Puncte Napoleon - Napoleon points

În geometrie , punctele Napoleon sunt o pereche de puncte speciale asociate cu un triunghi plan . În general, se crede că existența acestor puncte a fost descoperită de Napoleon Bonaparte , împăratul francezilor din 1804 până în 1815, dar mulți au pus la îndoială această credință. Punctele de Napoleon sunt centre de triunghi și sunt enumerate ca punctele X (17) și X (18) , în Clark Kimberling e Enciclopedia Centrelor Triangle .

Numele „puncte Napoleon” a fost aplicat și unei alte perechi de centri triunghiulari, mai bine cunoscuți ca puncte izodinamice .

Definiția punctelor

Primul punct Napoleon

Fie ABC orice triunghi plan dat . Pe laturile BC , CA , AB ale triunghiului, construiți triunghiuri echilaterale desenate în exterior DBC , respectiv ECA și FAB . Fie centroidele acestor triunghiuri să fie X , Y și respectiv Z. Apoi liniile AX , BY și CZ sunt concurente . Punctul de concurență N1 este primul punct Napoleon sau punctul exterior Napoleon al triunghiului ABC .

Triunghiul XYZ este numit triunghiul exterior Napoleon al triunghiului ABC . Teorema lui Napoleon afirmă că acest triunghi este un triunghi echilateral .

În Enciclopedia centrelor de triunghi a lui Clark Kimberling , primul punct Napoleon este notat cu X (17).

În coordonatele Trilinear ale N1:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (\ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6} } \ right), \ csc \ left (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right) \\ & = \ left (\ sec \ left (A - {\ frac {\ pi} { 3}} \ right), \ sec \ left (B - {\ frac {\ pi} {3}} \ right), \ sec \ left (C - {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ dreapta) \ end {align}}}

În coordonatele barycentric ale N1:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), c \ csc \ left (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Al doilea punct Napoleon

Fie ABC orice triunghi plan dat . Pe laturile BC , CA , AB ale triunghiului, construiți triunghiuri echilaterale desenate în interior DBC , respectiv ECA și FAB . Fie centroidele acestor triunghiuri să fie X , Y și respectiv Z. Apoi liniile AX , BY și CZ sunt concurente. Punctul de concurență N2 este al doilea punct Napoleon sau punctul interior Napoleon al triunghiului ABC .

Triunghiul XYZ este numit triunghiul interior Napoleon al triunghiului ABC . Teorema lui Napoleon afirmă că acest triunghi este un triunghi echilateral.

În Enciclopedia centrelor de triunghi a lui Clark Kimberling, al doilea punct Napoleon este notat cu X (18).

Coordonatele triliniare ale N2:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (\ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} { 6}} \ right), \ csc \ left (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right) \\ & = \ left (\ sec \ left (A + {\ frac {\ pi } {3}} \ right), \ sec \ left (B + {\ frac {\ pi} {3}} \ right), \ sec \ left (C + {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ dreapta) \ end {align}}}

Coordonatele baricentrice ale lui N2:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} {6}} \ right ), c \ csc \ left (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Două puncte strâns legate de punctele Napoleon sunt punctele Fermat-Torricelli (X13 și X14 ale ETC). Dacă în loc de a construi linii care unesc centroidele triunghiurilor echilaterale cu vârfurile respective se construiește acum linii care unesc vârfurile triunghiurilor echilaterale cu vârfurile respective ale triunghiului, cele trei linii astfel construite sunt din nou concurente. Punctele de concurență se numesc punctele Fermat-Torricelli, uneori notate F1 și F2. Intersecția liniei Fermat (adică a acelei linii care unește cele două puncte Fermat-Torricelli) și a liniei Napoleon (adică a acelei linii care unește cele două puncte Napoleon) este punctul simmedian al triunghiului (X6 al ETC).

Generalizări

Rezultatele privind existența punctelor Napoleon pot fi generalizate în diferite moduri. În definirea punctelor Napoleon începem cu triunghiuri echilaterale desenate pe laturile triunghiului ABC și apoi luăm în considerare centrele X , Y și Z ale acestor triunghiuri. Aceste centre pot fi considerate ca vârfurile triunghiurilor izoscele ridicate pe laturile triunghiului ABC cu unghiurile de bază egale cu $π$ / 6 (30 de grade). Generalizările urmăresc să determine alte triunghiuri care, atunci când sunt ridicate peste laturile triunghiului ABC , au linii concurente care își unesc vârfurile externe și vârfurile triunghiului ABC .

Triunghiuri isoscel

Un punct pe hiperbola Kiepert.

Hiperbola Kiepert a triunghiului ABC . Hiperbola trece prin vârfurile ( A , B , C ), ortocentrul ( O ) și centroul ( G ) al triunghiului.

Această generalizare afirmă următoarele:

Dacă cele trei triunghiuri XBC, YCA și ZAB, construite pe laturile triunghiului dat ABC ca baze, sunt similare , isoscele și situate în mod similar, atunci liniile AX, BY, CZ concurează într-un punct N.

Dacă unghiul de bază comun este , atunci vârfurile celor trei triunghiuri au următoarele coordonate triliniare. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle X (- \ sin \ theta, \ sin (C + \ theta), \ sin (B + \ theta))}$
${\ displaystyle Y (\ sin (C + \ theta), - \ sin \ theta, \ sin (A + \ theta))}$
${\ displaystyle Z (\ sin (B + \ theta), \ sin (A + \ theta), - \ sin \ theta)}$

Coordonatele triliniare ale lui N sunt

{\ displaystyle (\ csc (A + \ theta), \ csc (B + \ theta), \ csc (C + \ theta)).}

Câteva cazuri speciale sunt interesante.

