Harta echivalentă - Equivariant map

În matematică , echivarianța este o formă de simetrie pentru funcții dintr-un spațiu cu simetrie în altul (cum ar fi spații simetrice ). Se spune că o funcție este o hartă echivariantă atunci când domeniul și codomainul său sunt acționați de același grup de simetrie și când funcția face naveta cu acțiunea grupului. Adică, aplicarea unei transformări de simetrie și apoi calcularea funcției produce același rezultat ca și calcularea funcției și apoi aplicarea transformării.

Hărțile echivalente generalizează conceptul de invarianți , funcții a căror valoare este neschimbată printr-o transformare de simetrie a argumentului lor. Valoarea unei hărți echivariante este deseori (imprecisă) numită invariant.

În inferența statistică , echivarianța sub transformările statistice a datelor este o proprietate importantă a diferitelor metode de estimare; vezi estimatorul invariant pentru detalii. În matematica pură, echivarianța este un obiect central de studiu în topologia echivariantă și subtemele sale cohomologie echivariantă și teoria homotopiei stabile echivariante .

Exemple

Geometrie elementară

Centroidul unui triunghi (unde se întâlnesc cele trei segmente roșii) este echivariant sub transformări afine : centroidul unui triunghi transformat este același punct ca și transformarea centrului triunghiului.

În geometria triunghiurilor , aria și perimetrul unui triunghi sunt invariante: translatarea sau rotirea unui triunghi nu își modifică aria sau perimetrul. Cu toate acestea, centrele de triunghi , cum ar fi centroida , circumscris , ınscris și orthocenter nu sunt invariante, pentru că se deplasează un triunghi va provoca , de asemenea , centrele sale să se miște. În schimb, aceste centre sunt echivariante: aplicarea oricărei congruențe euclidiene (o combinație de translație și rotație) unui triunghi, iar apoi construirea centrului său, produce același punct ca și construirea centrului mai întâi și apoi aplicarea aceleiași congruențe la centru. Mai general, toți centrele triunghiului sunt, de asemenea, echivariante sub transformări de similaritate (combinații de translație, rotație și scalare), iar centroidul este echivariant sub transformări afine .

Aceeași funcție poate fi un invariant pentru un grup de simetrii și echivariant pentru un grup diferit de simetrii. De exemplu, sub transformări de similitudine în loc de congruențe, aria și perimetrul nu mai sunt invariante: scalarea unui triunghi își schimbă și aria și perimetrul. Cu toate acestea, aceste schimbări se întâmplă într - un mod previzibil: dacă un triunghi este scalate cu un factor de $s$ , perimetrul scalează , de asemenea , prin $e$ și scalele zonei prin $e 2$ . În acest fel, funcția care mapează fiecare triunghi la aria sau perimetrul său poate fi văzută ca echivariantă pentru o acțiune de grup multiplicativă a transformărilor de scalare pe numerele reale pozitive.

Statistici

O altă clasă de exemple simple provine din estimarea statistică . Medie a unui eșantion (un set de numere reale) este utilizat în mod obișnuit ca o tendință centrală a eșantionului. Este echivariant sub transformări liniare ale numerelor reale, deci, de exemplu, nu este afectat de alegerea unităților utilizate pentru a reprezenta numerele. În schimb, media nu este echivariantă în ceea ce privește transformările neliniare, cum ar fi exponențialele.

Mediana unui eșantion este equivariant pentru un grup mult mai mare de transformări, a (strict) funcțiile monotone ale numerelor reale. Această analiză indică faptul că mediana este mai robustă împotriva anumitor tipuri de modificări ale unui set de date și că (spre deosebire de medie) este semnificativă pentru datele ordinale .

Conceptele de estimator invariant și estimator echivarian au fost utilizate pentru a formaliza acest stil de analiză.

