Ortogonalitate - Orthogonality

Segmentele de linie AB și CD sunt ortogonale între ele.

În matematică , ortogonalitatea este generalizarea noțiunii de perpendicularitate față de algebra liniară a formelor biliniare . Două elemente u și v ale unui spațiu vectorial cu formă biliniară B sunt ortogonale când B ( u , v ) = 0 . În funcție de forma biliniară, spațiul vectorial poate conține vectori auto-ortogonali diferiți de zero. În cazul spațiilor funcționale , familiile funcțiilor ortogonale sunt utilizate pentru a forma o bază .

Prin extensie, ortogonalitatea este, de asemenea, utilizată pentru a se referi la separarea caracteristicilor specifice ale unui sistem. Termenul are, de asemenea, semnificații specializate în alte domenii, inclusiv artă și chimie.

Etimologie

Cuvântul provine din limba greacă ὀρθός ( orthos ), însemnând " în poziție verticală", și γωνία ( Gonia ), însemnând "unghi". Antic grecesc ὀρθογώνιον orthogōnion și latina clasică orthogonium notat inițial un dreptunghi . Mai târziu, au ajuns să însemne un triunghi dreptunghiular . În secolul al XII-lea, cuvântul latin post-clasic orthogonalis a ajuns să însemne un unghi drept sau ceva legat de un unghi drept.

Matematică și fizică

Ortogonalitate și rotație a sistemelor de coordonate comparate între stânga: spațiul euclidian prin unghiul circular ϕ , dreapta: în spațiul Minkowski prin unghiul hiperbolic ϕ (liniile roșii etichetate c denotă liniile lumii ale unui semnal luminos, un vector este ortogonal față de el însuși dacă se află pe acesta linia).

Definiții

• În geometrie , doi vectori euclidieni sunt ortogonali dacă sunt perpendiculari , adică formează un unghi drept .
• Doi vectori , x și y , într-un spațiu interior al produsului , V , sunt ortogonali dacă produsul lor interior este zero. Această relație este notată .${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle x \ perp y}$
• O matrice ortogonală este o matrice ale cărei vectori de coloană sunt ortonormali între ei.
• Două subspații vectoriale , A și B , a unui spațiu interior produs V , se numesc subspații ortogonale dacă fiecare vector într - o este ortogonal fiecărui vector în B . Cel mai mare subspatiu al lui V care este ortogonal fata de un subspatiu dat este complementul sau ortogonal .
• Având în vedere un modul de M și dual M ^* , un element m 'de M ^* si un element m al M sunt ortogonale dacă lor de împerechere naturală este zero, adică ⟨ m ', m ⟩ = 0 . Două seturi S '⊆ M ^* și S ⊆ M sunt ortogonale în cazul în care fiecare element al S ' este perpendiculară pe fiecare element al S .
• Se spune că un termen de sistem de rescriere este ortogonal dacă este liniar la stânga și nu este ambiguu. Sistemele ortogonale de rescriere a termenilor sunt confluente .

Un set de vectori într-un spațiu interior al produsului se numește pereche ortogonală dacă fiecare pereche a acestora este ortogonală. O astfel de mulțime se numește mulțime ortogonală .

În anumite cazuri, cuvântul normal este folosit pentru a însemna ortogonal , în special în sensul geometric ca în cel normal la o suprafață . De exemplu, axa y este normală la curba y = x ² la origine. Cu toate acestea, normalul se poate referi și la magnitudinea unui vector. În special, un set se numește ortonormal (ortogonal plus normal) dacă este un set ortogonal de vectori unitari . Ca urmare, este adesea evitată utilizarea termenului normal pentru a însemna „ortogonal”. Cuvântul „normal” are, de asemenea, o semnificație diferită în probabilitate și statistici .

