Emmy Noether - Emmy Noether

Emmy Noether
Născut	Amalie Emmy Noether (1882-03-23)23 martie 1882 Erlangen , Bavaria , Imperiul German
Decedat	14 aprilie 1935 (1935-04-14)(53 de ani) Bryn Mawr, Pennsylvania , Statele Unite
Naţionalitate	limba germana
Alma Mater	Universitatea din Erlangen
Cunoscut pentru
Premii	Premiul Memorial Ackermann – Teubner (1932)
Cariera științifică
Câmpuri	Matematică și fizică
Instituții
Teză	Despre sisteme complete de invarianți pentru forme ternare biquadrate  (1907)
Consilier doctoral	Paul Gordan
Doctoranzi

Amalie Emmy Noether ( US : / n ʌ t ər / , UK : / n ɜː t ə / NUR -tər ; germană: [nøːtɐ] ; 3.douăzeci și trei.1882-4.paisprezece.1935) a fost un german matematician care a făcut multe contribuții importante la algebra abstractă . Ea a descoperit teorema lui Noether , care este fundamentală în fizica matematică . A fost descrisă de Pavel Alexandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl și Norbert Wiener ca fiind cea mai importantă femeie din istoria matematicii . Fiind una dintre cele mai importante matematicieni ai timpului ei, ea a dezvoltat câteva teorii despre inele , câmpuri și algebre . În fizică, teorema lui Noether explică legătura dintre simetrie și legile conservării .

Noether s-a născut dintr-o familie de evrei din orașul franconian Erlangen ; tatăl ei era matematicianul Max Noether . Inițial, ea a planificat să predea franceza și engleza după ce a trecut examenele necesare, dar a studiat matematică la Universitatea din Erlangen , unde a ținut tatăl ei. După ce și-a terminat doctoratul în 1907 sub supravegherea lui Paul Gordan , a lucrat la Institutul de Matematică din Erlangen fără plată timp de șapte ani. La acea vreme, femeile erau în mare parte excluse din funcțiile academice. În 1915, a fost invitată de David Hilbert și Felix Klein să se alăture departamentului de matematică de la Universitatea din Göttingen , un centru de cercetare matematică de renume mondial. Cu toate acestea, facultatea filosofică s-a opus și a petrecut patru ani ținând conferințe sub numele lui Hilbert. Abilitarea ei a fost aprobată în 1919, permițându-i să obțină gradul de Privatdozent .

Noether a rămas un membru de frunte al departamentului de matematică din Göttingen până în 1933; elevii ei erau uneori numiți „băieții Noether”. În 1924, matematicianul olandez BL van der Waerden s-a alăturat cercului său și a devenit în scurt timp expozantul principal al ideilor lui Noether; opera ei a stat la baza celui de-al doilea volum al influentei sale manuale din 1931, Moderne Algebra . La momentul discursului său plenar la Congresul internațional al matematicienilor din Zürich din 1932 , înțelegerea ei algebrică era recunoscută în întreaga lume. În anul următor, guvernul nazist german a demis evreii din funcții universitare, iar Noether s-a mutat în Statele Unite pentru a ocupa o funcție la Colegiul Bryn Mawr din Pennsylvania, unde a predat, printre altele, femei doctorale și postuniversitare, inclusiv Marie Johanna Weiss , Ruth Stauffer, Grace Shover Quinn și Olga Taussky-Toddone. În același timp, a predat și a efectuat cercetări la Institutul pentru Studii Avansate din Princeton, New Jersey .

Opera matematică a lui Noether a fost împărțită în trei „epoci”. În prima (1908-1919), ea a adus contribuții la teoriile invarianților algebrici și câmpurilor numerice . Munca ei asupra invarianților diferențiali în calculul variațiilor , teorema lui Noether , a fost numită „una dintre cele mai importante teoreme matematice dovedite vreodată în ghidarea dezvoltării fizicii moderne”. În a doua epocă (1920-1926), ea a început o lucrare care „a schimbat fața algebrei [abstracte]”. În lucrarea sa clasică din 1921 Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoria idealurilor în domeniile inelului ), Noether a dezvoltat teoria idealurilor în inelele comutative într-un instrument cu aplicații pe scară largă. Ea a folosit elegant condiția lanțului ascendent , iar obiectele care o satisfac sunt numite Noetherian în cinstea ei. În al treilea epoca (1927-1935), a publicat lucrări pe algebre necomutative și Număr Hipercomplex și unit teoria reprezentării a grupurilor cu teoria modulelor și idealuri. Pe lângă propriile publicații, Noether a fost generoasă cu ideile sale și este creditată cu mai multe linii de cercetare publicate de alți matematicieni, chiar și în domenii îndepărtate de lucrările sale principale, cum ar fi topologia algebrică .

Viata personala

Noether a crescut în orașul bavarez Erlangen , descris aici într-o carte poștală din 1916

Emmy Noether cu frații săi Alfred, Fritz și Robert, înainte de 1918

Emmy Noether s-a născut la 23 martie 1882, primul dintre cei patru copii ai matematicianului Max Noether și Ida Amalia Kaufmann, ambii din familii de negustori evrei. Prenumele ei a fost „Amalie”, după mama și bunica paternă, dar a început să-și folosească prenumele de la o vârstă fragedă și a folosit invariabil numele „Emmy Noether” în viața sa de adult și în publicațiile ei.

Noether nu s-a remarcat din punct de vedere academic, deși era cunoscută pentru că era inteligentă și prietenoasă. Ea a fost miopă și a vorbit cu o mișcare minoră în timpul copilăriei sale. Un prieten de familie a povestit ani mai târziu o poveste despre tânărul Noether rezolvând rapid un teaser de creier la o petrecere pentru copii, arătând înțelegere logică la acea vârstă fragedă. A fost învățată să gătească și să curețe, la fel ca majoritatea fetelor vremii, și a luat lecții de pian. Nu a desfășurat niciuna dintre aceste activități cu pasiune, deși îi plăcea să danseze.

A avut trei frați mai mici: cel mai mare, Alfred, s-a născut în 1883, a primit un doctorat în chimie la Erlangen în 1909, dar a murit nouă ani mai târziu. Fritz Noether , născut în 1884, este amintit pentru realizările sale academice. După ce a studiat la München, și- a făcut reputație în matematica aplicată . A fost executat în Uniunea Sovietică în 1941. Cel mai tânăr, Gustav Robert, s-a născut în 1889. Se știe foarte puțin despre viața sa; a suferit de boli cronice și a murit în 1928.

În 1935, a suferit o intervenție chirurgicală pentru un chist ovarian și, în ciuda semnelor unei recuperări, a murit patru zile mai târziu, la vârsta de 53 de ani.

Viața și educația universitară

Paul Gordan a supravegheat disertația de doctorat a lui Noether privind invarianții formelor biquadratic.

Noether a arătat o competență timpurie în franceză și engleză. În primăvara anului 1900, a susținut examenul pentru profesorii de aceste limbi și a primit un scor general de sehr gut (foarte bun). Performanța ei a calificat-o să predea limbi străine la școlile rezervate fetelor, dar a ales să își continue studiile la Universitatea din Erlangen .

Aceasta a fost o decizie neconvențională; cu doi ani mai devreme, Senatul Academic al universității declarase că permisiunea educației mixte va „răsturna orice ordine academică”. Una dintre cele două femei dintr-o universitate formată din 986 de studenți, lui Noether i s-a permis doar să auditeze cursurile, mai degrabă decât să participe pe deplin, și a solicitat permisiunea profesorilor individuali la cursurile cărora dorea să participe. În ciuda acestor obstacole, la 14 iulie 1903 a promovat examenul de absolvire la un Realgymnasium din Nürnberg .

În semestrul de iarnă 1903–1904, a studiat la Universitatea din Göttingen , urmând prelegeri susținute de astronomul Karl Schwarzschild și de matematicienii Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein și David Hilbert . Curând după aceea, restricțiile privind participarea femeilor la universitatea respectivă au fost anulate.

Noether s-a întors la Erlangen. A reintrat oficial în universitate în octombrie 1904 și și-a declarat intenția de a se concentra exclusiv pe matematică. Sub supravegherea lui Paul Gordan, ea și-a scris disertația, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( Despre sistemele complete de invarianți pentru formele bichadratice ternare , 1907). Gordan a fost membru al școlii „computaționale” de cercetători invarianți, iar teza lui Noether s-a încheiat cu o listă de peste 300 de invarianți elaborate în mod explicit. Această abordare a invarianților a fost ulterior înlocuită de abordarea mai abstractă și generală inițiată de Hilbert. Deși a fost bine primită, Noether a descris ulterior teza ei și o serie de lucrări similare ulterioare pe care le-a produs ca „porcărie”.

Perioada de predare

Universitatea din Erlangen

În următorii șapte ani (1908–1915) a predat la Institutul de Matematică al Universității din Erlangen, fără plată, înlocuindu-l ocazional pe tatăl ei când era prea bolnav pentru a preda. În 1910 și 1911 a publicat o extensie a lucrării sale de teză de la trei variabile la n variabile.

Noether a folosit uneori cărți poștale pentru a discuta algebra abstractă cu colegul ei, Ernst Fischer . Acest card are ștampila poștală la 10 aprilie 1915.

Gordan s-a retras în primăvara anului 1910, dar a continuat să predea ocazional cu succesorul său, Erhard Schmidt , care a plecat la scurt timp după aceea pentru un post la Breslau . Gordan s-a retras complet din predare în 1911, când a sosit succesorul lui Schmidt, Ernst Fischer ; Gordan a murit un an mai târziu, în decembrie 1912.

Potrivit lui Hermann Weyl , Fischer a avut o influență importantă asupra lui Noether, în special prin introducerea ei în opera lui David Hilbert . Din 1913-1916 Noether a publicat mai multe lucrări de extindere și aplicarea de metode Hilbert a obiectelor matematice , cum ar fi câmpurile de funcții raționale și invariantii ale grupurilor finite . Această fază marchează începutul angajamentului ei cu algebra abstractă , domeniul matematicii la care ar aduce contribuții inovatoare.

Noether și Fischer împărtășeau o plăcere plină de viață a matematicii și adesea discutau prelegeri mult timp după terminarea lor; Se știe că Noether a trimis cărți poștale lui Fischer continuându-și trenul de gânduri matematice.

Universitatea din Göttingen

În primăvara anului 1915, Noether a fost invitat să se întoarcă la Universitatea din Göttingen de David Hilbert și Felix Klein . Efortul lor de a o recruta a fost însă blocat de filologi și istorici din cadrul facultății filosofice: femeile, au insistat, nu ar trebui să devină privatdozenten . Un membru al facultății a protestat: „ Ce vor crede soldații noștri când se vor întoarce la universitate și vor constata că li se cere să învețe la picioarele unei femei? ” Hilbert a răspuns cu indignare, afirmând: „ Nu văd că sexul candidata este un argument împotriva admiterii ei ca privatdozent. La urma urmei, noi suntem o universitate, nu o casă de baie. "

În 1915 David Hilbert l-a invitat pe Noether să se alăture departamentului de matematică din Göttingen, provocând punctele de vedere ale unora dintre colegii săi conform cărora o femeie nu ar trebui să aibă voie să predea la o universitate.

