Nedeterminare cuantică - Quantum indeterminacy

O parte dintr-o serie de articole despre
Mecanica cuantică
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuația Schrödinger
Introducere Glosar Istorie
fundal Mecanica clasică Vechea teorie cuantică Notare Bra – ket Hamiltonian Interferență
Fundamente Complementaritate Decoerență Încurcătură Nivel de energie Măsurare Nonlocalitatea Număr cuantic Stat Suprapunere Simetrie Tunelare Incertitudine Funcția de undă Colaps
Experimente Inegalitatea lui Bell Davisson – Germer Dublă fantă Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Inegalitatea Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Radieră cuantică Alegere întârziată Pisica lui Schrödinger Stern – Gerlach Alegerea întârziată a roții
Formulări Prezentare generală Heisenberg Interacţiune Matrice Faza-spațiu Schrödinger Sum-over-history (cale integrală)
Ecuații Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretări Prezentare generală Bayesian Istorii consistente Copenhaga de Broglie – Bohm Ansamblu Ascuns-variabil Local Multe lumi Colaps obiectiv Logica cuantică Relațional Tranzacțional
Subiecte avansate Mecanica cuantică relativistă Teoria câmpului cuantic Știința informației cuantice Calcul cuantic Haos cuantic Matricea densității Teoria împrăștierii Mecanica statistică cuantică Învățare cuantică cu mașini
Oamenii de știință Aharonov clopot Blackett Bloch Bohm Bohr Născut Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Iordania Kramers Pauli miel Landou Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Nedeterminarea cuantică este incompleta necesitate aparentă în descrierea unui sistem fizic , care a devenit una dintre caracteristicile descrierii standard a fizicii cuantice . Înainte de fizica cuantică, se credea că

(a) un sistem fizic avea o stare determinată care determina în mod unic toate valorile proprietăților sale măsurabile și invers

(b) valorile proprietăților sale măsurabile au determinat în mod unic starea.

Indeterminarea cuantică poate fi caracterizată cantitativ printr-o distribuție a probabilității asupra setului de rezultate ale măsurătorilor unui observabil . Distribuția este determinată în mod unic de starea sistemului și, în plus, mecanica cuantică oferă o rețetă pentru calcularea acestei distribuții de probabilitate.

Nedeterminarea măsurătorilor nu a fost o inovație a mecanicii cuantice, deoarece a fost stabilită de la începutul experimentării că erorile de măsurare pot duce la rezultate nedeterminate. Cu toate acestea, până la sfârșitul jumătății secolului al XVIII-lea, erorile de măsurare erau bine înțelese și se știa că acestea ar putea fi fie reduse cu un echipament mai bun, fie contabilizate prin modele de erori statistice. În mecanica cuantică, totuși, nedeterminarea are o natură mult mai fundamentală, neavând nicio legătură cu erori sau perturbări.

Măsurare

O relatare adecvată a indeterminării cuantice necesită o teorie a măsurării. Multe teorii au fost propuse de la începutul mecanicii cuantice, iar măsurarea cuantică continuă să fie un domeniu activ de cercetare atât în ​​fizica teoretică, cât și în fizica experimentală. Posibil, prima încercare sistematică a unei teorii matematice a fost dezvoltată de John von Neumann . Tipurile de măsurători pe care le-a investigat sunt acum numite măsurători proiective. Această teorie s-a bazat, la rândul său, pe teoria măsurilor de proiecție pentru operatorii autoadjunși, care fusese recent dezvoltată (de von Neumann și independent de Marshall Stone ) și pe formularea Hilbert a spațiului mecanicii cuantice (atribuită de von Neumann lui Paul Dirac ).