Un spațiu vectorial cu o formă biliniară generalizează cazul unui produs interior. Când forma biliniară aplicată la doi vectori are ca rezultat zero, atunci acestea sunt ortogonale . Cazul unui plan pseudo-euclidian utilizează termenul de ortogonalitate hiperbolică . În diagrama, axele x 'și t' sunt hiperbolică-ortogonale pentru orice dat φ .

Spații vectoriale euclidiene

În spațiul euclidian , doi vectori sunt ortogonali dacă și numai dacă produsul lor punct este zero, adică fac un unghi de 90 ° (π / 2 radiani ), sau unul dintre vectori este zero. Prin urmare, ortogonalitatea vectorilor este o extensie a conceptului de vectori perpendiculari la spații de orice dimensiune.

Complementul ortogonal al unui subspațiu este spațiul tuturor vectorilor care sunt ortogonale fiecare vector în subspațiul. Într-un spațiu vectorial euclidian tridimensional, complementul ortogonal al unei linii prin origine este planul prin origine perpendicular pe ea și invers.

Rețineți că conceptul geometric al celor două planuri perpendiculare nu corespunde complementului ortogonal, deoarece în trei dimensiuni o pereche de vectori, câte unul din fiecare pereche de planuri perpendiculare, s-ar putea întâlni la orice unghi.

În spațiul euclidian cu patru dimensiuni, complementul ortogonal al unei linii este un hiperplan și invers, iar cel al unui plan este un plan.

Funcții ortogonale

Prin utilizarea calculului integral , este obișnuit să se utilizeze următoarele pentru a defini produsul interior al două funcții f și g în raport cu o funcție de greutate non-negativă w pe un interval [ a , b ] :

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) w (x) \, dx.}$

În cazuri simple, w ( x ) = 1 .

Spunem că funcțiile f și g sunt ortogonale dacă produsul lor interior (echivalent, valoarea acestei integrale) este zero:

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = 0.}$

Ortogonalitatea a două funcții față de un produs interior nu implică ortogonalitate față de un alt produs interior.

Scriem norma cu privire la acest produs interior ca

${\ displaystyle \ | f \ | _ {w} = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {w}}}}$

Membrii unui set de funcții { f _i  : i = 1, 2, 3, ...} sunt ortogonali față de w pe intervalul [ a , b ] dacă

${\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = 0 \ quad i \ neq j.}$

Membrii unui astfel de set de funcții sunt ortonormali față de w pe intervalul [ a , b ] dacă

${\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = \ delta _ {i, j},}$

Unde

${\ displaystyle \ delta _ {i, j} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, && i = j \\ 0, && i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}$

este delta Kronecker . Cu alte cuvinte, fiecare pereche dintre ele (excluzând asocierea unei funcții cu ea însăși) este ortogonală, iar norma fiecăruia este 1. Vezi în special polinoamele ortogonale .

Exemple

• Vectorii (1, 3, 2) ^T , (3, −1, 0) ^T , (1, 3, −5) ^T sunt ortogonali între ei, deoarece (1) (3) + (3) (- 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0 și (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
• Vectorii (1, 0, 1, 0, ...) ^T și (0, 1, 0, 1, ...) ^T sunt ortogonali între ei. Produsul punct al acestor vectori este 0. Putem face apoi generalizarea pentru a lua în considerare vectorii din Z ₂ ⁿ :
  $${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = \ sum _ {i = 0 \ atop ai + k <n} ^ {n / a} \ mathbf {e} _ {i}}$$

  
  pentru un întreg pozitiv a , iar pentru 1 ≤ k ≤ a - 1 , acești vectori sunt ortogonali, de exemplu , , sunt ortogonale.${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$
• Funcțiile 2 t + 3 și 45 t ² + 9 t - 17 sunt ortogonale în raport cu o funcție de greutate unitară pe intervalul de la -1 la 1:
  $${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} \ left (2t + 3 \ right) \ left (45t ^ {2} + 9t-17 \ right) \, dt = 0}$$

  
• Funcțiile 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ... sunt ortogonale în ceea ce privește integrarea Riemann la intervalele [0, 2π] , [−π, π] sau orice alt tip închis interval de lungime 2π. Acest fapt este unul central în seria Fourier .

