Poligon tangențial - Tangential polygon

În geometria euclidiană , un poligon tangențial , cunoscut și sub numele de poligon circumscris , este un poligon convex care conține un cerc înscris (numit și un cerc ). Acesta este un cerc care este tangent la fiecare dintre laturile poligonului. Dublu poligon al unui poligon tangențială este un poligon ciclic , care are un cerc circumscris care trece prin fiecare dintre ei noduri .

Toate triunghiurile sunt tangențiale, la fel ca toate poligoanele regulate cu orice număr de laturi. Un grup bine studiat de poligoane tangențiale sunt patrulaterele tangențiale , care includ rombii și zmeii .

Caracterizări

Un poligon convex are un cerc dacă și numai dacă toate bisectoarele sale unghiulare interne sunt concurente . Acest punct comun este stimulul (centrul cercului).

Există un poligon tangențial cu n laturi secvențiale a ₁ , ..., a _n dacă și numai dacă sistemul de ecuații

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, \ quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, \ quad \ ldots, \ quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}$

are o soluție ( x ₁ , ..., x _n ) în reali pozitivi . Dacă există o astfel de soluție, atunci x ₁ , ..., x _n sunt lungimile tangente ale poligonului (lungimile de la vârfuri la punctele în care cercul este tangent la laturi).

Unicitate și non-unicitate

Dacă numărul laturilor n este impar, atunci pentru orice set dat de lungimi laterale care îndeplinesc criteriul de existență de mai sus există un singur poligon tangențial. Dar dacă n este chiar există o infinitate din ele. De exemplu, în cazul patrulaterului în care toate laturile sunt egale putem avea un romb cu orice valoare a unghiurilor acute și toți rombii sunt tangențiali la un cerc. ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$

Inradius

Dacă n laturile unui poligon tangențial sunt un ₁ , ..., a _n , inradius ( raza de incircle) este

${\ displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {2K} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}$

unde K este aria poligonului și s este semiperimetrul . (Deoarece toate triunghiurile sunt tangențiale, această formulă se aplică tuturor triunghiurilor.)

Alte proprietăți

• Pentru un poligon tangențial cu un număr impar de laturi, toate laturile sunt egale dacă și numai dacă toate unghiurile sunt egale (deci poligonul este regulat). Un poligon tangențial cu un număr par de laturi are toate laturile egale dacă și numai dacă unghiurile alternative sunt egale (adică unghiurile A , C , E , ... sunt egale, iar unghiurile B , D , F , ... sunt egale).
• Într-un poligon tangențial cu un număr par de laturi, suma lungimilor laturilor numerelor impare este egală cu suma lungimilor laturilor numerotate pare.
• Un poligon tangențial are o zonă mai mare decât orice alt poligon cu același perimetru și aceleași unghiuri interioare în aceeași succesiune.
• Centroidul oricărui poligon tangențială, centroidul punctelor sale limită, iar centrul cercului inscris sunt coliniare , cu centrul de greutate al poligonului între altele și de două ori mai departe de ınscris ca de la centroid limita lui.

Triunghi tangențial

În timp ce toate triunghiurile sunt tangențiale unui anumit cerc, un triunghi este numit triunghiul tangențial al unui triunghi de referință dacă tangențele triunghiului tangențial cu cercul sunt, de asemenea, vârfurile triunghiului de referință.

Patrulater tangențial

Hexagon tangențial

• Într-un hexagon tangențial ABCDEF , diagonalele principale AD , BE și CF sunt concurente conform teoremei lui Brianchon .

Vezi si

• Circumgon

Referințe