Valoarea θ;	Punctul N
0	G , centroidul triunghiului ABC
$π$ / 2 (sau - $π$ / 2)	O , ortocentrul triunghiului ABC
$π$ / 4 (sau - $π$ / 4)	Punctele Vecten
$π$ / 6	N1, primul punct Napoleon (X17)
- $π$ / 6	N2, al doilea punct Napoleon (X18)
$π$ / 3	F1, primul punct Fermat – Torricelli (X13)
- $π$ / 3	F2, al doilea punct Fermat – Torricelli (X14)
- A (dacă A < $π$ / 2) $π$ - A (dacă A > $π$ / 2)	Vârful A
- B (dacă B < $π$ / 2) $π$ - B (dacă B > $π$ / 2)	Vârful B
- C (dacă C < $π$ / 2) $π$ - C (dacă C > $π$ / 2)	Vârful C

Mai mult, locusul lui N ca unghi de bază variază între - $π$ / 2 și $π$ / 2 este conica ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (BC)} {x}} + {\ frac {\ sin (CA)} {y}} + {\ frac {\ sin (AB)} {z}} = 0. }

Această conică este o hiperbolă dreptunghiulară și se numește hiperbola Kiepert în onoarea lui Ludwig Kiepert (1846–1934), matematicianul care a descoperit acest rezultat. Această hiperbolă este conica unică care trece prin cele cinci puncte A, B, C, G și O.

Triunghiuri similare

Generalizarea punctului Napoleon: Un caz special

Cele trei triunghiuri XBC , YCA , ZAB ridicate peste laturile triunghiului ABC nu trebuie să fie izoscel pentru ca cele trei linii AX , BY , CZ să fie concurente.

Dacă triunghiurile similare XBC, AYC, ABZ sunt construite în exterior pe laturile oricărui triunghi ABC, atunci liniile AX, BY și CZ sunt concurente.

Triunghiuri arbitrare

Concurența liniilor AX , BY și CZ se menține chiar și în condiții mult relaxate. Următorul rezultat prezintă una dintre cele mai generale condiții pentru ca liniile AX , BY , CZ să fie concurente.

Dacă triunghiurile XBC, YCA, ZAB sunt construite în exterior pe laturile oricărui triunghi ABC astfel încât

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

atunci liniile AX, BY și CZ sunt concurente.

Punctul concurenței este cunoscut sub numele de punctul Jacobi .

O generalizare a punctului Napoleon

Istorie

Coxeter și Greitzer afirmă teorema lui Napoleon astfel: Dacă triunghiurile echilaterale sunt ridicate extern pe laturile oricărui triunghi, centrele lor formează un triunghi echilateral . Observă că Napoleon Bonaparte era un pic matematician cu un mare interes pentru geometrie. Cu toate acestea, se îndoiesc dacă Napoleon știa suficientă geometrie pentru a descoperi teorema atribuită acestuia.

Cea mai timpurie apariție înregistrată a rezultatului întruchipat în teorema lui Napoleon se află într-un articol din Jurnalul doamnelor apărut în 1825. Jurnalul doamnelor a fost un periodic anual aflat în circulație la Londra între 1704 și 1841. Rezultatul a apărut ca parte a unui întrebare adresată de W. Rutherford, Woodburn.

VII. Quest. (1439); de domnul W. Rutherford, Woodburn. " Descrieți triunghiuri echilaterale (vârfurile fiind fie toate exterioare, fie toate spre interior) pe cele trei laturi ale oricărui triunghi ABC: atunci liniile care unesc centrele de greutate ale acestor trei triunghiuri echilaterale vor constitui un triunghi echilateral. Necesară o demonstrație. "

Cu toate acestea, nu există nicio referire la existența așa-numitelor puncte Napoleon în această întrebare. Christoph J. Scriba , un istoric german al matematicii , a studiat problema atribuirii punctelor Napoleon lui Napoleon într-o lucrare din Historia Mathematica .

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

Stachel, Hellmuth (2002). „Teorema și generalizările lui Napoleon prin hărți liniare” (PDF) . Contribuții la algebră și geometrie . 43 (2): 433-444 . Accesat la 25 aprilie 2012 .
Grünbaum, Branko (2001). „O rudă a„ teoremei lui Napoleon ” ” (PDF) . Geombinatorie . 10 : 116–121 . Accesat la 25 aprilie 2012 .
Katrien Vandermeulen; și colab. - Napoleon, matematician? . Matematica pentru Europa. Arhivat din original la 30 august 2012 . Accesat la 25 aprilie 2012 .
Bogomolny, Alexandru . „Teorema lui Napoleon” . Taie nodul! O coloană interactivă care utilizează applet-uri Java . Accesat la 25 aprilie 2012 .
„Napoleon's Thm and the Napoleon Points” . Arhivat din original la 21 ianuarie 2012 . Accesat la 24 aprilie 2012 .
Weisstein, Eric W. „Napoleon Points” . Din MathWorld - O resursă web Wolfram . Accesat la 24 aprilie 2012 .
Philip LaFleur. „Teorema lui Napoleon” (PDF) . Arhivat din original (PDF) la 7 septembrie 2012 . Accesat la 24 aprilie 2012 .
Wetzel, John E. (aprilie 1992). „Converse ale teoremei lui Napoleon” (PDF) . Arhivat din original (PDF) la 29 aprilie 2014 . Accesat la 24 aprilie 2012 .

Languages

In other projects