Polinoame ortogonale

Diverse secvențe polinomiale numite pentru matematicieni din trecut sunt secvențe de polinoame ortogonale . În special:

• Cele polinoame Hermite sunt ortogonale în raport cu distribuția gaussiană cu o valoare medie de zero.
• De Polinoamele Legendre sunt ortogonale în raport cu distribuția uniformă pe intervalul [-1, 1] .
• Cele polinoame Laguerre sunt ortogonale în raport cu distribuția exponențială . Secvențele polinomiale Laguerre ceva mai generale sunt ortogonale în ceea ce privește distribuțiile gamma .
• De polinoame Chebyshev de primul tip sunt ortogonale în raport cu măsura${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}$
• Polinoamele Chebyshev de al doilea fel sunt ortogonale în ceea ce privește distribuția semicercului Wigner .

Stări ortogonale în mecanica cuantică

• În mecanica cuantică , o suficientă (dar nu este necesar) , cu condiția ca două eigenstates ale unui operator de Hermitian , și , sunt ortogonale este faptul că acestea corespund diferitelor valori proprii. Aceasta înseamnă, în notația Dirac , că dacă și corespund unor valori proprii diferite. Acest lucru rezultă din faptul că ecuația lui Schrödinger este o ecuație Sturm – Liouville (în formularea lui Schrödinger) sau că observabilele sunt date de operatori hermitieni (în formularea lui Heisenberg).${\ displaystyle \ psi _ {m}}$${\ displaystyle \ psi _ {n}}$${\ displaystyle \ langle \ psi _ {m} | \ psi _ {n} \ rangle = 0}$${\ displaystyle \ psi _ {m}}$${\ displaystyle \ psi _ {n}}$

Artă

În artă, liniile de perspectivă (imaginare) care indică punctul de fugă sunt denumite „linii ortogonale”. Termenul „linie ortogonală” are adesea un sens destul de diferit în literatura de critică de artă modernă. Multe lucrări ale unor pictori precum Piet Mondrian și Burgoyne Diller sunt remarcate pentru utilizarea exclusivă a „liniilor ortogonale” - nu, totuși, cu referire la perspectivă, ci mai degrabă cu referire la linii care sunt drepte și exclusiv orizontale sau verticale, formând unghiuri drepte unde se intersectează. De exemplu, un eseu pe site-ul Web al Muzeului Thyssen-Bornemisza afirmă că „Mondrian ... și-a dedicat întreaga operă investigării echilibrului dintre liniile ortogonale și culorile primare.” Arhivat 31.01.2009 la Wayback Machine

Informatică

Ortogonalitatea în proiectarea limbajului de programare este capacitatea de a utiliza diverse caracteristici ale limbajului în combinații arbitrare cu rezultate consistente. Această utilizare a fost introdusă de Van Wijngaarden în proiectarea Algol 68 :

Numărul conceptelor primitive independente a fost redus la minimum pentru ca limbajul să fie ușor de descris, de învățat și de implementat. Pe de altă parte, aceste concepte au fost aplicate „ortogonal” pentru a maximiza puterea expresivă a limbajului, încercând în același timp să evite superfluențele dăunătoare.

Ortogonalitatea este o proprietate de proiectare a sistemului care garantează că modificarea efectului tehnic produs de o componentă a unui sistem nu creează și nici nu propagă efecte secundare către alte componente ale sistemului. De obicei, acest lucru se realizează prin separarea preocupărilor și a încapsulării și este esențial pentru proiectarea fezabilă și compactă a sistemelor complexe. Comportamentul emergent al unui sistem format din componente ar trebui controlat strict prin definiții formale ale logicii sale și nu prin efecte secundare care rezultă din integrarea slabă, adică proiectarea neortogonală a modulelor și interfețelor. Ortogonalitatea reduce timpul de testare și dezvoltare, deoarece este mai ușor să verificați proiectele care nici nu provoacă efecte secundare, nici nu depind de ele.

