1 ₃₂ politop -1₃₂ polytope

3 21		2 31		1 32
Rectificat 3 21			birectificat 3 21
Rectificat 2 31			Rectificat 1 32
Proiecții ortogonale în planul E 7 Coxeter

În geometria cu 7 dimensiuni , 1 ₃₂ este un politop uniform , construit din grupul E7 .

Simbolul său Coxeter este 1 ₃₂ , descriind diagrama sa bifurcantă Coxeter-Dynkin , cu un singur inel la capătul uneia dintre secvențele cu 1 nod.

Rectificată 1 ₃₂ este construit de puncte la mijlocul muchiilor 1 ₃₂ .

Acești politopi fac parte dintr-o familie de 127 (2 ⁷ -1) politopi uniformi conveși în 7 dimensiuni , compuși din fațete politop uniforme și figuri de vârf , definite de toate permutările inelelor din această diagramă Coxeter-Dynkin :.

1_32 politop

1 32
Tip	7-politop uniform
Familie	1 k2 politop
Simbolul Schläfli	{3,3 3,2 }
Simbolul Coxeter	1 32
Diagrama Coxeter
6 fețe	182: 56 1 22 126 1 31
5 fețe	4284: 756 1 21 1512 1 21 2016 {3 4 }
4 fețe	23688: 4032 {3 3 } 7560 1 11 12096 {3 3 }
Celulele	50400: 20160 {3 2 } 30240 {3 2 }
Fețe	40320 {3}
Margini	10080
Vârfuri	576
Figura Vertex	t 2 {3 5 }
Poligonul Petrie	Octadecagon
Grupul Coxeter	E 7 , [3 3,2,1 ], comandă 2903040
Proprietăți	convex

Acest politop poate tesela spațiul în 7 dimensiuni, cu simbolul 1 ₃₃ și diagrama Coxeter-Dynkin,. Este celula Voronoi dual E ₇ ^* zăbrele .

Denumiri alternative

• Emanuel Lodewijk Elte l-a numit V ₅₇₆ (pentru 576 vârfurile sale) în lista sa din 1912 a politopilor semiregulari.
• Coxeter a numit-o 1 ₃₂ pentru diagrama sa bifurcantă Coxeter-Dynkin , cu un singur inel la capătul ramurii cu 1 nod.
• Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exon (Acronim lin) - poliexon cu fațete 56-126 (Jonathan Bowers)

Imagini

Proiecții ale planului Coxeter

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Constructie

Este creat de o construcție Wythoff pe un set de 7 oglinzi hiperplan în spațiu 7-dimensional.

Informațiile despre fațetă pot fi extrase din diagrama Coxeter-Dynkin ,

Scoaterea nodului de la capătul ramurii cu 2 lungimi lasă 6-demicub , 1 ₃₁ ,

Scoaterea nodului de la capătul ramurii cu 3 lungimi lasă 1 ₂₂ ,

Cifra nod este determinată prin eliminarea nodului inelate și de apel nodul vecin. Acest lucru face ca birectificat să fie 6-simplex , 0 ₃₂ ,

Văzute într-o matrice de configurație , numărul de elemente poate fi derivat prin eliminarea oglinzii și raporturile comenzilor grupului Coxeter .

E 7		k -față	f k	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5			f 6		k -figurile	note
A 6		()	f 0	576	35	210	140	210	35	105	105	21	42	21	7	7	2r {3,3,3,3,3}	E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576
A 3 A 2 A 1		{}	f 1	2	10080	12	12	18	4	12	12	6	12	3	4	3	{3,3} x {3}	E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A 2 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	40320	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{} ∨ {3}	E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320
A 3 A 2		{3,3}	f 3	4	6	4	20160	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3} ∨ ()	E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160
A 3 A 1 A 1				4	6	4	*	30240	0	2	2	1	4	1	2	2	Disfenoid filic	E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240
A 4 A 2		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	0	4032	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032
D 4 A 1		{3,3,4}		8	24	32	8	8	*	7560	*	1	2	0	2	1	{} ∨ ()	E 7 / D 4 A 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560
A 4 A 1		{3,3,3}		5	10	10	0	5	*	*	12096	0	2	1	1	2		E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
D 5 A 1		h {4,3,3,3}	f 5	16	80	160	80	40	16	10	0	756	*	*	2	0	{}	E 7 / D 5 A 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756
D 5				16	80	160	40	80	0	10	16	*	1512	*	1	1		E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512
A 5 A 1		{3,3,3,3,3}		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	2016	0	2		E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016
E 6		{3,3 2,2 }	f 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	56	*	()	E 7 / E 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56
D 6		h {4,3,3,3,3}		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	126		E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126

