obișnuit „timpul”); cu alte cuvinte, o izotopie a simplectomorfismelor , începând cu identitatea. Prin teorema lui Liouville , fiecare simplectomorfism păstrează forma volumului pe spațiul de fază . Colecția de simplectomorfisme induse de fluxul hamiltonian este denumită în mod obișnuit „mecanica hamiltoniană” a sistemului hamiltonian.

Structura simplectică induce o paranteză Poisson . Parantezul Poisson oferă spațiului funcțiilor de pe varietate structura unei algebre Lie .

Dacă F și G sunt funcții netede pe M, atunci funcția netedă ω ² ( IdG , IdF ) este definită corect; se numește o paranteză Poisson cu funcțiile F și G și se notează { F , G }. Parantezul Poisson are următoarele proprietăți:

1. biliniaritate
2. antisimetrie
3. ${\ displaystyle \ {F_ {1} \ cdot F_ {2}, G \} = F_ {1} \ {F_ {2}, G \} + F_ {2} \ {F_ {1}, G \}}$( Regula Leibniz )
4. ${\ displaystyle \ {\ {H, F \}, G \} + \ {\ {F, G \}, H \} + \ {\ {G, H \}, F \} \ equiv 0}$( Identitate Jacobi )
5. non-degenerescență: dacă punctul x pe M nu este critic pentru F, atunci există o funcție lină G , astfel încât .${\ displaystyle \ {F, G \} (x) \ neq 0}$

Având o funcție f

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} f = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} f + \ left \ {f, {\ mathcal {H} }\dreapta\},}$

dacă există o distribuție a probabilității , ρ , atunci (întrucât viteza spațială a fazei are zero divergență și probabilitatea este conservată) se poate arăta că derivata sa convectivă este zero și așa ${\ displaystyle ({\ dot {p}} _ {i}, {\ dot {q}} _ {i})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho = - \ left \ {\ rho, {\ mathcal {H}} \ right \}}$

Aceasta se numește teorema lui Liouville . Fiecare funcție lină G peste varietatea simplectică generează o familie cu un singur parametru de simplectomorfisme și dacă { G , H } = 0 , atunci G este conservat, iar simplectomorfismele sunt transformări de simetrie .

Un hamiltonian poate avea mai multe cantități conservate G _i . Dacă varietatea simplectică are dimensiunea 2 n și există n mărimi conservate funcțional independente G _i care sunt în involutie (adică, { G _i , G _j } = 0 ), atunci Hamiltonianul este Liouville integrabil . Liouville-Arnold teorema spune că, la nivel local, orice Liouville integrabil Hamiltonian poate fi transformată printr - un symplectomorphism într - un nou hamiltonian cu cantitățile conservate G _i drept coordonate; noile coordonate se numesc coordonate unghi-acțiune . Hamiltonianul transformat depinde doar de G _i și, prin urmare, ecuațiile mișcării au forma simplă

${\ displaystyle {\ dot {G}} _ {i} = 0 \ quad, \ quad {\ dot {\ varphi}} _ {i} = F_ {i} (G)}$

pentru unele funcții F . Există un întreg câmp care se concentrează pe mici abateri de la sistemele integrabile guvernate de teorema KAM .

Integrabilitatea câmpurilor vectoriale hamiltoniene este o întrebare deschisă. În general, sistemele hamiltoniene sunt haotice ; conceptele de măsură, completitudine, integrabilitate și stabilitate sunt slab definite.

Multiple riemanniene

Un caz special important este format din acele hamiltonieni care sunt forme pătratice , adică hamiltonieni care pot fi scrise ca

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (q, p) = {\ tfrac {1} {2}} \ langle p, p \ rangle _ {q}}$

unde ⟨,⟩ _q este un produs interior care variază ușor pe fibrele T^∗
_qQ , spațiul cotangent până la punctul q din spațiul de configurare , numit uneori cometric. Acest hamiltonian constă în întregime din termenul cinetic .

Dacă se ia în considerare o varietate Riemanniană sau o varietate pseudo-Riemanniană , metrica Riemanniană induce un izomorfism liniar între pachetele tangente și cotangente. (Vezi Izomorfism muzical ). Folosind acest izomorfism, se poate defini un cometric. (În coordonate, matricea care definește cometricul este inversa matricei care definește metrica.) Soluțiile la ecuațiile Hamilton-Jacobi pentru acest hamiltonian sunt atunci aceleași ca și geodezice pe varietate. În special, fluxul hamiltonian în acest caz este același lucru cu fluxul geodezic . Existența unor astfel de soluții și completitudinea setului de soluții sunt discutate în detaliu în articolul despre geodezie . A se vedea, de asemenea, Geodesics ca fluxuri hamiltoniene .