Noether a plecat la Göttingen la sfârșitul lunii aprilie; două săptămâni mai târziu, mama ei a murit brusc în Erlangen. Ea a primit anterior asistență medicală pentru o afecțiune a ochilor, dar natura și impactul acesteia asupra morții sale nu sunt cunoscute. Cam în același timp, tatăl lui Noether s-a retras, iar fratele ei s-a alăturat armatei germane pentru a sluji în primul război mondial . S-a întors la Erlangen câteva săptămâni, mai ales pentru a-și îngriji tatăl în vârstă.

În primii ani de predare la Göttingen, ea nu a avut o funcție oficială și nu a fost plătită; familia ei și-a plătit camera și masa și i-au susținut munca academică. Prelegerile ei erau deseori publicitate sub numele lui Hilbert, iar Noether ar oferi „asistență”.

La scurt timp după ce a ajuns la Göttingen, ea și-a demonstrat capacitățile dovedind teorema cunoscută acum sub numele de teorema lui Noether , care arată că o lege a conservării este asociată cu orice simetrie diferențiată a unui sistem fizic . Lucrarea a fost prezentată de un coleg, F. Klein, la 26 iulie 1918, la o întâlnire a Societății Regale de Științe de la Göttingen. Se presupune că Noether nu a prezentat-o ​​ea însăși pentru că nu era membru al societății. Fizicienii americani Leon M. Lederman și Christopher T. Hill susțin în cartea lor Symmetry and the Beautiful Universe că teorema lui Noether este „cu siguranță una dintre cele mai importante teoreme matematice dovedite vreodată în ghidarea dezvoltării fizicii moderne , posibil la egalitate cu cea pitagorică teorema ".

Departamentul de matematică de la Universitatea din Göttingen a permis abilitarea lui Noether în 1919, la patru ani după ce începuse să predea la școală.

Când s-a încheiat Primul Război Mondial, Revoluția Germană din 1918-1919 a adus o schimbare semnificativă a atitudinilor sociale, inclusiv mai multe drepturi pentru femei. În 1919, Universitatea din Göttingen i-a permis lui Noether să continue procesul de abilitare (eligibilitate pentru funcție). Examenul ei oral a avut loc la sfârșitul lunii mai și a susținut cu succes conferința de abilitare în iunie 1919.

Trei ani mai târziu, a primit o scrisoare de la Otto Boelitz  [ de ] , ministrul prusac pentru știință, artă și educație publică, în care îi conferea titlul de nicht beamteter ausserordentlicher Professor (un profesor neasigurat cu drepturi și funcții administrative interne limitate ). Acesta a fost un profesor „extraordinar” neremunerat , nu cel superior „obișnuit”, care era o funcție publică. Deși a recunoscut importanța muncii ei, funcția nu oferea încă salariu. Noether nu a fost plătită pentru prelegerile sale până nu a fost numită în funcția specială de Lehrbeauftragte für Algebra un an mai târziu.

Lucrați în algebră abstractă

Deși teorema lui Noether a avut un efect semnificativ asupra mecanicii clasice și cuantice, printre matematicieni este cel mai bine amintită pentru contribuțiile sale la algebra abstractă . În introducerea sa la Noether's Collected Papers , Nathan Jacobson a scris asta

Dezvoltarea algebrei abstracte, care este una dintre cele mai distinctive inovații ale matematicii secolului al XX-lea, se datorează în mare măsură ei - în lucrări publicate, în prelegeri și în influența personală asupra contemporanilor ei.

Uneori le-a permis colegilor și studenților să primească credit pentru ideile ei, ajutându-i să-și dezvolte cariera în detrimentul propriei ei.

Lucrarea lui Noether în algebră a început în 1920. În colaborare cu W. Schmeidler, ea a publicat apoi o lucrare despre teoria idealurilor în care aceștia defineau idealurile stânga și dreapta într-un inel .

Anul următor a publicat o lucrare numită Idealtheorie în Ringbereichen , analizând condițiile ascendente ale lanțului în ceea ce privește idealurile (matematice) . Renumitul algebraist Irving Kaplansky a numit această lucrare „revoluționară”; publicația a dat naștere termenului „ inel noetherian ” și denumirea mai multor alte obiecte matematice ca noetherian .

În 1924, un tânăr matematician olandez, BL van der Waerden , a sosit la Universitatea din Göttingen. A început imediat să colaboreze cu Noether, care a oferit metode neprețuite de conceptualizare abstractă. Van der Waerden a spus mai târziu că originalitatea ei era „absolută fără comparație”. În 1931 a publicat Moderne Algebra , un text central în domeniu; al doilea volum al acestuia a fost împrumutat mult din opera lui Noether. Deși Noether nu a căutat recunoaștere, el a inclus ca notă în ediția a șaptea „bazată parțial pe prelegeri de E. Artin și E. Noether”.

Vizita lui Van der Waerden a făcut parte dintr-o convergență a matematicienilor din întreaga lume către Göttingen, care a devenit un centru major al cercetării matematice și fizice. Din 1926 până în 1930, topologul rus Pavel Alexandrov a predat la universitate, iar el și Noether au devenit rapid prieteni buni. El a început să se refere la ea drept der Noether , folosind articolul masculin german ca termen de îndrăgire pentru a-și arăta respectul. Ea a încercat să-i aranjeze să obțină un post la Göttingen ca profesor obișnuit, dar a reușit doar să-l ajute să obțină o bursă de la Fundația Rockefeller . S-au întâlnit în mod regulat și s-au bucurat de discuții despre intersecțiile dintre algebră și topologie. În discursul memorialistic din 1935, Alexandrov l-a numit pe Emmy Noether „cea mai mare femeie matematiciană din toate timpurile”.

Studenți absolvenți și prelegeri influente

În plus față de înțelegerea ei matematică, Noether a fost respectată pentru considerarea ei față de ceilalți. Deși uneori a acționat grosolan față de cei care nu erau de acord cu ea, ea a câștigat totuși o reputație de ajutorare constantă și îndrumare pacientă a noilor studenți. Loialitatea ei față de precizia matematică a determinat-o pe o colegă să o numească „o critică severă”, dar a combinat această cerere de acuratețe cu o atitudine nutritivă. Ulterior, un coleg a descris-o astfel:

Complet negotistică și lipsită de vanitate, ea nu a pretins niciodată nimic pentru ea însăși, ci a promovat mai ales lucrările studenților ei.

Göttingen

Noether c. 1930

În Göttingen, Noether a supravegheat mai mult de o duzină de doctoranzi; prima ei a fost Grete Hermann , care și-a apărat disertația în februarie 1925. Mai târziu a vorbit cu venerație despre „mama ei de disertație”. Noether l-a supravegheat și pe Max Deuring , care s-a remarcat ca student și a continuat să contribuie la domeniul geometriei aritmetice ; Hans Fitting , amintit pentru teorema lui Fitting și lema Fitting ; și Zeng Jiongzhi (redat și „Chiungtze C. Tsen” în engleză), care a dovedit teorema lui Tsen . De asemenea, a lucrat îndeaproape cu Wolfgang Krull , care a avansat foarte mult algebra comutativă cu Hauptidealsatz și teoria sa a dimensiunii pentru inele comutative.

Stilul ei de viață frugal la început se datora că i se refuza plata pentru munca ei; cu toate acestea, chiar și după ce universitatea a început să-i plătească un mic salariu în 1923, ea a continuat să ducă o viață simplă și modestă. A fost plătită mai generos mai târziu în viață, dar a economisit jumătate din salariu pentru a lăsa moștenire nepotului ei, Gottfried E. Noether .

Biografii sugerează că nu a fost preocupată în mare parte de aspect și de maniere, concentrându-se asupra studiilor sale. O distinsă algebră Olga Taussky-Todd a descris un prânz în timpul căruia Noether, cu totul absorbit într-o discuție despre matematică, a „gesticulat sălbatic” în timp ce mânca și „își varsă mâncarea constant și o ștergea de pe rochie, complet neperturbată”. Studenții conștienți de aparență s-au înghesuit în timp ce își prelua batista de pe bluză și au ignorat dezordinea crescândă a părului în timpul unei prelegeri. Două elevi s-au apropiat odată de ea în timpul unei pauze într-o oră de două ore pentru a-și exprima îngrijorarea, dar nu au reușit să rupă discuția matematică energică pe care o purta cu alți elevi.

Conform necrologului lui Van der Waerden despre Emmy Noether, ea nu a urmat un plan de lecție pentru prelegerile sale, ceea ce a frustrat unii studenți. În schimb, ea și-a folosit prelegerile ca timp de discuție spontană cu studenții săi, pentru a gândi și a clarifica problemele importante din matematică. Unele dintre cele mai importante rezultate ale ei au fost dezvoltate în aceste prelegeri, iar notele de curs ale studenților ei au stat la baza mai multor manuale importante, precum cele ale lui van der Waerden și Deuring.

Mai mulți dintre colegii ei au participat la prelegerile ei și a permis ca unele dintre ideile ei, cum ar fi produsul încrucișat ( verschränktes Produkt în germană) ale algebrelor asociative, să fie publicate de alții. Noether a fost înregistrat ca având cel puțin cinci cursuri semestriale la Göttingen:

• Iarna 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [ Numerele teorii și hipercomplexe ale grupului ]
• Iarna 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [ Cantități hipercomplexe și teoria reprezentării ]
• Vara 1928: Nichtkommutative Algebra [ Algebra necomutativă ]
• Vara anului 1929: Nichtkommutative Arithmetik [ Aritmetică necomutativă ]
• Iarna 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [ Algebra cantităților hipercomplexe ]

Aceste cursuri au precedat adesea publicații majore pe aceleași subiecte.

Noether a vorbit repede - reflectând viteza gândurilor sale, au spus mulți - și a cerut o mare concentrare de la studenții ei. Elevii cărora nu le plăcea stilul ei se simțeau adesea înstrăinați. Unii elevi au considerat că s-a bazat prea mult pe discuții spontane. Cei mai dedicați studenți ai săi, însă, au savurat entuziasmul cu care a abordat matematica, mai ales că prelegerile ei s-au bazat adesea pe munca anterioară pe care o făcuseră împreună.

Ea a dezvoltat un cerc strâns de colegi și studenți care au gândit pe linii similare și au avut tendința de a-i exclude pe cei care nu. „Străinii” care vizitau ocazional prelegerile lui Noether petreceau de obicei doar 30 de minute în cameră înainte de a pleca frustrat sau confuz. Un student obișnuit a spus despre o astfel de situație: "Inamicul a fost învins; el a curățat".