Politopi și faguri asociați

1 ₃₂ este al treilea dintr-o serie dimensională de politopi și faguri uniformi, exprimată de Coxeter ca serie 1 _3k . Următoarea figură este fagurul euclidian 1 _33, iar finalul este un fagure hiperbolic necompact, 1 ₃₄ .

1 figuri dimensionale _3k

Spaţiu	Finit				Euclidian	Hiperbolic
n	4	5	6	7	8	9
Grupul Coxeter	A 3 A 1	A 5	D 6	E 7	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= E 7 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$= E 7 ++
Diagrama Coxeter
Simetrie	[3 -1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[[3 3,3,1 ]]	[3 4,3,1 ]
Ordin	48	720	23.040	2.903.040	∞
Grafic					-	-
Nume	1 3, -1	1 30	1 31	1 32	1 33	1 34

1 k2 figuri în n dimensiuni
Spaţiu	Finit						Euclidian	Hiperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Grupul Coxeter	E 3 = A 2 A 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Diagrama Coxeter
Simetrie (ordine)	[3 -1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordin	12	120	1.920	103.680	2.903.040	696.729.600	∞
Grafic							-	-
Nume	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

Politop 1_32 rectificat

Rectificat 1 32
Tip	7-politop uniform
Simbolul Schläfli	t 1 {3,3 3,2 }
Simbolul Coxeter	0 321
Diagrama Coxeter-Dynkin
6 fețe	758
5 fețe	12348
4 fețe	72072
Celulele	191520
Fețe	241920
Margini	120960
Vârfuri	10080
Figura Vertex	{3,3} × {3} × {}
Grupul Coxeter	E 7 , [3 3,2,1 ], comandă 2903040
Proprietăți	convex

Rectificat 1 ₃₂ ( de asemenea , numit 0 ₃₂₁ ) este o rectificare a 1 ₃₂ politopii, crearea de noi noduri pe centrul marginii 1 ₃₂ . Figura sa de vârf este o prismă de duoprism, produsul unui tetraedru și triunghi regulat, dublat într-o prismă: {3,3} × {3} × {}.

Denumiri alternative

• Pentacontihexa-hecatonicosihexa-exon rectificat pentru poliexon cu fațete rectificate 56-126 (acronim rolin) (Jonathan Bowers)

Constructie

Este creat de o construcție Wythoff pe un set de 7 oglinzi hiperplan în spațiu 7-dimensional. Aceste oglinzi sunt reprezentate de diagrama sa Coxeter-Dynkin ,, iar inelul reprezintă poziția oglinzii active.

Scoaterea nodului de la capătul ramurii cu 3 lungimi lasă politopul 1 ₂₂ rectificat ,

Scoaterea nodului de la capătul ramurii cu 2 lungimi lasă demihexeractul , 1 ₃₁ ,

Îndepărtarea nodului de la capătul ramurii de 1 lungime lasă 6-simplex birectificat ,

Cifra nod este determinată prin eliminarea nodului inelate și de apel nodul vecin. Aceasta face ca prisma duoprismului tetraedru-triunghi, {3,3} × {3} × {},

Văzute într-o matrice de configurație , numărul de elemente poate fi derivat prin eliminarea oglinzii și raporturile comenzilor grupului Coxeter .

