Triunghi cu pedale - Pedal triangle
În geometrie , un triunghi cu pedală este obținut prin proiectarea unui punct pe laturile unui triunghi .
Mai precis, considera un triunghi ABC și un punct P care nu este unul dintre nodurile A, B, C . Aruncați perpendiculare de la P la cele trei laturi ale triunghiului (acestea pot fi necesare, adică extinse). Etichetați L , M , N intersecțiile liniilor din P cu laturile BC , AC , AB . Triunghiul pedalei este apoi LMN .
Dacă ABC nu este un triunghi obtuz, unghiurile LMN sunt 180º-2A, 180º-2B și 180º-2C.
Amplasarea punctului P ales în raport cu triunghiul ales ABC dă naștere unor cazuri speciale:
- Dacă P = ortocentru , atunci LMN = triunghi ortic .
- Dacă P = stimulent , atunci LMN = triunghi intact .
- Dacă P = circumcentrul , atunci LMN = triunghi medial .
Dacă P se află pe circumferința triunghiului, LMN se prăbușește la o linie. Aceasta se numește apoi linia pedalei , sau uneori linia Simson după Robert Simson .
Vârfurile triunghiului pedalei unui punct interior P , așa cum se arată în diagrama superioară, împarte laturile triunghiului original în așa fel încât să satisfacă teorema lui Carnot :
Coordonate triliniare
Dacă P are coordonate triliniare p : q : r , atunci vârfurile L, M, N ale triunghiului pedalei lui P sunt date de
- L = 0: q + p cos C : r + p cos B
- M = p + q cos C: 0: r + q cos A
- N = p + r cos B: q + r cos A: 0
Triunghi antipedal
Un nod, L“ , al triunghiului antipedal al P este punctul de intersecție al perpendiculara BP prin B și perpendiculara CP prin C . Celelalte vârfuri ale sale, M 'și N ', sunt construite în mod analog. Coordonatele triliniare sunt date de
- L ' = - (q + p cos C) (r + p cos B): (r + p cos B) (p + q cos C): (q + p cos C) (p + r cos B)
- M ' = (r + q cos A) (q + p cos C): - (r + q cos A) (p + q cos C): (p + q cos C) (q + r cos A)
- N ' = (q + r cos A) (r + p cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)
De exemplu, triunghiul excentral este triunghiul antipedal al stimulului.
Să presupunem că P nu se află pe oricare dintre laturile extinse BC, CA, AB, si lasa P -1 denota izogonal conjugat al P . Triunghiul Pedala de P este homothetic la triunghiul antipedal de P -1 . Centrul homotetic (care este un centru triunghiular dacă și numai dacă P este un centru triunghiular) este punctul dat în coordonate triliniare de
- ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + p cos C): cr (r + p cos B) (r + q cos A) .
Produsul ariilor triunghiului pedalei lui P și al triunghiului antipedal al lui P −1 este egal cu pătratul ariei triunghiului ABC .