Noether a arătat o devotament față de subiectul ei și studenții ei care s-a extins dincolo de ziua academică. Odată, când clădirea a fost închisă pentru o sărbătoare de stat, ea a adunat cursul pe treptele de afară, i-a condus prin pădure și a ținut o conferință la o cafenea locală. Mai târziu, după ce a fost demisă de cel de-al Treilea Reich , a invitat studenții în casa ei pentru a discuta despre planurile lor de viitor și despre conceptele matematice.

Moscova

Pavel Alexandrov

În iarna 1928-1929, Noether a acceptat o invitație la Universitatea de Stat din Moscova , unde a continuat să lucreze cu PS Alexandrov . Pe lângă continuarea cercetărilor, a predat cursuri de algebră abstractă și geometrie algebrică . A lucrat cu topologii Lev Pontryagin și Nikolai Chebotaryov , care ulterior au lăudat contribuțiile sale la dezvoltarea teoriei lui Galois .

Noether a predat la Universitatea de Stat din Moscova în timpul iernii 1928-1929.

Deși politica nu era esențială pentru viața ei, Noether a fost foarte interesată de problemele politice și, potrivit lui Alexandrov, a arătat un sprijin considerabil pentru Revoluția Rusă . A fost deosebit de fericită să vadă progresele sovietice în domeniile științei și matematicii, pe care le-a considerat indicative ale noilor oportunități făcute posibile de proiectul bolșevic . Această atitudine i-a provocat probleme în Germania, culminând cu evacuarea ei dintr-o clădire de pensiuni , după ce liderii studenți s-au plâns că locuiesc cu „o evreică cu tendință marxistă”.

Noether a planificat să se întoarcă la Moscova, efort pentru care a primit sprijin de la Alexandrov. După ce a părăsit Germania în 1933, el a încercat să o ajute să obțină o catedră la Universitatea de Stat din Moscova prin Ministerul Educației Sovietice . Deși acest efort s-a dovedit nereușit, acestea au corespondat frecvent în anii 1930, iar în 1935 a făcut planuri pentru o întoarcere în Uniunea Sovietică. Între timp, fratele ei Fritz a acceptat o funcție la Institutul de cercetare pentru matematică și mecanică din Tomsk , în districtul federal siberian al Rusiei, după ce și-a pierdut slujba în Germania și a fost apoi executat în timpul Marii epurări .

Recunoaştere

În 1932 Emmy Noether și Emil Artin au primit Premiul Memorial Ackermann – Teubner pentru contribuțiile lor la matematică. Premiul a inclus o recompensă monetară de 500 de  Reichsmarks și a fost văzut ca o recunoaștere oficială demult așteptată a muncii sale considerabile în domeniu. Cu toate acestea, colegii ei și-au exprimat frustrarea față de faptul că nu a fost aleasă la Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (academia de științe) și nu a fost niciodată promovată în funcția de profesor ordentlicher ( profesor titular ).

Noether a vizitat Zürich în 1932 pentru a ține o adresă în plen la Congresul internațional al matematicienilor .

Colegii lui Noether au sărbătorit cea de-a cincizecea aniversare a ei în 1932, în stilul tipic al matematicienilor. Helmut Hasse i-a dedicat un articol în Mathematische Annalen , în care îi confirma suspiciunea că unele aspecte ale algebrei necomutative sunt mai simple decât cele ale algebrei comutative , dovedind o lege a reciprocității necomutative . Acest lucru o mulțumi enorm. De asemenea, el i-a trimis o enigmă matematică, pe care a numit-o „m _μν -enigma silabelor”. Ea a rezolvat-o imediat, dar ghicitoarea s-a pierdut.

În septembrie al aceluiași an, Noether a ținut o adresă plenară ( großer Vortrag ) despre „Sistemele hipercomplexe în relațiile lor cu algebra comutativă și cu teoria numerelor” la Congresul internațional al matematicienilor de la Zürich . La congres au participat 800 de persoane, inclusiv colegii lui Noether, Hermann Weyl , Edmund Landau și Wolfgang Krull . Au fost 420 de participanți oficiali și douăzeci și una de adrese plenare prezentate. Aparent, poziția de vorbire proeminentă a lui Noether a fost o recunoaștere a importanței contribuțiilor ei la matematică. Congresul din 1932 este uneori descris ca punctul culminant al carierei sale.

Expulzarea din Göttingen de către al treilea Reich

Când Adolf Hitler a devenit Reichskanzler german în ianuarie 1933, activitatea nazistă din țară a crescut dramatic. La Universitatea din Göttingen, Asociația Studențească Germană a condus atacul asupra „spiritului ne-german” atribuit evreilor și a fost ajutată de un privatdozent pe nume Werner Weber , fost student al lui Noether. Atitudinile antisemite au creat un climat ostil profesorilor evrei. Un tânăr protestatar ar fi cerut: „Studenții arieni vor matematică ariană și nu matematică evreiască”.

Una dintre primele acțiuni ale administrației lui Hitler a fost Legea pentru restabilirea serviciului public profesionist, care i-a îndepărtat pe evrei și îi suspectează din punct de vedere politic pe angajații guvernamentali (inclusiv profesori universitari) de la slujba lor, cu excepția cazului în care „și-au demonstrat loialitatea față de Germania” servind în Războiul Mondial. I. În aprilie 1933, Noether a primit o notificare de la Ministerul Prusian pentru Științe, Artă și Educație Publică, care scria: „Pe baza paragrafului 3 din Codul Funcției Publice din 7 aprilie 1933, retrag de la dvs. dreptul de a preda la Universitatea din Göttingen. " Câțiva dintre colegii lui Noether, inclusiv Max Born și Richard Courant , și-au revocat pozițiile.

Noether a acceptat decizia cu calm, oferind sprijin celorlalți în acest moment dificil. Hermann Weyl a scris mai târziu că „Emmy Noether - curajul ei, sinceritatea ei, lipsa de grijă față de propria soartă, spiritul ei conciliant - era în mijlocul tuturor urii și răutății, disperării și tristeții care ne înconjurau, o consolare morală”. De obicei, Noether a rămas concentrată pe matematică, adunând elevi în apartamentul ei pentru a discuta teoria câmpului de clasă . Când unul dintre studenții ei a apărut în uniforma organizației paramilitare naziste Sturmabteilung (SA), nu a dat niciun semn de agitație și, după cum se spune, ar fi râs chiar mai târziu. Totuși, aceasta s-a întâmplat înainte de evenimentele sângeroase de la Kristallnacht din 1938 și de laudele lor din partea ministrului propagandei Joseph Goebbels .

Refugiu la Bryn Mawr și Princeton, în Statele Unite

Colegiul Bryn Mawr a oferit lui Noether o casă primitoare în ultimii doi ani de viață.

În timp ce zeci de profesori nou-șomeri au început să caute posturi în afara Germaniei, colegii lor din Statele Unite au căutat să le ofere asistență și oportunități de muncă. Albert Einstein și Hermann Weyl au fost numiți de Institutul pentru Studii Avansate din Princeton , în timp ce alții au lucrat pentru a găsi un sponsor necesar imigrației legale . Noether a fost contactat de reprezentanții a două instituții de învățământ: Bryn Mawr College , în Statele Unite, și Somerville College de la Universitatea din Oxford , în Anglia. După o serie de negocieri cu Fundația Rockefeller , pentru Noether a fost aprobată o subvenție acordată lui Bryn Mawr și a luat o poziție acolo, începând cu sfârșitul anului 1933.

La Bryn Mawr, Noether s-a întâlnit și s-a împrietenit cu Anna Wheeler , care studiase la Göttingen chiar înainte ca Noether să ajungă acolo. O altă sursă de sprijin la colegiu a fost președintele lui Bryn Mawr, Marion Edwards Park , care a invitat cu entuziasm matematicienii din zonă să „îl vadă pe Dr. Noether în acțiune!” Noether și o mică echipă de studenți au lucrat rapid prin van der Waerden a lui 1930 carte Moderne Algebra I și părți ale Erich Hecke 's Theorie der algebraischen Zahlen ( teoria numerelor algebrice ).

În 1934, Noether a început să țină cursuri la Institutul de Studii Avansate din Princeton la invitația lui Abraham Flexner și Oswald Veblen . De asemenea, a lucrat cu și l-a supravegheat pe Abraham Albert și Harry Vandiver . Cu toate acestea, ea a remarcat despre Universitatea Princeton că nu a fost binevenită la „universitatea masculină, unde nu este admisă nimic feminin”.

Timpul ei în Statele Unite a fost plăcut, înconjurat de colegi de susținere și absorbit de subiecții ei preferați. În vara anului 1934, ea s-a întors pe scurt în Germania pentru a-i vedea pe Emil Artin și fratele ei Fritz înainte ca acesta să plece la Tomsk. Deși mulți dintre foștii ei colegi au fost forțați să iasă din universități, ea a reușit să folosească biblioteca ca „cărturar străin”. Fără incident, Noether s-a întors în Statele Unite și a studiat la Bryn Mawr.

Moarte

Cenușa lui Noether a fost plasată sub pasarela care înconjura cloistele Bibliotecii M. Carey Thomas a lui Bryn Mawr .

În aprilie 1935, medicii au descoperit o tumoare în pelvisul lui Noether . Îngrijorați de complicațiile din operație, au comandat mai întâi două zile de odihnă la pat. În timpul operației au descoperit un chist ovarian „de mărimea unui cantalup mare ”. Două tumori mai mici din uter au părut a fi benigne și nu au fost îndepărtate, pentru a evita prelungirea intervenției chirurgicale. Timp de trei zile, ea a părut să convalescă normal și, în cea de-a patra , și-a revenit rapid dintr-un colaps circulator . La 14 aprilie a căzut inconștientă, temperatura a crescut până la 109,8 F (42,8 ° C) și a murit. „[Nu] este ușor de spus ce sa întâmplat la Dr. Noether”, a scris unul dintre medici. „Este posibil să fi existat o formă de infecție neobișnuită și virulentă, care a lovit baza creierului unde se presupune că ar fi centrele de căldură”.

La câteva zile după moartea lui Noether, prietenii și asociații ei de la Bryn Mawr au ținut o mică slujbă de pomenire la casa președintelui College Park Park. Hermann Weyl și Richard Brauer au călătorit de la Princeton și au vorbit cu Wheeler și Taussky despre colegul lor plecat. În lunile care au urmat, au început să apară omagii scrise în întreaga lume: Albert Einstein s-a alăturat lui van der Waerden, Weyl și Pavel Alexandrov pentru a-și aduce omagiul . Corpul ei a fost incinerat și cenușa a fost înmormântată sub pasarela din jurul claustrelor Bibliotecii M. Carey Thomas de la Bryn Mawr.