În această formulare, starea unui sistem fizic corespunde unui vector de lungime 1 într-un spațiu Hilbert H peste numerele complexe . Un observabile este reprezentat de un autoadjunct (adică Hermitian ) operatorul A la H . Dacă H este dimensional finit , prin teorema spectrală , A are o bază ortonormală de vectori proprii . Dacă sistemul este în starea ψ, imediat după măsurare sistemul va ocupa o stare care este un vector propriu e al lui A și valoarea observată λ va fi valoarea proprie corespunzătoare a ecuației A e = λ e . Este imediat de aici că măsurarea în general va fi nedeterministă. Mai mult, mecanica cuantică oferă o rețetă pentru calcularea unei distribuții de probabilitate Pr asupra rezultatelor posibile, având în vedere că starea inițială a sistemului este ψ. Probabilitatea este

${\ displaystyle \ operatorname {Pr} (\ lambda) = \ langle \ operatorname {E} (\ lambda) \ psi \ mid \ psi \ rangle}$

unde E (λ) este proiecția către spațiul vectorilor proprii ai lui A cu valoarea proprie λ.

Exemplu

În acest exemplu, considerăm o singură particulă de centrifugare 1/2 (cum ar fi un electron) în care luăm în considerare doar gradul de centrifugare al libertății. Spațiul Hilbert corespunzător este spațiul Hilbert complex bidimensional C ² , fiecare stare cuantică corespunzând unui vector unitate în C ² (unic până la fază). În acest caz, spațiul de stare poate fi reprezentat geometric ca suprafața unei sfere, așa cum se arată în figura din dreapta.

Cele Pauli Matricele de spin

${\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$

sunt autoadjuncte și corespund măsurătorilor de rotire de-a lungul celor 3 axe de coordonate.

Matricile Pauli au toate valorile proprii +1, −1.

• Pentru σ ₁ , aceste valori proprii corespund vectorilor proprii

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (1,1), {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (1, -1)}$

• Pentru σ ₃ , acestea corespund vectorilor proprii

${\ displaystyle (1,0), (0,1) \ quad}$

Astfel în stat

${\ displaystyle \ psi = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (1,1),}$

σ ₁ are valoarea determinată +1, în timp ce măsurarea lui σ ₃ poate produce fie +1, −1 fiecare cu probabilitate 1/2. De fapt, nu există nicio stare în care măsurarea atât a σ _{1, cât} și a σ _{3 să} aibă valori determinate.

Există diverse întrebări care pot fi adresate cu privire la afirmația de nedeterminare de mai sus.

1. Poate că indeterminarea aparentă poate fi interpretată ca fiind de fapt deterministă, dar dependentă de cantități care nu sunt modelate în teoria actuală, care ar fi deci incompletă? Mai exact, există variabile ascunse care ar putea explica nedeterminarea statistică într-un mod complet clasic?
2. Poate fi înțeleasă nedeterminarea ca o perturbare a sistemului care se măsoară?

Von Neumann a formulat întrebarea 1) și a oferit un argument de ce răspunsul trebuia să fie nu, dacă cineva accepta formalismul pe care îl propunea. Cu toate acestea, potrivit lui Bell, dovada formală a lui von Neumann nu a justificat concluzia sa informală. Un răspuns definitiv, dar parțial negativ la 1) a fost stabilit prin experiment: deoarece inegalitățile lui Bell sunt încălcate, orice astfel de variabile ascunse nu pot fi locale (a se vedea experimentele de testare a lui Bell ).

Răspunsul la 2) depinde de modul în care se înțelege perturbarea, mai ales că măsurarea implică perturbarea (cu toate acestea, rețineți că acesta este efectul observator , care este distinct de principiul incertitudinii). Totuși, în interpretarea cea mai firească, răspunsul este și nu. Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare două secvențe de măsurători: (A) care măsoară exclusiv σ ₁ și (B) care măsoară doar σ ₃ dintr-un sistem de spin în starea ψ. Rezultatele măsurătorilor pentru (A) sunt toate +1, în timp ce distribuția statistică a măsurătorilor (B) este încă împărțită între +1, -1 cu probabilitate egală.