Teoria reprezentării

În teoria reprezentării grupurilor finite , un spațiu vector dotat cu un grup care acționează prin transformări liniare ale spațiului se numește reprezentare liniară a grupului. O hartă liniară care face naveta cu acțiunea se numește intercalator . Adică, un împletitor este doar o hartă liniară echivariantă între două reprezentări. In mod alternativ, un intertwiner pentru reprezentări ale unui grup $G$ peste un câmp $K$ este același lucru ca și un morfism modulul de $K [G]$ - module , unde $K [G]$ este inelul grup de G .

În anumite condiții, dacă X și Y sunt ambele reprezentări ireductibile , atunci există o interconectare (alta decât harta zero ) numai dacă cele două reprezentări sunt echivalente (adică sunt izomorfe ca module ). Acel împletit este apoi unic până la un factor multiplicativ (un scalar diferit de zero de la $K$ ). Aceste proprietăți se mențin atunci când imaginea lui $K [G]$ este o algebră simplă, cu centrul $K$ (prin ceea ce se numește Lema lui Schur : vezi modulul simplu ). În consecință, în cazuri importante, construcția unui împletitor este suficientă pentru a arăta că reprezentările sunt efectiv aceleași.

Formalizare

Equivariance poate fi formalizată folosind conceptul de $G$ -set pentru un grup $G$ . Acesta este un obiect matematic care constă dintr - un set matematic $S$ și o acțiune de grup (pe partea stângă) a $G$ pe $S$ . Dacă $X$ și $Y$ sunt ambele seturi $G$ pentru același grup $G$ , atunci o funcție $f : X \to Y$ se spune că este echivalentă dacă

f (g \cdot x) = g \cdot f (x)

pentru toate $g \in G$ și toți $x în X$ .

Dacă una sau ambele acțiuni sunt acțiuni corecte, condiția de echivarianță poate fi modificată corespunzător:

f (x \cdot g) = f (x) \cdot g

; (corect corect)

f (x \cdot g) = g -1 \cdot f (x)

; (dreapta stanga)

f (g \cdot x) = f (x) \cdot g -1

; (stanga dreapta)

Harta Equivariant sunt morfisme în categoria de G -Setează (pentru un fix G ). Prin urmare, ele sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de G -morfisme , G -maps sau G -homomorfisme . Izomorfisme de G -Setează sunt pur și simplu bijective hărți equivariant.

Condiția de echivarianță poate fi, de asemenea, înțeleasă ca următoarea diagramă comutativă . Rețineți că indică harta care ia un element și se întoarce . ${\ displaystyle g \ cdot}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle g \ cdot z}$

Generalizare

Hărțile echivalente pot fi generalizate la categorii arbitrare într-o manieră simplă. Fiecare grup G poate fi privit ca o categorie cu un singur obiect ( morfismele din această categorie sunt doar elementele lui G ). Dată fiind o categorie arbitrară C , o reprezentare a G în categoria C este un functor de la G la C . Un astfel de functor selectează un obiect al lui C și un subgrup de automorfisme ale acelui obiect. De exemplu, un G -set este echivalent cu un functor de la G la categoria de seturi , Set și o reprezentare liniară este echivalentă cu un functor la categoria spatiilor vectoriale peste un câmp, Vect _K .

Având în vedere două reprezentări, ρ și σ, ale lui G în C , o hartă echivariantă între aceste reprezentări este pur și simplu o transformare naturală de la ρ la σ. Folosind transformările naturale ca morfisme, se poate forma categoria tuturor reprezentărilor G în C . Acesta este doar categoria functorul C ^G .

Pentru un alt exemplu, luați C = Top , categoria spațiilor topologice . O reprezentare a lui G în Top este un spațiu topologic asupra căruia G acționează continuu . O hartă equivariant este apoi o hartă continuă f : X → Y între reprezentările care commutes cu acțiunea G .

Vezi si

Teorema Curtis – Hedlund – Lyndon , o caracterizare a automatelor celulare în termeni de hărți echivariante

Languages

In other projects