Contribuții la matematică și fizică

Lucrarea lui Noether în algebră abstractă și topologie a fost influentă în matematică, în timp ce în fizică, teorema lui Noether are consecințe pentru fizica teoretică și sistemele dinamice . Ea a arătat o înclinație acută pentru gândirea abstractă, care i-a permis să abordeze problemele matematicii în moduri noi și originale. Prietenul și colegul ei Hermann Weyl a descris rezultatul ei științific în trei epoci:

Producția științifică a lui Emmy Noether a căzut în trei epoci clar distincte:

(1) perioada de dependență relativă, 1907-1919

(2) investigațiile grupate în jurul teoriei generale a idealurilor 1920–1926

(3) studiul algebrelor necomutative, reprezentările lor prin transformări liniare și aplicarea lor la studiul câmpurilor numerice comutative și aritmetica lor

-  Weyl 1935

În prima epocă (1907-1919), Noether s-a ocupat în primul rând de invarianții diferențiali și algebrici , începând cu disertația ei sub Paul Gordan . Orizonturile ei matematice s-au extins, iar opera sa a devenit mai generală și abstractă, pe măsură ce a făcut cunoștință cu opera lui David Hilbert , prin interacțiuni strânse cu un succesor al lui Gordan, Ernst Sigismund Fischer . După ce s-a mutat la Göttingen în 1915, ea și-a produs lucrarea pentru fizică, cele două teoreme ale lui Noether .

În a doua epocă (1920-1926), Noether s-a dedicat dezvoltării teoriei inelelor matematice .

În a treia epocă (1927-1935), Noether s-a concentrat pe algebră necomutativă , transformări liniare și câmpuri numerice comutative.

Deși rezultatele primei epoci ale lui Noether au fost impresionante și utile, faima ei în rândul matematicienilor se bazează mai mult pe munca inovatoare pe care a făcut-o în a doua și a treia epocă, așa cum au remarcat Hermann Weyl și BL van der Waerden în necrologiile lor.

În aceste epoci, ea nu pur și simplu aplica ideile și metodele matematicienilor anteriori; mai degrabă, ea a creat noi sisteme de definiții matematice care ar fi utilizate de viitorii matematicieni. În special, ea a dezvoltat o teorie complet nouă a idealurilor în inele , generalizând lucrările anterioare ale lui Richard Dedekind . De asemenea, este renumită pentru dezvoltarea unor condiții ascendente ale lanțului, o condiție simplă de finitudine care a dat rezultate puternice în mâinile ei. Astfel de condiții și teoria idealurilor au permis Noether să generalizeze multe rezultate mai vechi și să trateze problemele vechi dintr-o nouă perspectivă, cum ar fi teoria eliminării și soiurile algebrice care fuseseră studiate de tatăl ei.

Context istoric

În secolul 1832 până la moartea lui Noether în 1935, domeniul matematicii - în special algebra - a suferit o revoluție profundă, ale cărei reverberații sunt încă resimțite. Matematicienii secolelor anterioare au lucrat la metode practice pentru rezolvarea unor tipuri specifice de ecuații, de exemplu, ecuații cubice , quartice și chintice , precum și la problema conexă a construirii poligoanelor regulate folosind busola și linia . Începând cu dovada lui Carl Friedrich Gauss din 1832 că numerele prime precum cinci pot fi luate în considerare în numerele întregi gaussiene , introducerea grupurilor de permutare a lui Évariste Galois în 1832 (deși, din cauza morții sale, lucrările sale au fost publicate abia în 1846, de Liouville ), Descoperirea cuaternionilor de William Rowan Hamilton în 1843 și definiția mai modernă a grupurilor de Arthur Cayley în 1854, cercetările s-au îndreptat spre determinarea proprietăților sistemelor tot mai abstracte definite de reguli din ce în ce mai universale. Cele mai importante contribuții ale lui Noether la matematică au fost la dezvoltarea acestui nou câmp, algebra abstractă .

Context despre algebra abstractă și begriffliche Mathematik (matematică conceptuală)

Două dintre cele mai de bază obiecte din algebra abstractă sunt grupurile și inelele .

Un grup constă dintr-un set de elemente și o singură operație care combină un prim și un al doilea element și returnează un al treilea. Operația trebuie să îndeplinească anumite constrângeri pentru ca aceasta să determine un grup: trebuie să fie închisă (atunci când este aplicată oricărei perechi de elemente ale setului asociat, elementul generat trebuie să fie și membru al acelui set), trebuie să fie asociativ , trebuie să fie să fie un element de identitate (un element care, atunci când este combinat cu un alt element folosind operația, are ca rezultat elementul original, cum ar fi adăugarea zero la un număr sau înmulțirea acestuia cu unul) și pentru fiecare element trebuie să existe un element invers .

Un inel are, de asemenea, un set de elemente, dar acum are două operații. Prima operație trebuie să facă setul un grup comutativ , iar a doua operație este asociativă și distributivă față de prima operație. Poate fi sau nu comutativ ; aceasta înseamnă că rezultatul aplicării operațiunii la un prim și un al doilea element este același ca la al doilea și primul - ordinea elementelor nu contează. Dacă fiecare element diferit de zero are un invers multiplicativ (un element x astfel încât a x  =  x a  = 1), inelul se numește inel de divizare . Un câmp este definit ca un inel divizional comutativ.

Grupurile sunt frecvent studiate prin reprezentări de grup . În forma lor cea mai generală, acestea constau dintr-o alegere de grup, un set și o acțiune a grupului pe set, adică o operație care ia un element al grupului și un element al setului și returnează un element de decorul. Cel mai adesea, mulțimea este un spațiu vector , iar grupul reprezintă simetriile spațiului vector. De exemplu, există un grup care reprezintă rotațiile rigide ale spațiului. Acesta este un tip de simetrie a spațiului, deoarece spațiul în sine nu se schimbă atunci când este rotit, chiar dacă pozițiile obiectelor din el se schimbă. Noether a folosit aceste tipuri de simetrii în lucrarea sa despre invarianții din fizică.

Un mod puternic de a studia inelele este prin modulele lor . Un modul constă dintr-o alegere de inel, un alt set, de obicei distinct de setul de bază al inelului și numit setul de bază al modulului, o operație pe perechi de elemente ale setului de bază al modulului și o operație care ia o element al inelului și un element al modulului și returnează un element al modulului.

Setul de bază al modulului și funcționarea acestuia trebuie să formeze un grup. Un modul este o versiune teoretică a inelului a unei reprezentări de grup: Ignorarea celei de-a doua operații de inel și operația pe perechi de elemente ale modulului determină o reprezentare de grup. Utilitatea reală a modulelor este că tipurile de module care există și interacțiunile lor, dezvăluie structura inelului în moduri care nu sunt evidente din inelul în sine. Un caz special important al acestui lucru este algebra . (Cuvântul algebră înseamnă atât un subiect din matematică, cât și un obiect studiat în subiectul algebrei.) O algebră constă dintr-o alegere de două inele și o operație care ia un element din fiecare inel și returnează un element al celui de-al doilea inel. . Această operațiune face ca cel de-al doilea inel să devină un modul peste primul. Deseori primul inel este un câmp.

Cuvinte precum „element” și „operație de combinare” sunt foarte generale și pot fi aplicate multor situații reale și abstracte. Orice set de lucruri care respectă toate regulile pentru una (sau două) operațiuni este, prin definiție, un grup (sau inel) și respectă toate teoremele despre grupuri (sau inele). Numerele întregi și operațiile de adunare și multiplicare sunt doar un exemplu. De exemplu, elementele pot fi cuvinte de date de calculator , unde prima operație de combinare este exclusivă sau iar a doua este conjuncție logică . Teoremele algebrei abstracte sunt puternice deoarece sunt generale; guvernează multe sisteme. S-ar putea imagina că s-ar putea concluziona puțin despre obiectele definite cu atât de puține proprietăți, dar tocmai în acestea se află darul lui Noether pentru a descoperi maximul care ar putea fi concluzionat dintr-un set dat de proprietăți sau, invers, pentru a identifica setul minim, proprietățile esențiale. responsabil pentru o anumită observație. Spre deosebire de majoritatea matematicienilor, ea nu a făcut abstracții generalizând din exemple cunoscute; mai degrabă, a lucrat direct cu abstracțiile. În necrologul lui Noether, elevul ei van der Waerden și-a amintit asta

Maxima după care Emmy Noether a fost ghidată de-a lungul lucrării sale ar putea fi formulată după cum urmează: „ Orice relații între numere, funcții și operații devin transparente, în general aplicabile și pe deplin productive numai după ce au fost izolate de obiectele lor particulare și au fost formulate ca concepte universal valabile. "

Aceasta este begriffliche Mathematik ( matematică pur conceptuală) care era caracteristică lui Noether. Acest stil de matematică a fost în consecință adoptat de alți matematicieni, în special în domeniul (pe atunci nou) al algebrei abstracte.

Exemplu: Numere întregi ca inel

De întregi formează un inel comutativ ale cărui elemente sunt numere întregi, iar operațiile la combinare sunt și adăugarea de multiplicare. Orice pereche de numere întregi poate fi adăugată sau înmulțită , rezultând întotdeauna un alt număr întreg, iar prima operație, adunare, este comutativă , adică pentru orice elemente a și b din inel, a  +  b  =  b  +  a . A doua operație, multiplicarea, este, de asemenea, comutativă, dar aceasta nu trebuie să fie adevărată pentru alte inele, ceea ce înseamnă că a combinat cu b ar putea fi diferit de b combinat cu a . Exemple de inele necomutative includ matrici și cuaterniuni . Numerele întregi nu formează un inel de divizare, deoarece a doua operație nu poate fi întotdeauna inversată; nu există nici un număr întreg o astfel încât 3 x  a  = 1.

Numerele întregi au proprietăți suplimentare care nu se generalizează la toate inelele comutative. Un exemplu important este teorema fundamentală a aritmeticii , care spune că fiecare număr întreg pozitiv poate fi luat în considerare în mod unic în numere prime . Factorizările unice nu există întotdeauna în alte inele, dar Noether a găsit o teoremă de factorizare unică, numită acum teorema Lasker – Noether , pentru idealurile multor inele. O mare parte din munca lui Noether consta în a stabili ce proprietăți fac rost pentru toate inelele, în conceperea analogi noi ai teoremelor întregi vechi, și în determinarea setului minim de ipoteze necesare pentru a produce anumite proprietăți ale inelelor.

Prima epocă (1908-1919): teoria invariantă algebrică

Tabelul 2 din disertația lui Noether despre teoria invariantă. Acest tabel colectează 202 din 331 de invarianți ai formelor biquadratice ternare. Aceste forme sunt clasificate în două variabile x și u . Direcția orizontală a tabelului listează invarianții cu note crescânde în x , în timp ce direcția verticală le listează cu note crescătoare în u .

O mare parte din opera lui Noether în prima epocă a carierei sale a fost asociată cu teoria invariantă , în principal teoria invariantă algebrică . Teoria invariantă se referă la expresiile care rămân constante (invariante) sub un grup de transformări. Ca exemplu de zi cu zi, dacă se roteste un indicator rigid, coordonatele ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) și ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) ale punctelor sale finale se schimbă, dar lungimea sa L dată de formula L ²  = Δ x ²  + Δ y ²  + Δ z ² rămâne același. Teoria invariante a fost un domeniu activ de cercetare în secolul ulterior al XlX - lea, a determinat în parte de către Felix Klein e programul Erlangen , potrivit căruia diferite tipuri de geometrie trebuie să fie caracterizate prin invarianți lor sub transformări, de ex raportul incrucisat al geometriei proiective .