Alte exemple de nedeterminare

Indeterminarea cuantică poate fi, de asemenea, ilustrată în termeni de particule cu un impuls măsurat definitiv pentru care trebuie să existe o limită fundamentală cu privire la cât de precis poate fi specificată locația sa. Acest principiu al incertitudinii cuantice poate fi exprimat în termeni de alte variabile, de exemplu, o particulă cu o energie măsurată definitiv are o limită fundamentală la cât de precis se poate specifica cât timp va avea acea energie. Unitățile implicate în incertitudinea cuantică sunt de ordinul constantei lui Planck (definită ca fiind6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ ).

Nedeterminare și incompletitudine

Indeterminarea cuantică este afirmația că starea unui sistem nu determină o colecție unică de valori pentru toate proprietățile sale măsurabile. Într-adevăr, conform teoremei lui Kochen – Specker , în formalismul mecanic cuantic este imposibil ca, pentru o stare cuantică dată, fiecare dintre aceste proprietăți măsurabile ( observabile ) să aibă o valoare determinată (ascuțită). Valorile unui observabil vor fi obținute nedeterministic în conformitate cu o distribuție de probabilitate care este determinată în mod unic de starea sistemului. Rețineți că starea este distrusă prin măsurare, deci atunci când ne referim la o colecție de valori, fiecare valoare măsurată din această colecție trebuie obținută folosind o stare proaspăt pregătită.

Această nedeterminare ar putea fi privită ca un fel de incompletitudine esențială în descrierea noastră a unui sistem fizic. Observați totuși că nedeterminarea așa cum sa menționat mai sus se aplică numai valorilor măsurătorilor, nu stării cuantice. De exemplu, în exemplul de rotire 1/2 discutat mai sus, sistemul poate fi pregătit în starea ψ utilizând măsurarea lui σ ₁ ca un filtru care reține numai acele particule astfel încât σ _{1 să} producă +1. După postulatele von Neumann (așa-numitele), imediat după măsurare sistemul este sigur în stare ψ.

Cu toate acestea, Einstein credea că starea cuantică nu poate fi o descriere completă a unui sistem fizic și, se crede de obicei, nu a ajuns niciodată la un acord cu mecanica cuantică. De fapt, Einstein, Boris Podolsky și Nathan Rosen au arătat că, dacă mecanica cuantică este corectă, atunci viziunea clasică a modului în care funcționează lumea reală (cel puțin după relativitatea specială) nu mai este durabilă. Această viziune a inclus următoarele două idei:

1. O proprietate măsurabilă a unui sistem fizic a cărui valoare poate fi prezisă cu certitudine este de fapt un element al realității (locale) (aceasta a fost terminologia utilizată de EPR ).
2. Efectele acțiunilor locale au o viteză de propagare finită.

Acest eșec al vederii clasice a fost una dintre concluziile experimentului de gândire EPR în care doi observatori aflați la distanță , denumiți în mod obișnuit Alice și Bob , efectuează măsurători independente ale rotirii pe o pereche de electroni, pregătiți la o sursă într-un sistem special starea numită stare singlet de spin . A fost o concluzie a EPR, folosind aparatul formal al teoriei cuantice, că odată ce Alice a măsurat rotirea în direcția x , măsurarea lui Bob în direcția x a fost determinată cu certitudine, în timp ce imediat înainte de măsurarea lui Alice, rezultatul lui Bob a fost determinat doar statistic. Din aceasta rezultă că fie valoarea spinului în direcția x nu este un element al realității, fie că efectul măsurării lui Alice are o viteză infinită de propagare.

Nedeterminare pentru stări mixte

Am descris nedeterminarea unui sistem cuantic care se află în stare pură . Stările mixte sunt un tip de stare mai general obținut printr-un amestec statistic de stări pure. Pentru stările mixte, „rețeta cuantică” pentru determinarea distribuției probabilității unei măsurători este determinată după cum urmează:

Fie A un observabil al unui sistem mecanic cuantic. A este dat de un operator autoadjunct definit dens pe H . Măsura spectrală a A este o măsură evaluată-proiecție definită de condiție

${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (U) = \ int _ {U} \ lambda \, d \ operatorname {E} (\ lambda),}$

pentru fiecare Borel subset U de R . Având o stare mixtă S , introducem distribuția lui A sub S după cum urmează:

${\ displaystyle \ operatorname {D} _ {A} (U) = \ operatorname {Tr} (\ operatorname {E} _ {A} (U) S).}$

Aceasta este o măsură de probabilitate definită pe subseturi Borel ale R , care este distribuția de probabilitate obținută prin măsurarea A în S .