Se spune că un set de instrucțiuni este ortogonal dacă nu are redundanță (adică există o singură instrucțiune care poate fi utilizată pentru a realiza o sarcină dată) și este conceput astfel încât instrucțiunile să poată utiliza orice registru în orice mod de adresare . Această terminologie rezultă din considerarea unei instrucțiuni ca un vector ale cărui componente sunt câmpurile de instrucțiuni. Un câmp identifică registrele care urmează să fie operate și altul specifică modul de adresare. Un set de instrucțiuni ortogonale codifică în mod unic toate combinațiile de registre și moduri de adresare.

Comunicații

În comunicații, schemele cu acces multiplu sunt ortogonale atunci când un receptor ideal poate respinge complet semnalele nedorite puternic în mod arbitrar de la semnalul dorit folosind diferite funcții de bază . O astfel de schemă este TDMA , unde funcțiile bazei ortogonale sunt impulsuri dreptunghiulare care nu se suprapun („intervale de timp”).

O altă schemă este multiplexarea ortogonală prin diviziune în frecvență (OFDM), care se referă la utilizarea, de către un singur transmițător, a unui set de semnale multiplexate în frecvență cu spațiul minim de frecvență exact necesar pentru a le face ortogonale, astfel încât să nu interfereze unul cu celălalt . Exemple bine cunoscute includ versiunile ( a , g și n ) ale Wi-Fi 802.11 ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , sistemul de difuzare a televiziunii digitale terestre utilizat în majoritatea lumii în afara Americii de Nord; și DMT (Discrete Multi Tone), forma standard a ADSL .

În OFDM, frecvențele subpurtătorilor sunt alese astfel încât subpurtătorii să fie ortogonali între ele, ceea ce înseamnă că diafragma dintre subcanaluri este eliminată și nu sunt necesare benzi de protecție interpurtătoare. Acest lucru simplifică foarte mult proiectarea atât a emițătorului, cât și a receptorului. În FDM convențional, este necesar un filtru separat pentru fiecare subcanal.

Statistici, econometrie și economie

Când se efectuează analize statistice, variabilele independente care afectează o anumită variabilă dependentă sunt considerate a fi ortogonale dacă sunt necorelate, deoarece covarianța formează un produs interior. În acest caz, se obțin aceleași rezultate pentru efectul oricăreia dintre variabilele independente asupra variabilei dependente, indiferent dacă se modelează efectele variabilelor individual cu regresie simplă sau simultan cu regresie multiplă . Dacă este prezentă corelația , factorii nu sunt ortogonali și se obțin rezultate diferite prin cele două metode. Această utilizare apare din faptul că, dacă este centrată prin scăderea valorii așteptate (media), variabilele necorelate sunt ortogonale în sensul geometric discutat mai sus, atât ca date observate (adică, vectori), cât și ca variabile aleatorii (adică, funcții de densitate). Un formalism econometric care este alternativ la cadrul de maximă probabilitate , Metoda generalizată a momentelor , se bazează pe condiții de ortogonalitate. În special, estimatorul ordinar al celor mai mici pătrate poate fi ușor derivat dintr-o condiție de ortogonalitate între variabilele explicative și reziduurile modelului.

Taxonomie

În taxonomie , o clasificare ortogonală este aceea în care niciun element nu este membru al mai multor grupuri, adică clasificările se exclud reciproc.

Combinatorie

În combinatorie , se spune că două n × n pătrate latine sunt ortogonale dacă suprapunerea lor produce toate n ² combinații posibile de intrări.