Un exemplu de invariant este discriminantul B ²  - 4  A C al unei forme pătratice binare x · A  x  +  y · B  x  +  y · C  y  , unde x și y sunt vectori și " · " este produsul punct sau " interior " produs "pentru vectori. A, B și C sunt operatori liniari pe vectori - de obicei matrice .

Discriminantul se numește „invariant” deoarece nu este modificat prin substituții liniare x  →  a  x  +  b  y , y  →  c  x  +  d  y cu determinantul a  d  -  b  c  = 1. Aceste substituții formează grupul liniar special SL ₂ .

Se pot cere toate polinoamele din A, B și C care sunt neschimbate prin acțiunea SL ₂ ; acestea sunt numite invarianți ai formelor binare pătratice și se dovedesc a fi polinoamele din discriminant.

Mai general, se pot cere invarianții polinoamelor omogene A ₀  x ^r  y ⁰  + ... + A _r  x ⁰  y ^r de grad superior, care vor fi anumite polinoame din coeficienții A ₀ , ..., A _r și, mai general, se poate pune întrebarea similară pentru polinoame omogene în mai mult de două variabile.

Unul dintre principalele obiective ale teoriei invariante a fost rezolvarea „ problemei bazei finite ”. Suma sau produsul oricăror două invarianți este invariantă, iar problema bazei finite a întrebat dacă a fost posibil să obțineți toți invarianții începând cu o listă finită de invarianți, numiți generatori , și apoi, adăugând sau înmulțind generatorii împreună. De exemplu, discriminantul oferă o bază finită (cu un singur element) pentru invarianții formelor pătratice binare.

Consilierul lui Noether, Paul Gordan, era cunoscut ca „regele teoriei invariante”, iar contribuția sa principală la matematică a fost soluția sa din 1870 a problemei bazei finite pentru invarianții polinoamelor omogene în două variabile. El a dovedit acest lucru oferind o metodă constructivă pentru găsirea tuturor invarianților și generatoarelor acestora, dar nu a fost capabil să realizeze această abordare constructivă pentru invarianți în trei sau mai multe variabile. În 1890, David Hilbert a dovedit o afirmație similară pentru invarianții polinoamelor omogene în orice număr de variabile. Mai mult, metoda sa a funcționat, nu numai pentru grupul liniar special, ci și pentru unele dintre subgrupurile sale, cum ar fi grupul ortogonal special .

Prima epocă (1908-1919): teoria lui Galois

Teoria lui Galois se referă la transformările câmpurilor numerice care permit rădăcinile unei ecuații. Luați în considerare o ecuație polinomială de o variabilă x de grad n , în care coeficienții sunt extrase din unele câmp la sol , care ar putea fi, de exemplu, domeniul numerelor reale , numere raționale , sau numerele întregi modulo  7. Nu pot sau nu pot fie alegeri ale lui x , care fac ca acest polinom să fie evaluat la zero. Astfel de alegeri, dacă există, se numesc rădăcini . Dacă polinomul este x ²  + 1 și câmpul este numerele reale, atunci polinomul nu are rădăcini, deoarece orice alegere a lui x face polinomul mai mare sau egal cu una. Dacă câmpul este extins , totuși, atunci polinomul poate câștiga rădăcini și, dacă este suficient de extins, atunci are întotdeauna un număr de rădăcini egal cu gradul său.

Continuând exemplul anterior, dacă câmpul este mărit la numerele complexe, atunci polinomul câștigă două rădăcini, + i și - i , unde i este unitatea imaginară , adică i  ²  = −1. Mai general, câmpul de extensie în care un polinom poate fi inclus în rădăcinile sale este cunoscut sub numele de câmpul de divizare al polinomului.

Grupul Galois al unui polinom este ansamblul tuturor transformărilor câmpului de divizare care păstrează câmpul de la sol și rădăcinile polinomului. (În jargonul matematic, aceste transformări se numesc automorfisme .) Grupul Galois al lui x ² + 1 constă din două elemente: Transformarea identității, care trimite fiecare număr complex către sine, și conjugarea complexă , care trimite + i la - i . Deoarece grupul Galois nu schimbă câmpul de la sol, el lasă coeficienții polinomului neschimbați, deci trebuie să lase neschimbat ansamblul tuturor rădăcinilor. Fiecare rădăcină poate trece la o altă rădăcină, cu toate acestea, astfel de transformare determină o permutare a n rădăcini între ei. Semnificația grupului Galois derivă din teorema fundamentală a teoriei lui Galois , care demonstrează că câmpurile situate între câmpul de la sol și câmpul de divizare sunt în corespondență unu-la-unu cu subgrupurile grupului Galois.

În 1918, Noether a publicat o lucrare despre problema inversă a lui Galois . În loc să determine grupul Galois de transformări ale unui câmp dat și extensia acestuia, Noether a întrebat dacă, având în vedere un câmp și un grup, este întotdeauna posibil să se găsească o extensie a câmpului care are grupul dat ca grup Galois. Ea a redus acest lucru la „ problema lui Noether ”, care întreabă dacă câmpul fix al unui subgrup G al grupului de permutare S _n care acționează asupra câmpului k ( x ₁ , ...,  x _n ) este întotdeauna o extensie pur transcendentală a câmpului k . (A menționat prima dată această problemă într-o lucrare din 1913, unde a atribuit problema colegului său Fischer .) A arătat că acest lucru este adevărat pentru n  = 2, 3 sau 4. În 1969, RG Swan a găsit un contra-exemplu pentru problema lui Noether. , cu n  = 47 și G un grup ciclic de ordinul 47 (deși acest grup poate fi realizat ca un grup Galois peste rațional în alte moduri). Problema inversă a lui Galois rămâne nerezolvată.

Prima epocă (1908-1919): Fizică

Noether a fost adus la Göttingen în 1915 de David Hilbert și Felix Klein, care doreau ca expertiza ei în teoria invarianților să îi ajute în înțelegerea relativității generale , o teorie geometrică a gravitației dezvoltată în principal de Albert Einstein . Hilbert observase că conservarea energiei părea încălcată în relativitatea generală, deoarece energia gravitațională putea gravita ea însăși. Noether a oferit rezolvarea acestui paradox și un instrument fundamental al fizicii teoretice moderne , cu prima teoremă a lui Noether , pe care a dovedit-o în 1915, dar nu a publicat-o până în 1918. Ea nu numai că a rezolvat problema pentru relativitatea generală, ci și a determinat conservatorii. cantități pentru fiecare sistem de legi fizice care posedă o simetrie continuă. După ce și-a primit opera, Einstein i-a scris lui Hilbert:

Ieri am primit de la domnișoara Noether o lucrare foarte interesantă despre invarianți. Sunt impresionat că astfel de lucruri pot fi înțelese într-un mod atât de general. Bătrânul gardian de la Göttingen ar trebui să ia niște lecții de la domnișoara Noether! Se pare că își cunoaște lucrurile.

Ca exemplu, dacă un sistem fizic se comportă la fel, indiferent de modul în care este orientat în spațiu, legile fizice care îl guvernează sunt simetrică rotațional; din această simetrie, teorema lui Noether arată că impulsul unghiular al sistemului trebuie conservat. Sistemul fizic în sine nu trebuie să fie simetric; un asteroid zimțat care se prăbușește în spațiu conservă impulsul unghiular în ciuda asimetriei sale. Mai degrabă, simetria legilor fizice care guvernează sistemul este responsabilă de legea conservării. Ca un alt exemplu, dacă un experiment fizic are același rezultat în orice loc și în orice moment, atunci legile sale sunt simetrice sub traduceri continue în spațiu și timp; conform teoremei lui Noether, aceste simetrii explică legile de conservare a impulsului liniar și a energiei în cadrul acestui sistem, respectiv.

Teorema lui Noether a devenit un instrument fundamental al fizicii teoretice moderne , atât datorită înțelegerii pe care o oferă legilor de conservare, cât și, ca instrument practic de calcul. Teorema ei permite cercetătorilor să determine cantitățile conservate din simetriile observate ale unui sistem fizic. În schimb, facilitează descrierea unui sistem fizic bazat pe clase de legi fizice ipotetice. Pentru ilustrare, să presupunem că este descoperit un nou fenomen fizic. Teorema lui Noether oferă un test pentru modelele teoretice ale fenomenului:

Dacă teoria are o simetrie continuă, atunci teorema lui Noether garantează că teoria are o cantitate conservată, iar pentru ca teoria să fie corectă, această conservare trebuie să fie observabilă în experimente.

A doua epocă (1920-1926): condiții de lanț ascendent și descendent

În această epocă, Noether a devenit faimos pentru utilizarea sa cu abilitate a condițiilor lanțului ascendent ( Teilerkettensatz ) sau descendent ( Vielfachenkettensatz ). O succesiune de subseturi A ₁ , A ₂ , A ₃ etc. ne-goale ale unui set S se spune de obicei că este ascendentă , dacă fiecare este un subset al următorului

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots .}$

În schimb, o secvență de subseturi de S este numită descendentă dacă fiecare conține următorul subset:

${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots .}$

Un lanț devine constant după un număr finit de pași dacă există un n astfel încât pentru toți m  ≥  n . O colecție de subseturi ale unui set dat satisface condiția lanțului ascendent dacă orice secvență ascendentă devine constantă după un număr finit de pași. Satisfac condiția lanțului descendent dacă orice secvență descendentă devine constantă după un număr finit de pași. ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$

Condițiile lanțului ascendent și descendent sunt generale, ceea ce înseamnă că pot fi aplicate multor tipuri de obiecte matematice - și, la suprafață, s-ar putea să nu pară prea puternice. Cu toate acestea, Noether a arătat cum să exploateze astfel de condiții, în avantaj maxim.

De exemplu: Cum se utilizează condițiile lanțului pentru a arăta că fiecare set de sub-obiecte are un element maxim / minim sau că un obiect complex poate fi generat de un număr mai mic de elemente. Aceste concluzii sunt adesea etape cruciale într-o dovadă.

Multe tipuri de obiecte în algebră abstractă pot satisface condițiile de lanț și, de obicei, dacă satisfac o condiție de lanț ascendent, ele sunt numite noetheriene în onoarea ei. Prin definiție, un inel Noetherian îndeplinește o condiție de lanț ascendent pe idealurile sale stânga și dreapta, în timp ce un grup Noetherian este definit ca un grup în care fiecare lanț strict ascendent de subgrupuri este finit. Un modul Noetherian este un modul în care fiecare lanț strict ascendent de submoduli devine constant după un număr finit de pași. Un spațiu noetherian este un spațiu topologic în care fiecare lanț strict ascendent al subspaiilor deschise devine constant după un număr finit de pași; această definiție face din spectrul unui inel noetherian un spațiu topologic noetherian.