E 7		k -față	f k	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4						f 5					f 6			k -figurile	note
A 3 A 2 A 1		()	f 0	10080	24	24	12	36	8	12	36	18	24	4	12	18	24	12	6	6	8	12	6	3	4	2	3	{3,3} x {3} x {}	E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72 * 8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A 2 A 1 A 1		{}	f 1	2	120960	2	1	3	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2	() v {3} v {}	E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960
A 2 A 2		0 1	f 2	3	3	80640	*	*	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1	{3} v () v ()	E 7 / A 2 A 2 = 72 * 8! / 3! / 3! = 80640
A 2 A 2 A 1				3	3	*	40320	*	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2	{3} v {}	E 7 / A 2 A 2 A 1 = 72 * 8! / 3! / 3! / 2 = 40320
A 2 A 1 A 1				3	3	*	*	120960	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2	{} v {} v ()	E 7 / A 2 A 1 A 1 = 72 * 8! / 3! / 2/2 = 120960
A 3 A 2		0 2	f 3	4	6	4	0	0	20160	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0	{3} v ()	E 7 / A 3 A 2 = 72 * 8! / 4! / 3! = 20160
		0 11		6	12	4	4	0	*	20160	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
A 3 A 1				6	12	4	0	4	*	*	60480	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1	Sfenoid	E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480
A 3 A 1 A 1				6	12	0	4	4	*	*	*	30240	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2	{} v {}	E 7 / A 3 A 1 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2/2 = 30240
A 3 A 1		0 2		4	6	0	0	4	*	*	*	*	60480	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2	Sfenoid	E 7 / A 3 A 1 = 72 * 8! / 4! / 2 = 60480
A 4 A 2		0 21	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	4032	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}	E 7 / A 4 A 2 = 72 * 8! / 5! / 3! = 4032
A 4 A 1				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	12096	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{} v ()	E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
D 4 A 1		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	7560	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1		E 7 / D 4 A 1 = 72 * 8! / 8/4! / 2 = 7560
A 4		0 21		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	24192	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	() v () v ()	E 7 / A 4 = 72 * 8! / 5! = 34192
A 4 A 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	12096	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{} v ()	E 7 / A 4 A 1 = 72 * 8! / 5! / 2 = 12096
		0 3		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	12096	0	0	0	2	1	0	1	2
D 5 A 1		0 211	f 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	756	*	*	*	*	2	0	0	{}	E 7 / D 5 A 1 = 72 * 8! / 16/5! / 2 = 756
A 5		0 22		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	4032	*	*	*	1	1	0		E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032
D 5		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	1512	*	*	1	0	1		E 7 / D 5 = 72 * 8! / 16/5! = 1512
A 5		0 31		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	4032	*	0	1	1		E 7 / A 5 = 72 * 8! / 6! = 4032
A 5 A 1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	2016	0	0	2		E 7 / A 5 A 1 = 72 * 8! / 6! / 2 = 2016
E 6		0 221	f 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	56	*	*	()	E 7 / E 6 = 72 * 8! / 72/6! = 56
A 6		0 32		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	*	576	*		E 7 / A 6 = 72 * 8! / 7! = 576
D 6		0 311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	*	*	126		E 7 / D 6 = 72 * 8! / 32/6! = 126

Imagini

Proiecții ale planului Coxeter

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[14]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

Vezi si

• Lista politopilor E7

Note

Referințe

• Elte, EL (1912), Politopii semiregulari ai hiperspațiilor , Groningen: Universitatea din Groningen
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , ediția a treia, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editat de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Lucrarea 24) HSM Coxeter, Politopi regulat și semi-regulat III , [Mat. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Klitzing, Richard. "Politopi uniformi 7D (polyexa)" . o3o3o3x * c3o3o3o - lin, o3o3x3o * c3o3o3o - rolin

v t e Politopi reguli și uniformi conveși fundamentali în dimensiunile 2–10
Familie	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Poligon regulat	Triunghi	Pătrat	p-gon	Hexagon	Pentagon
Poliedru uniform	Tetraedru	Octahedron • Cub	Demicube		Dodecaedru • Icosaedru
Policoron uniform	Pentachoron	16-celule • Tesseract	Demitesseract	24 de celule	120 de celule • 600 de celule
5-politop uniform	5-simplex	5-ortoplex • 5-cub	5-demicub
6-politop uniform	6-simplex	6-ortoplex • 6-cub	6-demicub	1 22 • 2 21
7-politop uniform	7-simplex	7-ortoplex • 7-cub	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
8-politop uniform	8-simplex	8-ortoplex • 8-cub	8-demicub	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politop uniform	9-simplex	9-ortoplex • 9-cub	9-demicube
10-politop uniform	10-simplex	10-ortoplex • 10-cub	10-demicube
Uniforme n - polytope	n - simplex	n - ortoplex • n - cub	n - demicub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politop pentagonal
Subiecte: Familii de politopi • Politop regulat • Lista politopilor și compușilor obișnuiți