Chimie și biochimie

În chimia organică sintetică, protecția ortogonală este o strategie care permite deprotejarea grupurilor funcționale independent una de cealaltă. În chimie și biochimie, o interacțiune ortogonală apare atunci când există două perechi de substanțe și fiecare substanță poate interacționa cu partenerul lor respectiv, dar nu interacționează cu niciuna dintre substanțele celeilalte perechi. De exemplu, ADN-ul are două perechi ortogonale: citozina și guanina formează o pereche de baze, iar adenina și timina formează o altă pereche de baze, dar alte combinații de perechi de baze sunt puternic defavorizate. Ca exemplu chimic, tetrazina reacționează cu transciclooctenul, iar azida reacționează cu ciclooctina fără nicio reacție încrucișată, deci acestea sunt reacții ortogonale reciproce și, prin urmare, pot fi efectuate simultan și selectiv. Chimia bioortogonală se referă la reacțiile chimice care apar în interiorul sistemelor vii fără a reacționa cu componentele celulare prezente în mod natural. În chimia supramoleculară noțiunea de ortogonalitate se referă la posibilitatea ca două sau mai multe interacțiuni supramoleculare, adesea necovalente , să fie compatibile; formându-se reversibil fără interferențe de la celălalt.

În chimia analitică , analizele sunt „ortogonale” dacă fac o măsurare sau o identificare în moduri complet diferite, crescând astfel fiabilitatea măsurării. Testarea ortogonală poate fi privită astfel ca „verificare încrucișată” a rezultatelor, iar noțiunea „încrucișată” corespunde originii etimologice a ortogonalității . Testarea ortogonală este adesea necesară ca parte a unei noi cereri de droguri .

Fiabilitatea sistemului

În domeniul fiabilității sistemului, redundanța ortogonală este acea formă de redundanță în care forma dispozitivului sau metodei de rezervă este complet diferită de dispozitivul sau metoda predispusă la erori. Modul de eșec al unui dispozitiv sau metodă de rezervă ortogonal redundantă nu se intersectează cu și este complet diferit de modul de eșec al dispozitivului sau metodei care au nevoie de redundanță pentru a proteja sistemul total împotriva eșecului catastrofal.

Neuroștiințe

În neuroștiințe , o hartă senzorială din creier care are codificare stimulată suprapusă (de exemplu, locație și calitate) se numește hartă ortogonală.

Jocuri

În jocurile de societate precum șahul care prezintă o grilă de pătrate, „ortogonal” este folosit pentru a însemna „în același rând /„ rang ”sau coloană /„ fișier ””. Aceasta este contrapartida pătratelor care sunt „diagonal adiacente”. În vechiul joc de masă chinez Go, un jucător poate captura pietrele unui adversar ocupând toate punctele adiacente ortogonal.

Alte exemple

Înregistrările de vinil stereo codifică atât canalele stereo cât și stânga într-un singur canal. Șanțul în formă de V din vinil are pereți care sunt la 90 de grade unul față de celălalt, cu variații în fiecare perete care codifică separat unul dintre cele două canale analogice care alcătuiesc semnalul stereo. Cartușul detectează mișcarea stylusului urmând șanțul în două direcții ortogonale: 45 de grade de la verticală la ambele părți. O mișcare orizontală pură corespunde unui semnal mono, echivalent cu un semnal stereo în care ambele canale poartă semnale identice (în fază).

Vezi si

• Număr imaginar
• Izogonal
• Traiectoria izogonală
• Complement ortogonal
• Grup ortogonal
• Matrice ortogonală
• Polinoame ortogonale
• Ortogonalizare
  • Procesul Gram – Schmidt
• Baza ortonormală
• Ortonormalitatea
• Transformarea ortogonală
• Pan-ortogonalitatea apare la coaternari
• Suprafața normală
• Pereche ortogonală ligand-proteină

Referințe

Lecturi suplimentare

• Capitolul 4 - Compacitate și ortogonalitate în arta programării Unix