Condiția lanțului este adesea „moștenită” de sub-obiecte. De exemplu, toate subspatiile unui spatiu noetherian sunt ele insele noetheriene; toate subgrupurile și grupurile coeficiente ale unui grup noetherian sunt, de asemenea, noetheriene; și, mutatis mutandis , același lucru este valabil și pentru submodule și module coeficiente ale unui modul Noetherian. Toate inelele coeficiente ale unui inel Noetherian sunt Noetherian, dar acest lucru nu este valabil neapărat pentru subinelele sale. Condiția lanțului poate fi, de asemenea, moștenită de combinații sau extensii ale unui obiect noetherian. De exemplu, sumele directe finite ale inelelor noetheriene sunt noetheriene, la fel ca inelul seriilor formale de putere asupra unui inel noetherian.

O altă aplicație a unor astfel de condiții de lanț este în inducția noetheriană - cunoscută și sub numele de inducție bine întemeiată - care este o generalizare a inducției matematice . Este frecvent utilizat pentru a reduce afirmațiile generale despre colecțiile de obiecte la afirmațiile despre obiecte specifice din acea colecție. Să presupunem că S este o mulțime parțial ordonată . O modalitate de a demonstra o afirmație despre obiectele lui S este de a presupune existența unui contraexemplu și de a deduce o contradicție, demonstrând astfel contrapozitivul afirmației inițiale. Premisa de bază a inducției noetheriene este că fiecare subset ne-gol al lui S conține un element minim. În special, setul tuturor contraexemple conține un element minim, contraexemplul minim . Prin urmare, pentru a demonstra afirmația originală, este suficient să demonstreze ceva aparent mult mai slab: pentru orice contra-exemplu, există un contra-exemplu mai mic.

A doua epocă (1920-1926): inele, idealuri și module comutative

Lucrarea lui Noether, Idealtheorie in Ringbereichen ( Theory of Ideals in Ring Domains , 1921), este fundamentul teoriei generale a inelului comutativ și oferă una dintre primele definiții generale ale unui inel comutativ . Înainte de lucrarea ei, cele mai multe rezultate în algebră comutativă erau limitate la exemple speciale de inele comutative, cum ar fi inelele polinomiale peste câmpuri sau inelele de numere întregi algebrice. Noether a dovedit că într-un inel care satisface condiția ascendentă a lanțului pe idealuri , fiecare ideal este generat finit. În 1943, matematicianul francez Claude Chevalley a inventat termenul, inel Noetherian , pentru a descrie această proprietate. Un rezultat major în lucrarea lui Noether din 1921 este teorema Lasker-Noether , care extinde teorema lui Lasker asupra descompunerii primare a idealurilor inelelor polinomiale la toate inelele Noetherian. Teorema Lasker-Noether poate fi privită ca o generalizare a teoremei fundamentale a aritmeticii care afirmă că orice număr întreg pozitiv poate fi exprimat ca produs al numerelor prime și că această descompunere este unică.

Lucrarea lui Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Structura abstractă a teoriei idealurilor în câmpurile numerice și funcționale algebrice , 1927) a caracterizat inelele în care idealurile au factorizare unică în idealuri prime ca domeniile Dedekind : domenii integrale care sunt noetheriene, 0 sau 1- dimensionale și închise integral în câmpurile lor de coeficient. Această lucrare conține, de asemenea, ceea ce acum se numesc teoreme ale izomorfismului , care descriu câteva izomorfisme naturale fundamentale și alte rezultate de bază ale modulelor noetheriene și artiniene .

A doua epocă (1920-1926): teoria eliminării

În 1923-1924, Noether și-a aplicat teoria ideală teoriei eliminării într-o formulare pe care a atribuit-o elevului ei, Kurt Hentzelt. Ea a arătat că teoremele fundamentale despre factorizarea polinoamelor ar putea fi reportate direct. În mod tradițional, teoria eliminării se referă la eliminarea uneia sau mai multor variabile dintr-un sistem de ecuații polinomiale, de obicei prin metoda rezultanților .

Pentru ilustrare, un sistem de ecuații poate fi adesea scris sub forma M  v  =  0 în   care o matrice (sau transformată liniară ) M (fără variabila x ) de ori un vector v (care are numai puteri diferite de zero de x ) este egal la vectorul zero, 0 . Prin urmare, determinantul matricei M trebuie să fie zero, oferind o nouă ecuație în care variabila x a fost eliminată.

A doua epocă (1920-1926): teoria invariantă a grupurilor finite

Tehnici precum soluția neconstructivă originală a lui Hilbert la problema bazei finite nu au putut fi utilizate pentru a obține informații cantitative despre invarianții unei acțiuni de grup și, în plus, nu s-au aplicat tuturor acțiunilor de grup. În lucrarea ei din 1915, Noether a găsit o soluție la problema bazei finite pentru un grup finit de transformări   G   care acționează asupra unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un câmp cu zero caracteristic. Soluția ei arată că inelul invarianților este generat de invarianți omogeni al căror grad este mai mic sau egal cu ordinea grupului finit; aceasta se numește legată de Noether . Lucrarea ei a dat două dovezi ale legăturii lui Noether, ambele funcționând și atunci când caracteristica câmpului este coprimă | G |! ( factorialul ordinii | G | a grupului G ). Gradele generatoarelor nu trebuie să satisfacă legătura lui Noether când caracteristica câmpului împarte numărul | G |, dar Noether nu a putut determina dacă această legătură a fost corectă atunci când caracteristica câmpului se divide | G |! dar nu | G |. Timp de mulți ani, determinarea adevărului sau falsității acestei legături pentru acest caz particular a fost o problemă deschisă, numită „decalajul lui Noether”. În cele din urmă a fost rezolvat independent de Fleischmann în 2000 și Fogarty în 2001, care au arătat că legătura rămâne adevărată.

În lucrarea ei din 1926, Noether a extins teorema lui Hilbert la reprezentări ale unui grup finit peste orice câmp; noul caz care nu a rezultat din lucrarea lui Hilbert este atunci când caracteristica câmpului împarte ordinea grupului. Rezultatul lui Noether a fost ulterior extins de William Haboush la toate grupurile reductive prin dovada sa a conjecturii Mumford . În această lucrare, Noether a introdus și lema de normalizare Noether , arătând că un domeniu A generat finit peste un câmp k are un set { x ₁ , ...,  x _n } de elemente algebric independente , astfel încât A este integral peste k [ x ₁ , ...,  x _n ].

A doua epocă (1920-1926): Contribuții la topologie

O deformare continuă ( homotopie ) a unei cești de cafea într-o gogoasă ( tor ) și înapoi

După cum au remarcat Pavel Alexandrov și Hermann Weyl în necrologurile lor, contribuțiile lui Noether la topologie ilustrează generozitatea ei cu idei și modul în care perspectivele ei ar putea transforma domenii întregi ale matematicii. În topologie, matematicienii studiază proprietățile obiectelor care rămân invariante chiar și sub deformare, proprietăți precum conexiunea lor . O glumă veche este că „ un topolog nu poate distinge o gogoșă de o cană de cafea ”, deoarece acestea pot fi deformate continuu unul în altul.

Lui Noether i se atribuie idei fundamentale care au condus la dezvoltarea topologiei algebrice din topologia combinatorie anterioară , în mod specific, ideea grupurilor de omologie . Potrivit relatării lui Alexandrov, Noether a participat la prelegeri susținute de Heinz Hopf și de el în verile din 1926 și 1927, unde „ea a făcut în mod continuu observații care erau adesea profunde și subtile” și continuă că,

Când ... a făcut cunoștință pentru prima dată cu o construcție sistematică a topologiei combinatorii, a observat imediat că ar merita să studieze direct grupurile de complexe algebrice și ciclurile unui poliedru dat și subgrupul grupului de cicluri format din cicluri omoloage cu zero; în loc de definiția obișnuită a numerelor Betti , ea a sugerat definirea imediată a grupului Betti ca grupul complementar (coeficient) al grupului tuturor ciclurilor de către subgrupul de cicluri omolog la zero. Această observație pare evidentă acum. Dar în acei ani (1925-1928) acesta a fost un punct de vedere complet nou.

Sugestia lui Noether ca topologia să fie studiată algebric a fost adoptată imediat de Hopf, Alexandrov și alții și a devenit un subiect frecvent de discuție în rândul matematicienilor din Göttingen. Noether a observat că ideea ei despre un grup Betti face formula Euler-Poincaré mai ușor de înțeles, iar lucrarea proprie a lui Hopf despre acest subiect „poartă amprenta acestor remarci ale lui Emmy Noether”. Noether menționează propriile sale idei de topologie doar ca o parte într-o publicație din 1926, unde o citează ca o aplicație a teoriei grupurilor .

Această abordare algebrică a topologiei a fost, de asemenea, dezvoltată independent în Austria . Într-un curs din 1926-1927 dat la Viena , Leopold Vietoris a definit un grup de omologie , care a fost dezvoltat de Walther Mayer , într-o definiție axiomatică în 1928.

Helmut Hasse a lucrat cu Noether și alții pentru a întemeia teoria algebrelor centrale simple .

A treia epocă (1927-1935): numerele hipercomplexe și teoria reprezentării

O mulțime de lucrări privind numerele hipercomplexe și reprezentările de grup au fost efectuate în secolele XIX și începutul secolului XX, dar au rămas disparate. Noether a unit aceste rezultate și a dat prima teorie generală de reprezentare a grupurilor și algebrelor.

Pe scurt, Noether a inclus teoria structurii algebrelor asociative și teoria reprezentării grupurilor într-o singură teorie aritmetică a modulelor și idealurilor în inele care îndeplinesc condițiile ascendente ale lanțului . Această lucrare unică a lui Noether a avut o importanță fundamentală pentru dezvoltarea algebrei moderne.

A treia epocă (1927-1935): algebră necomutativă

Noether a fost, de asemenea, responsabil pentru o serie de alte progrese în domeniul algebrei. Cu Emil Artin , Richard Brauer și Helmut Hasse , ea a fondat teoria algebrelor centrale simple .

O lucrare a lui Noether, Helmut Hasse și Richard Brauer se referă la algebrele de diviziune , care sunt sisteme algebrice în care este posibilă divizarea. Au dovedit două teoreme importante: o teoremă local-globală care afirmă că, dacă o algebră de diviziune centrală cu dimensiuni finite peste un câmp numeric se împarte local peste tot, atunci aceasta se împarte global (deci este trivial) și din aceasta, a dedus Hauptsatz-ul lor („teorema principală”) ):

fiecare finit dimensional centrale algebra diviziune a lungul unui număr algebric câmp F se împarte într - o extensie cyclotomic ciclică .

