2 ₄₁ politop -2₄₁ polytope

4 21	1 42	2 41
Rectificat 4 21	Rectificat 1 42	Rectificat 2 41
Birectificat 4 21	Trirectificat 4 21
Proiecții ortogonale în planul E 6 Coxeter

În geometria cu 8 dimensiuni , 2 ₄₁ este un politop uniform de 8 , construit în simetria grupului E ₈ .

Simbolul său Coxeter este 2 ₄₁ , descriind diagrama sa bifurcantă Coxeter-Dynkin , cu un singur inel la capătul secvențelor cu 2 noduri.

Rectificată 2 ₄₁ este construit prin puncte la mijlocul muchiilor 2 ₄₁ . Birectified 2 ₄₁ este construit de puncte la centrele triunghiului feței din 2 ₄₁ , și este aceeași ca și rectificat 1 ₄₂ .

Acești politopi fac parte dintr-o familie de 255 (2 ⁸  - 1) politopi conveși uniformi în dimensiuni 8, realizate din fațete uniforme de politop , definite de toate permutările inelelor din această diagramă Coxeter-Dynkin :.

2 ₄₁ politop

2 41 politop
Tip	Uniforma 8-polytope
Familie	2 k1 polytope
Simbolul Schläfli	{3,3,3 4,1 }
Simbolul Coxeter	2 41
Diagrama Coxeter
7 fețe	17520: 240 2 31 17280 {3 6 }
6 fețe	144960: 6720 2 21 138240 {3 5 }
5 fețe	544320: 60480 2 11 483840 {3 4 }
4 fețe	1209600: 241920 {2 01 967680 {3 3 }
Celulele	1209600 {3 2 }
Fețe	483840 {3}
Margini	69120
Vârfuri	2160
Figura Vertex	1 41
Poligonul Petrie	30-gon
Grupul Coxeter	E 8 , [3 4,2,1 ]
Proprietăți	convex

2 ₄₁ este compus din 17,520 fațete (240 2 ₃₁ polytopes și 17,280 7-simplices ), 144,960 6-fețe (6720 2 ₂₁ polytopes și 138,240 6-simplices ), 544,320 5-fețe (60480 2 ₁₁ și 483,840 5-simplices ) , 1.209.600 4 fețe ( 4 simple), 1.209.600 celule ( tetraedre ), 483.840 fețe ( triunghiuri ), 69.120 muchii și 2160 vârfuri . Figura sa de vârf este un 7-demicub .

Acest politop este o fațetă în teselarea uniformă, 2 ₅₁ cu diagrama Coxeter-Dynkin :

Denumiri alternative

• EL Elte l-a numit V ₂₁₆₀ (pentru vârfurile sale de 2160) în lista sa din 1912 a politopilor semiregulari.
• Este numit 2 ₄₁ de Coxeter pentru diagrama sa bifurcatoare Coxeter-Dynkin, cu un singur inel la capătul secvenței cu 2 noduri.
• Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (Acronym Bay) - 240-17280 polieton cu fațete (Jonathan Bowers)

Coordonatele

Vârfurile 2160 pot fi definite după cum urmează:

16 permutări ale (± 4,0,0,0,0,0,0,0,0) ale ( 8-ortoplexului )

1120 permutații de (± 2, ± 2, ± 2, ± 2,0,0,0,0) de ( 8-ortoplex trirectificat )

1024 permutații de (± 3, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) cu un număr impar de semne minus

Constructie

Este creat de o construcție Wythoff pe un set de 8 oglinzi hiperplan în spațiu 8-dimensional.

Informațiile despre fațetă pot fi extrase din diagrama Coxeter-Dynkin :.

Scoaterea nodului de pe ramura scurtă lasă 7-simplex :. Există 17280 de aceste fațete

Scoaterea nodului de la capătul ramurii de 4 lungimi lasă 2 ₃₁ ,. Există 240 dintre aceste fațete. Acestea sunt centrate la pozițiile celor 240 de vârfuri din politopul 4 ₂₁ .

Cifra nod este determinată prin eliminarea nodului inelate și de apel nodul vecin. Acest lucru face ca 7-demicube , 1 ₄₁ ,.

Văzute într-o matrice de configurație , numărul de elemente poate fi derivat prin eliminarea oglinzii și raporturile comenzilor grupului Coxeter .