Multiple sub-Riemanniene

Când cometricul este degenerat, atunci nu este inversabil. În acest caz, nu avem o varietate riemanniană, deoarece nu avem o metrică. Cu toate acestea, hamiltonianul există încă. În cazul în care cometricul este degenerat în fiecare punct q al colectorului spațiului de configurație Q , astfel încât rangul cometricului este mai mic decât dimensiunea colectorului Q , unul are un colector sub-Riemannian .

Hamiltonianul în acest caz este cunoscut sub numele de Hamiltonian sub-Riemannian . Fiecare astfel de hamiltonian determină în mod unic cometricul și invers. Aceasta implică faptul că fiecare varietate sub-Riemanniană este determinată în mod unic de Hamiltonianul său sub-Riemannian și că inversul este adevărat: fiecare varietate sub-Riemanniană are un Hamiltonian sub-Riemannian unic. Existența geodeziei sub-Riemanniene este dată de teorema Chow – Rashevskii .

Grupul continuu Heisenberg cu valoare reală oferă un exemplu simplu de varietate sub-riemanniană. Pentru grupul Heisenberg, hamiltonienul este dat de

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ left (x, y, z, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} \ left ( p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} \ right)}$

p _z nu este implicat în hamiltonian.

Algebrele Poisson

Sistemele hamiltoniene pot fi generalizate în diferite moduri. În loc de pur și simplu uita la algebra de functii netede peste o mulțime simplectică , mecanici hamiltoniene pot fi formulate pe generale comutative unital reale algebre Poisson . O stare este o funcționalitate liniară continuă pe algebra Poisson (echipată cu o topologie adecvată ) astfel încât pentru orice element A algebrei, A ^{2 se} mapează la un număr real non-negativ.

O altă generalizare este dată de dinamica Nambu .

Generalizare la mecanica cuantică prin paranteză Poisson

Ecuațiile lui Hamilton de mai sus funcționează bine pentru mecanica clasică , dar nu și pentru mecanica cuantică , deoarece ecuațiile diferențiale discutate presupun că se poate specifica poziția exactă și impulsul particulei simultan în orice moment al timpului. Cu toate acestea, ecuațiile pot fi generalizate în continuare pentru a fi apoi extinse pentru a se aplica atât mecanicii cuantice, cât și mecanicii clasice, prin deformarea algebrei Poisson peste p și q la algebra parantezelor Moyal .

Mai exact, se citește forma mai generală a ecuației lui Hamilton

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ left \ {f, {\ mathcal {H}} \ right \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}}}$

unde f este o funcție a lui p și q , iar H este hamiltonianul. Pentru a afla regulile pentru evaluarea unei paranteze Poisson fără a recurge la ecuații diferențiale, consultați algebra Lie ; o paranteză Poisson este numele pentru paranteză Lie într-o algebră Poisson . Aceste paranteze Poisson pot fi apoi extinse la paranteze Moyal care se comportă la o algebră Lie inechivalentă , așa cum a dovedit Hilbrand J. Groenewold , și astfel descriu difuzia mecanică cuantică în spațiul de fază (Vezi formularea spațiului de fază și transformata Wigner-Weyl ). Această abordare mai algebrică nu numai că permite extinderea în cele din urmă a distribuțiilor de probabilitate în spațiul de fază la distribuțiile de cvasiprobabilitate Wigner , dar, la simpla setare clasică a parantezei Poisson, oferă și mai multă putere în a ajuta la analiza cantităților conservate relevante într-un sistem.

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mecanică . Curs de fizică teoretică . 1 . Sykes, JB (John Bradbury), Bell, JS (ed. A 3-a). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC  2591126 .
• Abraham, R .; Marsden, JE (1978). Bazele mecanicii (ed. 2d, rev., Enl. Și ed. Reset). Lectură, Liturghie: Benjamin / Cummings Pub. Co ISBN 0-8053-0102-X. OCLC  3516353 .
• Arnol'd, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988). „Aspecte matematice ale mecanicii clasice și cerești”. Enciclopedia științelor matematice, sisteme dinamice III . 3 . Anosov, DV Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC  16404140 .
• Arnol'd, VI (1989). Metode matematice ale mecanicii clasice (ed. A II-a). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352 .
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr .; Safko, John L. (2002). Mecanică clasică (ed. A III-a). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311 .
• Vinogradov, AM ; Kupershmidt, BA (31-08 1977). „Structura mecanicii hamiltoniene” . Sondaje matematice rusești . 32 (4): 177–243. Bibcode : 1977RuMaS..32..177V . doi : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001642 . ISSN  0036-0279 .

linkuri externe

• Binney, James J. , Mecanica clasică (note de curs) (PDF) , Universitatea din Oxford , recuperat la 27 octombrie 2010
• Tong, David , Classical Dynamics (Cambridge lecture notes) , University of Cambridge , extras 27 octombrie 2010
• Hamilton, William Rowan , Despre o metodă generală în dinamică , Trinity College Dublin