Aceste teoreme permit clasificarea tuturor algebrelor de diviziune centrală cu dimensiuni finite pe un câmp de număr dat. O lucrare ulterioară a lui Noether a arătat, ca un caz special al unei teoreme mai generale, că toate subcâmpurile maxime ale unei algebre de diviziune D sunt câmpuri de divizare . Această lucrare conține, de asemenea, teorema Skolem – Noether, care afirmă că orice două încorporări ale unei extensii a unui câmp k într-o algebră centrală simplă cu dimensiuni finite peste k , sunt conjugate. Brauer-Noether Teorema oferă o caracterizare a domeniilor de despicare ale algebrei divizie centrală peste un câmp.

Evaluare, recunoaștere și memorii

Campusul Emmy Noether de la Universitatea din Siegen găzduiește departamentele sale de matematică și fizică.

Lucrarea lui Noether continuă să fie relevantă pentru dezvoltarea fizicii teoretice și a matematicii și este clasată în mod constant ca fiind una dintre cele mai mari matematicieni ai secolului al XX-lea. În necrologul său, colegul algebraist BL van der Waerden spune că originalitatea ei matematică era „absolută fără comparație”, iar Hermann Weyl a spus că Noether „a schimbat fața algebrei prin munca ei”. În timpul vieții sale și chiar până astăzi, Noether a fost caracterizată ca cea mai mare femeie matematiciană din istoria înregistrată de matematicieni precum Pavel Alexandrov , Hermann Weyl și Jean Dieudonné .

Într-o scrisoare către The New York Times , Albert Einstein a scris:

În opinia celor mai competenți matematicieni vii, Fräulein Noether a fost cel mai semnificativ geniu creativ matematic produs până acum de când a început învățământul superior al femeilor. Pe tărâmul algebrei, în care cei mai dotați matematicieni au fost ocupați de secole, ea a descoperit metode care s-au dovedit de o importanță enormă în dezvoltarea generației actuale mai tinere de matematicieni.

La 2 ianuarie 1935, cu câteva luni înainte de moartea ei, matematicianul Norbert Wiener a scris asta

Domnișoara Noether este ... cea mai mare femeie matematiciană care a trăit vreodată; și cea mai mare femeie de știință de orice fel care trăiește acum și un erudit cel puțin în planul doamnei Curie .

La o expoziție la Târgul Mondial din 1964 dedicată matematicienilor moderni , Noether a fost singura femeie reprezentată printre matematicienii notabili ai lumii moderne.

Noether a fost onorat în mai multe memorii,

• Asociatia pentru femei în matematică deține o prelegere Noether femeilor onoare în matematică în fiecare an; în pamfletul său din 2005 pentru eveniment, Asociația îl caracterizează pe Noether drept „unul dintre marii matematicieni ai timpului ei, cineva care a muncit și s-a luptat pentru ceea ce iubea și credea. Viața și opera ei rămân o inspirație extraordinară”.
• În concordanță cu dedicarea sa față de studenții săi, Universitatea din Siegen găzduiește departamentele sale de matematică și fizică în clădiri de pe campusul Emmy Noether .
• Fundația Germană pentru Cercetare ( Deutsche Forschungsgemeinschaft ) operează Programul Emmy Noether , oferind finanțare cercetătorilor din cariera timpurie pentru a se califica rapid pentru o poziție de lider în știință și cercetare, conducând un grup independent de cercetare junior.
• O stradă din orașul ei natal, Erlangen, a fost numită după Emmy Noether și tatăl ei, Max Noether.
• Succesorul școlii secundare la care a urmat la Erlangen a fost redenumit Școala Emmy Noether .
• O serie de ateliere și concursuri de liceu se desfășoară în onoarea ei în luna mai a fiecărui an din 2001, găzduită inițial de o femeie ulterioară Privatdozent de matematică de la Universitatea din Göttingen .
• Perimetrul Institutului de Fizică Teoretică acordă anual burse Emmy Noether Visiting pentru fizicieni teoretici remarcabili. Perimeter Institute găzduiește, de asemenea, Consiliul Emmy Noether, un grup de voluntari alcătuit din comunități internaționale, lideri corporativi și filantropici lucrează împreună pentru a crește numărul femeilor din fizică și fizică matematică la Perimeter Institute.
• Institutul de Matematică Emmy Noether din Algebră, Geometrie și Teoria Funcției din Departamentul de Matematică și Informatică, Universitatea Bar-Ilan , Ramat Gan, Israel a fost înființat în comun în 1992 de către universitate, guvernul german și Fundația Minerva, cu scopul de a să stimuleze cercetarea în domeniile de mai sus și să încurajeze colaborările cu Germania. Principalele sale subiecte sunt Geometria algebrică , teoria grupurilor și teoria funcției complexe . Activitățile sale includ proiecte locale de cercetare, conferințe, vizitatori pe termen scurt, burse post-doc și conferințe Emmy Noether (o serie anuală de conferințe distinse). ENI este membru ERCOM: „Centrele europene de cercetare în matematică”.
• În 2013, Societatea Europeană de Fizică a stabilit Distincția Emmy Noether pentru femei în fizică. Câștigătorii au inclus Dr. Catalina Curceanu , Prof. Sibylle Günter și Prof. Anne L'Huillier .

În ficțiune, Emmy Nutter, profesorul de fizică din „The God Patent” de Ransom Stephens , are la bază Emmy Noether.

Mai departe de casă,

• Craterul Nöther din partea îndepărtată a Lunii poartă numele ei.
• Planeta minoră 7001 Noether este numită după Emmy Noether.
• Google a pus un doodle memorial creat de artista Google Sophie Diao pe pagina de pornire Google în multe țări pe 23 martie 2015 pentru a sărbători 133 de ani de la Emmy Noether.
• La 6 noiembrie 2020, un satelit numit după ea ( ÑuSat 13 sau „Emmy”, COSPAR 2020-079E) a fost lansat în spațiu.

Lista doctoranzilor

Subiecte matematice eponime

Vezi si

• Cronologia femeilor în știință

Note

Referințe

Lucrări selectate de Emmy Noether (în germană)

• Noether, Emmy (1908), "Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form" [Despre sistemele complete de invarianți pentru formele biquadratice ternare], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (în germană), DE , 1908 (134): 23 –90 și două tabele, doi : 10.1515 / crll.1908.134.23 , S2CID  119967160 , arhivat din original la 8 martie 2013
• ——— (1913), "Rationale Funktionenkörper" [Câmpuri funcționale raționale], J. Ber. D. DMV (în germană), DE, 22 : 316-19, arhivat din original la 8 martie 2013
• ——— (1915), "Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen" [The Finiteness Theorem for Invariants of Finite Groups] (PDF) , Mathematische Annalen (în germană), DE, 77 : 89–92, doi : 10.1007 / BF01456821 , S2CID  121213008
• --- (1918), "Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe" [Ecuații cu Prevăzută Group], Mathematische Annalen (în limba germană), 78 (1-4): 221-29, doi : 10.1007 / BF01457099 , S2CID  122353858 , arhivate original la 3 septembrie 2014
• ——— (1918b). Traducere de Tavel, MA "Invariante Variationsprobleme" [Probleme de variație invariante]. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. (in germana). Göttingen. 918 (3): 235–57. arXiv : physics / 0503066 . Cod Bib : 1971TTSP .... 1..186N . doi : 10.1080 / 00411457108231446 . S2CID  119019843 .
• ——— (1918c). "Invariante Variationsprobleme" [Probleme de variație invariante]. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. (in germana). Göttingen. 918 : 235–57. Arhivat din original la 5 iulie 2008. Imagine originală germană cu link către traducerea engleză a lui Tavel
• ——— (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen" [Theory of Ideals in Ring Domains], Mathematische Annalen (în germană), 83 (1): 24-66, Bibcode : 1921MatAn..83 ... 24N , doi : 10.1007 / bf01464225 , S2CID  121594471 , arhivat din original (PDF) la 3 septembrie 2014

• Berlyne, Daniel (11 ianuarie 2014). „Teoria ideală în inele (Traducerea lui„ Idealtheorie în Ringbereichen ”de Emmy Noether)”. arXiv : 1401.2577 [ math.RA ].

• ——— (1923), „Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten” (PDF) , Mathematische Annalen (în germană), DE, 88 (1-2): 53–79, doi : 10.1007 / BF01448441 , S2CID  122226025
• ——— (1923b), „Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie” (PDF) , Mathematische Annalen (în germană), Germania, 90 (3-4): 229–61, doi : 10.1007 / BF01455443 , S2CID  121239880
• ——— (1924), „Eliminationstheorie und Idealtheorie” , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (în limba germană), DE, 33 : 116–20, arhivat din original la 8 martie 2013
• ——— (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p " [Dovada finitudinii invarianților grupurilor liniare finite de caracteristică p ], Nachr. Ges. Wiss (în germană), DE: 28–35, arhivat din original la 8 martie 2013
• ——— (1926b), "Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie" [Derivarea teoriei divizorului elementar din teoria grupului], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (în germană), DE, 34 (Abt. 2): 104, arhivat din original la 8 martie 2013
• ——— (1927), „Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern” [Structura abstractă a teoriei idealurilor în câmpurile numerice algebrice], Mathematische Annalen (în germană), 96 (1): 26–61, doi : 10.1007 / BF01209152 , S2CID  121288299 , arhivat din original (PDF) la 3 septembrie 2014
• Brauer, Richard ; Noether, Emmy (1927), "Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen" [Despre câmpurile minime de divizare a reprezentărilor ireductibile], Sitz. Ber. D. Preuss. Akad. D. Wiss. (în germană): 221-28
• Noether, Emmy (1929), "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie" [Cantități hipercomplexe și teoria reprezentărilor], Mathematische Annalen (în limba germană), 30 : 641–92, doi : 10.1007 / BF01187794 , S2CID  120464373 , arhivat din original pe 29 martie 2016
• Brauer, Richard; Hasse, Helmut ; Noether, Emmy (1932), "Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren" [Dovada unei teoreme principale în teoria algebrelor], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (în germană), DE, 167 : 399–404
• Noether, Emmy (1933), "Nichtkommutative Algebren" [Noncommutative Algebras], Mathematische Zeitschrift (în germană), 37 : 514–41, doi : 10.1007 / BF01474591 , S2CID  186227754
• ——— (1983), Jacobson, Nathan (ed.), Gesammelte Abhandlungen [ Hârtii colectate ] (în limba germană), Berlin; New York: Springer-Verlag, pp. Viii, 777, ISBN 978-3-540-11504-5, MR  0703862

