8-ortoplex - 8-orthoplex

8- ortoplex Octacross
Proiecție ortogonală în interiorul poligonului Petrie
Tip	8-politip regulat
Familie	orthoplex
Simbolul Schläfli	{3 6 , 4} {3,3,3,3,3,3 1,1 }
Diagrame Coxeter-Dynkin
7-fețe	256 {3 6 }
6-fețe	1024 {3 5 }
5-fețe	1792 {3 4 }
4 chipuri	1792 {3 3 }
celulele	1120 {3,3}
feţele	448 {3}
Margini	112
nodurile	16
Figura vertexului	7-orthoplex
Poligonul Petrie	hexadecagon
Grupuri de coxeter	C 8 , [3 6 , 4] D 8 , [3 5,1,1 ]
Dual	8-cub
Proprietăți	convex

În geometrie , un poliprop 8-ortoplex sau 8- cruce este un 8-polipop obișnuit cu 16 vârfuri , 112 muchii , 448 fețe triunghi , 1120 celule tetraedru , 1792 5-celule 4 fețe , 1792 5 fețe , 1024 6 fețe , și 256 7 fețe .

Are două forme constructive, prima fiind obișnuită cu simbolul Schläfli {3 ⁶ , 4}, iar a doua cu fațete marcate alternativ (pe tablă), cu simbolul Schläfli {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } sau simbolul Coxeter 5 ₁₁ .

Este o parte dintr-o familie infinită de politopi, numiți polipopi încrucișați sau ortoplexi . Dublă politopii este un 8- hipercub , sau octeract .

Numele alternative

• Octacross , derivat din combinarea numelui de familie, cruce politop cu oct pentru opt (dimensiuni) în greacă
• Diacosipentacontahexazetton ca 256- fațetate 8-polytope (polyzetton)

Ca configurație

Această matrice de configurare reprezintă 8-ortoplex. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, marginilor, fețelor, celulelor, 4 fețe, 5 fețe, 6 fețe și 7 fețe. Numerele diagonale spun câte dintre fiecare element apar în întregul 8-ortoplex. Numerele netagonale spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul rândului.

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 16 & 14 & 84 & 280 & 560 & 672 & 448 & 128 \\ 2 & 112 & 12 & 60 & 160 & 240 & 192 & 64 \\ 3 & 3 & 448 & 10 & 40 & 80 & 80 & 32 \\ 4 & 6 & 4 & 1120 & 8 & 24 & 32 & 16 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 1792 & 6 & 12 & 8 \\ 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1792 & 4 & 4 \\ 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1024 & 2 \\ 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 & 256 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Numerele diagonale f-vector sunt derivate prin construcția Wythoff , împărțind ordinea grupului complet a unui ordin de subgrup prin eliminarea oglinzilor individuale.

B 8		k-față	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	f 7	k -figură	notițe
B 7		()	f 0	16	14	84	280	560	672	448	128	{3,3,3,3,3,4}	B 8 / B 7 = 2 ^ 8 * 8! / 2 ^ 7/7! = 16
A 1 B 6		{}	f 1	2	112	12	60	160	240	192	64	{3,3,3,3,4}	B 8 / A 1 B 6 = 2 ^ 8 * 8! / 2/2 ^ 6/6! = 112
A 2 B 5		{3}	f 2	3	3	448	10	40	80	80	32	{3,3,3,4}	B 8 / A 2 B 5 = 2 ^ 8 * 8! / 3! / 2 ^ 5/5! = 448
A 3 B 4		{3,3}	f 3	4	6	4	1120	8	24	32	16	{3,3,4}	B 8 / A 3 B 4 = 2 ^ 8 * 8! / 4! / 2 ^ 4/4! = 1120
A 4 B 3		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	1792	6	12	8	{3,4}	B 8 / A 4 B 3 = 2 ^ 8 * 8! / 5! / 8/3! = 1792
A 5 B 2		{3,3,3,3}	f 5	6	15	20	15	6	1792	4	4	{4}	B 8 / A 5 B 2 = 2 ^ 8 * 8! / 6! / 4/2 = 1792
A 6 A 1		{3,3,3,3,3}	f 6	7	21	35	35	21	7	1024	2	{}	B 8 / A 6 A 1 = 2 ^ 8 * 8! / 7! / 2 = 1024
A 7		{3,3,3,3,3,3}	f 7	8	28	56	70	56	28	8	256	()	B 8 / A 7 = 2 ^ 8 * 8! / 8! = 256

Constructie

Există două grupe Coxeter asociate cu 8-cubul, una regulată , duală a octactului cu grupul de simetrie C ₈ sau [4,3,3,3,3,3] și o jumătate de simetrie cu două copii de ^Fațete 7-simplex, alternate, cu grupul de simetrie D ₈ sau [3 ^5,1,1 ]. O construcție de simetrie cea mai mică se bazează pe un dual al unui 8- orthotop , numit 8-fusil .

Nume	Diagrama coxeterului	Simbolul Schläfli	Simetrie	Ordin	Figura vertexului
8-ortoplex obișnuit		{3,3,3,3,3,3,4}	[3,3,3,3,3,3,4]	10321920
8- ortoplex Quasiregular		{3,3,3,3,3,3 1,1 }	[3,3,3,3,3,3 1,1 ]	5160960
8-fusil		8 {}	[2 7 ]	256

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene pentru vârfurile unui 8-cub, centrate la origine sunt

(± 1,0,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0, 0,0,0), (0,0,0, ± 1,0,0,0,0),

(0,0,0,0, ± 1,0,0,0), (0,0,0,0,0, ± 1,0,0), (0,0,0,0,0,0 , 0, ± 1), (0,0,0,0,0,0,0, ± 1)

Fiecare pereche de vertex este conectată printr-o margine , cu excepția opuselor.

Imagini

proiecții ortografice

B 8			B 7
[16]			[14]
B 6			B 5
[12]			[10]
B 4		B 3		B 2
[8]		[6]		[4]
A 7		A 5		A 3
[8]		[6]		[4]

Este utilizat în forma sa alternativă 5 ₁₁ cu 8-simplex pentru a forma fagurele 5 ₂₁ .

Referințe

• Coxeter HSM :
  • HSM Coxeter, Polytopes Regular , ediția a III-a, Dover New York, 1973
  • Caleidoscopi: Scrisuri selectate ale HSM Coxeter , editate de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Hârtia 22) Coxeter HSM, Polițe I I Regulare și Semi Regulare , [Matematică. Zeit. 46 (1940) 380-407, 2,10 MR]
    • (Hârtia 23) Coxeter HSM, Polițe II și semirregulare II , [Matematică. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Hârtia 24) Coxeter HSM, Poliți III III și semi-regulat , [Matematică. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Polipopi uniformi Norman Johnson , Manuscris (1991)
  • NW Johnson: Theory of Polytopes Uniform and Honeycombs , Ph.D.
• Klitzing, Richard. "Polipope uniforme 8D (polietileta) x3o3o3o3o3o3o4o - ek" .

linkuri externe

• Olshevsky, George. „Polipop încrucișat” . Glosar pentru Hyperspace . Arhivat de la original la 4 februarie 2007.
• Politopuri de diverse dimensiuni
• Glosar multidimensional