Independență logică și aleatoare cuantică

Indeterminarea cuantică este adesea înțeleasă ca informație (sau lipsa acesteia) a cărei existență o deducem, care apare în sisteme cuantice individuale, înainte de măsurare. Aleatoritatea cuantică este manifestarea statistică a acelei nedeterminări, martor în rezultatele experimentelor repetate de mai multe ori. Cu toate acestea, relația dintre nedeterminarea cuantică și întâmplarea este subtilă și poate fi considerată diferit.

În fizica clasică, experimentele întâmplării, cum ar fi aruncarea monedelor și aruncarea zarurilor, sunt deterministe, în sensul că o cunoaștere perfectă a condițiilor inițiale ar face rezultatele perfect previzibile. „Aleatoritatea” provine din ignoranța informațiilor fizice în aruncarea sau aruncarea inițială. În contrast diametral, în cazul fizicii cuantice , teoremele lui Kochen și Specker, inegalitățile lui John Bell și dovezile experimentale ale aspectului Alain , toate indică faptul că aleatoritatea cuantică nu provine din astfel de informații fizice .

În 2008, Tomasz Paterek și colab. a oferit o explicație în informațiile matematice . Au demonstrat că aleatoritatea cuantică este, exclusiv, rezultatul experimentelor de măsurare ale căror setări de intrare introduc independență logică în sistemele cuantice.

Independența logică este un fenomen bine cunoscut în logica matematică . Se referă la conectivitatea logică nulă care există între propozițiile matematice (în același limbaj) care nu se dovedesc și nici nu se dezacredințează reciproc.

În lucrarea lui Paterek și colab., Cercetătorii demonstrează o legătură care leagă aleatoritatea cuantică și independența logică într-un sistem formal de propoziții booleene. În experimentele de măsurare a polarizării fotonilor, Paterek și colab. demonstrează statistici care corelează rezultatele previzibile cu propozițiile matematice dependente din punct de vedere logic și rezultatele aleatorii cu propozițiile care sunt independente din punct de vedere logic.

În 2020, Steve Faulkner a raportat lucrările care au urmat constatărilor lui Tomasz Paterek și colab. arătând ce înseamnă independența logică în propozițiile booleene Paterek, în domeniul mecanicii matriciale propriu-zise. El a arătat cum apare nedeterminarea nedeterminării în operatorii de densitate evoluați care reprezintă stări mixte, în care procesele de măsurare întâmpină „istoria pierdută” ireversibilă și pătrunderea ambiguității.

Vezi si

Note

Referințe

• A. Aspect, testul inegalității lui Bell: mai ideal ca niciodată , Nature 398 189 (1999). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta , American Journal of Physics, 1947. Reeditat în Lecturi în filosofia științei, Ed. H. Feigl și M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Discută măsurarea, acuratețea și determinismul.
• JS Bell, Despre paradoxul Einstein – Poldolsky – Rosen , Physics 1 195 (1964).
• A. Einstein, B. Podolsky și N. Rosen, descrierea cuantică-mecanică a realității fizice poate fi considerată completă? Fizic. Rev. 47 777 (1935). [3]
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , WA Benjamin, 1963 (retipărire de Dover 2004).
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Retipărit sub formă de broșură. Publicat inițial în limba germană în 1932.
• R. Omnès, Înțelegerea mecanicii cuantice , Princeton University Press, 1999.

linkuri externe

• Concepții greșite comune cu privire la mecanica cuantică A se vedea în special partea III „Concepții greșite cu privire la măsurare”.