Surse suplimentare

• Alexandrov, Pavel S. (1981). „În memoria lui Emmy Noether”. În Brewer, James W; Smith, Martha K. (eds.). Emmy Noether: un omagiu pentru viața și munca ei . New York: Marcel Dekker. pp. 99–111. ISBN 978-0-8247-1550-2. OCLC  7837628 .
• Albastru, Meredith (2001). Teoria lui Galois și problema lui Noether (PDF) . A 34-a reuniune anuală a Asociației Matematice din America. Secțiunea MAA Florida. Arhivat din original (PDF) la 29 mai 2008 . Accesat la 9 iunie 2018 .
• Noether, Emmy; Brewer, James W; Smith, Martha K (1981). Emmy Noether: un tribut adus vieții și operei sale . ISBN 978-0-8247-1550-2. OCLC  7837628 .
• Byers, Nina (decembrie 1996). Descoperirea lui E. Noether a conexiunii profunde dintre simetrii și legile conservării . Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether. Israel: Universitatea Bar-Ilan . arXiv : fizică / 9807044 . Bibcode : 1998fizică ... 7044B .
• Byers, Nina (2006), „Emmy Noether”, în Byers, Nina; Williams, Gary (eds.), Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82197-1
• Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935 , traducere de Blocher, HI, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-1-4684-0535-4 , ISBN 978-3-7643-3019-4
• Fleischmann, Peter (2000), „The Noether bound in invariant theory of finite groups”, Advances in Mathematics , 156 (1): 23–32, doi : 10.1006 / aima.2000.1952 , MR  1800251
• Fogarty, John (2001), "On Noether's bound for polynomial invariants of a finite group" , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 7 (2): 5-7, doi : 10.1090 / S1079-6762-01-00088- 9 , MR  1826990 , accesat la 16 iunie 2008
• Gilmer, Robert (1981), „The Commutative Ring Theory”, în Brewer, James W .; Smith, Martha K. (eds.), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work , New York: Marcel Dekker, pp. 131–43, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Gordan, Paul (1870), „Die simultanen Systeme binärer Formen” , Mathematische Annalen (în germană), 2 (2): 227–80, doi : 10.1007 / BF01444021 , S2CID  119558943 , arhivat din original la 3 septembrie 2014
• Haboush, WJ (1975), „Grupurile reductive sunt reductive geometric”, Annals of Mathematics , 102 (1): 67–83, doi : 10.2307 / 1970974 , JSTOR  1970974
• Hasse, Helmut (1933), "Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper" , Mathematische Annalen (în limba germană), 107 : 731-60, doi : 10.1007 / BF01448916 , S2CID  128305900 , arhivate din original la 5 martie 2016
• Lemmermeyer, Franz; Roquette, Peter, eds. (2006), Helmut Hasse und Emmy Noether - Die Korrespondenz 1925–1935 [ Helmut Hasse and Emmy Noether - Their Correspondence 1925–1935 ] (PDF) , DE: Göttingen University, doi : 10.17875 / gup2006-49 , ISBN 978-3-938616-35-2
• Hilbert, David (decembrie 1890). „Ueber die Theorie der algebraischen Formen” . Mathematische Annalen (în germană). 36 (4): 473-534. doi : 10.1007 / BF01208503 . S2CID  179177713 . Arhivat din original la 3 septembrie 2014.
• Hilton, Peter (1988). „O scurtă istorie subiectivă a omologiei și a teoriei homotopiei în acest secol”. Revista Matematică . 60 (5): 282-91. doi : 10.1080 / 0025570X.1988.11977391 . JSTOR  2689545 .
• Hopf, Heinz (1928). „Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel” . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse (în germană). 2 : 127–36.
• Huff, Kendra (2011). „Femeile în matematică: o relatare istorică a experiențelor și realizărilor femeilor” . CMC Teze Senior . CMC . Accesat la 28 august 2020 .
• James, Ioan (2002). Matematicieni remarcabili de la Euler la von Neumann . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81777-6.
• Kimberling, Clark (1981), „Emmy Noether and Her Influence”, în Brewer, James W .; Smith, Martha K. (eds.), Emmy Noether: Un tribut adus vieții și operei sale , New York: Marcel Dekker, pp. 3–61, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Kimberling, Clark (martie 1982). „Emmy Noether, cea mai mare femeie matematiciană” (PDF) . Profesor de matematică . Reston, Virginia: Consiliul Național al Profesorilor de Matematică. 84 (3): 246–249. doi : 10.5951 / MT.75.3.0246 .
• Kramer, Edna Ernestine (1982). The Nature and Growth of Modern Mathematics (1st Princeton paperback print. With corrections ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691023724.
• Lam, Tsit Yuen (1981), „Teoria reprezentării”, în Brewer, James W .; Smith, Martha K. (eds.), Emmy Noether: Un tribut adus vieții și operei sale , New York: Marcel Dekker, pp. 145-56, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Lederman, Leon M .; Hill, Christopher T. (2004), Symmetry and the Beautiful Universe , Amherst, MA: Prometheus Books, ISBN 978-1-59102-242-8
• Mac Lane, Saunders (1981), „Matematica la Universitatea din Göttingen 1831–1933”, în Brewer, James W .; Smith, Martha K. (eds.), Emmy Noether: Un tribut adus vieții și operei sale , New York: Marcel Dekker, pp. 65-78, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Mac Lane, Saunders (1995). „Matematica la Gottingen sub naziști” (PDF) . Notificări ale Societății Americane de Matematică . Societatea Americană de Matematică . 42 (10): 1134–38.
• Malle, Gunter; Matzat, Bernd Heinrich (1999), Teoria inversă a lui Galois , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3, MR  1711577
• Merzbach, Uta C. (1983), „Emmy Noether: Contexturi istorice”, în Srinivasan, Bhama; Sally, Judith D. (eds.), Emmy Noether în Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honour of Emmy Noether’s 100th Birthday , New York, NY: Springer, pp. 161-171, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5547-5_12 , ISBN 978-1-4612-5547-5
• Noether, Gottfried E. (1987), Grinstein, LS; Campbell, PJ (eds.), Women of Mathematics , New York: Greenwood Press, ISBN 978-0-313-24849-8
• Noether, Max (1914), „Paul Gordan” , Mathematische Annalen , 75 (1): 1–41, doi : 10.1007 / BF01564521 , S2CID  179178051 , arhivat din original la 4 septembrie 2014
• Radford, Deborah (1 aprilie 2016). „Despre Emmy Noether și lucrările ei algebrice” . Toate tezele studențești . Universitatea de Stat a Guvernatorilor . Accesat la 28 august 2020 .
• Schmadel, Lutz D. (2003), Dicționarul numelor de planete minore (ediția a 5-a revizuită și mărită), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00238-3
• Shen, Qinna (septembrie 2019). „Un refugiat din Germania nazistă: Colegiul Emmy Noether și Bryn Mawr” . Inteligența matematică . 41 (3): 52-65. doi : 10.1007 / s00283-018-9852-0 . S2CID  128009850 . Accesat la 28 august 2020 .
• Swan, Richard G (1969). „Funcții raționale invariante și o problemă a lui Steenrod”. Inventiones Mathematicae . 7 (2): 148-58. Cod Bib : 1969InMat ... 7..148S . doi : 10.1007 / BF01389798 . S2CID  121951942 .
• Taussky, Olga (1981). „Amintirile mele personale ale lui Emmy Noether”. În Brewer, James W .; Smith, Martha K (eds.). Emmy Noether: un omagiu pentru viața și munca ei . New York: Marcel Dekker. pp. 79-92. ISBN 978-0-8247-1550-2.
• Teicher, M. , ed. (1999). Moștenirea lui Emmy Noether . Procedeele conferinței matematice din Israel. Universitatea Bar-Ilan , Societatea Americană de Matematică , Oxford University Press . ISBN 978-0-19-851045-1. OCLC  223099225 .
• Tent, MBW (2008), Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra , CRC Press
• van der Waerden, BL (1935), "Nachruf auf Emmy Noether" [necrologul lui Emmy Noether], Mathematische Annalen (în germană), 111 : 469–74, doi : 10.1007 / BF01472233 , S2CID  179178055 , arhivat din original la 3 Septembrie 2014. Reeditat în Dick 1981
• ——— (1985), A History of Algebra: from al-Khwārizmī to Emmy Noether , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-13610-3
• Weyl, Hermann (1935), „Emmy Noether”, Scripta Mathematica , 3 (3): 201–20Reimprimat ca apendice în Dick (1981) .
• Weyl, Hermann (1944), „David Hilbert și opera sa matematică”, Buletinul Societății Americane de Matematică , 50 (9): 612–54, doi : 10.1090 / S0002-9904-1944-08178-0 , MR  0011274
• Yoo, Won Sang (2018). „O mamă fondatoare a matematicii: Emmy Noether” . Teze superioare . Colegiul Claremont McKenna.

linkuri externe

Documente personale

• Noether Lebensläufe (în germană), DE : Physikerinnen, arhivat din original la 29 septembrie 2007 , recuperat la 20 octombrie 2006. Cererea Noether pentru admiterea la Universitatea din Erlangen și trei curriculum vitae , dintre care două sunt prezentate în mână, cu transcrieri. Primul dintre acestea este scris de Emmy Noether.
• „Scrisoare de la Emmy Noether către Dr. Marion Edwards Park, președintele Colegiului Bryn Mawr” . TriArte . Colegiul Bryn Mawr. Scrisoare de la Emmy Noether către Marion Edwards Park

Fotografii

• „Amalie Emmy Noether” . TriArte . Colegiul Bryn Mawr. Fotografie a lui Emmy Noether
• „Noether”, Oberwolfach (colecție de fotografii), Germania: MFO

Biografii academice

• Byers, Nina , „Emmy Noether”, Contribuțiile femeilor din secolul XX la fizică , UCLA, arhivat din original la 12 februarie 2008
• Kimberling, Clark , Emmy Noether, Mentori și colegi , Evansville, arhivat din original la 22 februarie 2007
• Emmy Noether la Mathematics Genealogia Project
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Emmy Noether” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews
• „Emmy Noether”, Biografii ale femeilor matematiciene , Colegiul Agnes Scott.
• „Număr special pentru femei în matematică” (PDF) . Notificări ale Societății Americane de Matematică . Societatea Americană de Matematică . 38 (7): 701-773. Septembrie 1991.
• Conferință interdisciplinară 2019 cu ocazia aniversării a 100 de ani de abilitare a lui Emmy Noether organizată de: Exzellenzcluster MATH + ; Reprezentantul central al femeilor, de: Freie Universität Berlin și de: Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte (în germană)
• Huffman, Cynthia (27 iulie 2018). „Activitate: Emmy Noether și aritmetică modulară” . Resurse educaționale deschise - Matematică . Universitatea de Stat din Pittsburg .

Articole de ziar

• Angier, Natalie (26 martie 2012), „Matematicianul puternic de care nu ai auzit niciodată” , The New York Times
• Phillips, Lee (mai 2015). „Femeia matematiciană care a schimbat cursul fizicii - dar nu a putut obține un loc de muncă” . Ars Technica . California: Condé Nast.

Discuții audio

• Bragg, Melvyn , ed. (24 ianuarie 2019). „Emmy Noether” . În timpul nostru . Londra: BBC . Arhivat din original la 15 octombrie 2019. Cu: Colva Roney-Dougal , profesor de matematică pură la Universitatea din St Andrews; David Berman, profesor de fizică teoretică la Queen Mary, Universitatea din Londra; Elizabeth Mansfield , profesor de matematică la Universitatea din Kent.