Politop pentagonal - Pentagonal polytope
În geometrie , un politop pentagonal este un politop regulat în n dimensiuni construit din grupul H n Coxeter . Familia a fost numită de HSM Coxeter , deoarece politopul pentagonal bidimensional este un pentagon . Poate fi numit prin simbolul său Schläfli ca {5, 3 n - 2 } (dodecaedru) sau {3 n - 2 , 5} (icosaedru).
Membrii familiei
Familia începe ca 1-politopi și se termină cu n = 5 ca teselări infinite ale spațiului hiperbolic 4-dimensional.
Există două tipuri de politopi pentagonali; pot fi denumite tipuri dodecaedrică și icosaedrică , de către membrii lor tridimensionali. Cele două tipuri sunt duale între ele.
Dodecaedru
Familia completă a politopilor pentagonali dodecaedrici sunt:
- Segment de linie , {}
- Pentagon , {5}
- Dodecaedru , {5, 3} (12 fețe pentagonale )
- 120 de celule , {5, 3, 3} (120 celule dodecaedrice )
- Order-3 fagure de miel de 120 de celule , {5, 3, 3, 3} (teselate cu 4 spații hiperbolice ( fațete ∞ 120 de celule )
Fațetele fiecărui politop pentagonal dodecaedric sunt politopii pentagonali dodecaedrici cu o dimensiune mai mică. Figurile lor de vârf sunt simplele unei dimensiuni mai puțin.
n | Grupul Coxeter |
Proiecția poligonului Petrie |
Nume Diagrama Coxeter Simbol Schläfli |
Fațete | Elemente | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vârfuri | Margini | Fețe | Celulele | 4 -fete | |||||
1 |
[] (comanda 2) |
Segment de linie {} |
2 vârfuri | 2 | |||||
2 |
[5] (comanda 10) |
Pentagon {5} |
5 margini | 5 | 5 | ||||
3 |
[5,3] (comanda 120) |
Dodecaedru {5, 3} |
12 pentagone |
20 | 30 | 12 | |||
4 |
[5,3,3] (comandă 14400) |
120 de celule {5, 3, 3} |
120 dodecahedra |
600 | 1200 | 720 | 120 | ||
5 |
[5,3,3,3] (ordinul ∞) |
Fagure de 120 de celule {5, 3, 3, 3} |
∞ 120 de celule |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Icosaedru
Familia completă de politopi pentagonali icosaedrici sunt:
- Segment de linie , {}
- Pentagon , {5}
- Icosaedru , {3, 5} (20 de fețe triunghiulare )
- 600 de celule , {3, 3, 5} (600 de celule de tetraedru )
- Fagure de miere cu 5 celule Order-5 , {3, 3, 3, 5} (teselate cu 4 spații hiperbolice ( fațete ∞ cu 5 celule )
Fațetele fiecărui politop pentagonal icosaedric sunt simplele unei dimensiuni mai puțin. Figurile lor de vârf sunt politopi pentagonali icosaedrici cu o dimensiune mai mică.
n | Grupul Coxeter |
Proiecția poligonului Petrie |
Nume Diagrama Coxeter Simbol Schläfli |
Fațete | Elemente | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vârfuri | Margini | Fețe | Celulele | 4 -fete | |||||
1 |
[] (comanda 2) |
Segment de linie {} |
2 vârfuri | 2 | |||||
2 |
[5] (comanda 10) |
Pentagon {5} |
5 muchii | 5 | 5 | ||||
3 |
[5,3] (comanda 120) |
Icosaedru {3, 5} |
20 de triunghiuri echilaterale |
12 | 30 | 20 | |||
4 |
[5,3,3] (comandă 14400) |
600 de celule {3, 3, 5} |
600 tetraedre |
120 | 720 | 1200 | 600 | ||
5 |
[5,3,3,3] (ordinul ∞) |
Fagure de comandă-5 cu 5 celule {3, 3, 3, 5} |
∞ 5-celule |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Politopi stelari și faguri
Politopii pentagonali pot fi stelati pentru a forma noi politopi stelari :
- În două dimensiuni, obținem pentagrama {5/2},
- În trei dimensiuni, aceasta formează cele patru poliedre Kepler-Poinsot , { 3,5 / 2 }, { 5 / 2,3 }, { 5,5 / 2 } și { 5 / 2,5 }.
- În patru dimensiuni, aceasta formează cele zece policloruri Schläfli – Hess : { 3,5,5 / 2 }, { 5 / 2,5,3 }, { 5,5 / 2,5 }, { 5,3,5 / 2 }, { 5 / 2,3,5 }, { 5 / 2,5,5 / 2 }, { 5,5 / 2,3 }, { 3,5 / 2,5 }, { 3,3, 5/2 } și { 5 / 2,3,3 }.
- În spațiul hiperbolic cu patru dimensiuni există patru faguri stelari obișnuiți : {5 / 2,5,3,3} , {3,3,5,5 / 2} , {3,5,5 / 2,5} , și {5,5 / 2,5,3} .
În unele cazuri, politopii pentagonali stelari sunt ei înșiși numărați printre politopii pentagonali.
Ca și alți politopi, stelele obișnuite pot fi combinate cu dualii lor pentru a forma compuși;
- În două dimensiuni, se formează o stea decagrammică {10/2},
- În trei dimensiuni, obținem compusul dodecaedru și icosaedru ,
- În patru dimensiuni, obținem compusul dintre 120 de celule și 600 de celule .
Politopii stelari pot fi, de asemenea, combinați.
Note
Referințe
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editat de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Hârtie 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- Coxeter , politopi obișnuiți , locul 3. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabelul I (ii): 16 politopi obișnuiți {p, q, r} în patru dimensiuni, pp. 292–293)
Familie | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poligon regulat | Triunghi | Pătrat | p-gon | Hexagon | Pentagon | |||||||
Poliedru uniform | Tetraedru | Octahedron • Cub | Demicube | Dodecaedru • Icosaedru | ||||||||
4-politop uniform | 5-celule | 16-celule • Tesseract | Demitesseract | 24 de celule | 120 de celule • 600 de celule | |||||||
5-politop uniform | 5-simplex | 5-ortoplex • 5-cub | 5-demicub | |||||||||
6-politop uniform | 6-simplex | 6-ortoplex • 6-cub | 6-demicub | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7-politop uniform | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cub | 7-demicube | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
8-politop uniform | 8-simplex | 8-ortoplex • 8-cub | 8-demicube | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9-politop uniform | 9-simplex | 9-ortoplex • 9-cub | 9-demicube | |||||||||
10-politop uniform | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cub | 10-demicube | |||||||||
Uniforme n - polytope | n - simplex | n - ortoplex • n - cub | n - demicub | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politop pentagonal | |||||||
Subiecte: Familii de politopi • Politop regulat • Lista politopilor și compușilor obișnuiți |