E 8		k -față	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4		f 5		f 6		f 7		k -figura	note
D 7		()	f 0	2160	64	672	2240	560	2240	280	1344	84	448	14	64	h {4,3,3,3,3,3}	E 8 / D 7 = 192 * 10! / 64/7! = 2160
A 6 A 1		{}	f 1	2	69120	21	105	35	140	35	105	21	42	7	7	r {3,3,3,3,3}	E 8 / A 6 A 1 = 192 * 10! / 7! / 2 = 69120
A 4 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	483840	10	5	20	10	20	10	10	5	2	{} x {3,3,3}	E 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 * 10! / 5! / 3! / 2 = 483840
A 3 A 3		{3,3}	f 3	4	6	4	1209600	1	4	4	6	6	4	4	1	{3,3} V ()	E 8 / A 3 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600
A 4 A 3		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	241920	*	4	0	6	0	4	0	{3,3}	E 8 / A 4 A 3 = 192 * 10! / 5! / 4! = 241920
A 4 A 2				5	10	10	5	*	967680	1	3	3	3	3	1	{3} V ()	E 8 / A 4 A 2 = 192 * 10! / 5! / 3! = 967680
D 5 A 2		{3,3,3 1,1 }	f 5	10	40	80	80	16	16	60480	*	3	0	3	0	{3}	E 8 / D 5 A 2 = 192 * 10! / 16/5! / 2 = 40480
A 5 A 1		{3,3,3,3}		6	15	20	15	0	6	*	483840	1	2	2	1	{} V ()	E 8 / A 5 A 1 = 192 * 10! / 6! / 2 = 483840
E 6 A 1		{3,3,3 2,1 }	f 6	27	216	720	1080	216	432	27	72	6720	*	2	0	{}	E 8 / E 6 A 1 = 192 * 10! / 72/6! = 6720
A 6		{3,3,3,3,3}		7	21	35	35	0	21	0	7	*	138240	1	1		E 8 / A 6 = 192 * 10! / 7! = 138240
E 7		{3,3,3 3,1 }	f 7	126	2016	10080	20160	4032	12096	756	4032	56	576	240	*	()	E 8 / E 7 = 192 * 10! / 72! / 8! = 240
A 7		{3,3,3,3,3,3}		8	28	56	70	0	56	0	28	0	8	*	17280		E 8 / A 7 = 192 * 10! / 8! = 17280

Imagini

Afișat în proiecție 3D folosind vectorii de bază [u, v, w] care dau simetrie H3: 2160 proiectat 2 ₄₁ noduri polytope sunt sortate și înregistrate prin norma 3D generarea carenele din ce în ce transparente pentru fiecare set de norme numarate. Vârfurile suprapuse sunt codate prin culoare prin numărul de suprapuneri. De asemenea, este afișată o listă a fiecărui grup de corpuri, distanța normală de la origine și numărul de vârfuri din grup.

2160 a proiectat 2 _{41 de} politop proiectat la 3D (ca mai sus) cu fiecare grup de carcase Norm'd listat individual cu număr de vârfuri. Observați că ultimele două corpuri exterioare sunt o combinație de două Icosaedre suprapuse (24) și un Icosidodecaedru (30).

Proiecțiile poligonului Petrie pot avea 12, 18 sau 30 de fețe pe baza simetriilor E6, E7 și E8. Cele 2160 de vârfuri sunt afișate toate, dar formele de simetrie inferioară au poziții proiectate care se suprapun, arătate ca vârfuri colorate diferite. Pentru comparație, este prezentat și un grup de coxeter B6.

E8 [30]	[20]	[24]
(1)
E7 [18]	E6 [12]	[6]
	(1,8,24,32)

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
	(1,3,9,12,18,21,36)
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

Politopi și faguri asociați

2 k 1 figuri în n dimensiuni
Spaţiu	Finit						Euclidian	Hiperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Grupul Coxeter	E 3 = A 2 A 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Diagrama Coxeter
Simetrie	[3 -1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordin	12	120	384	51.840	2.903.040	696.729.600	∞
Grafic							-	-
Nume	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Politop 2_41 rectificat

Rectificată 2 41 polytope
Tip	Uniforma 8-polytope
Simbolul Schläfli	t 1 {3,3,3 4,1 }
Simbolul Coxeter	t 1 (2 41 )
Diagrama Coxeter
7 fețe	19680 în total: 240 t 1 (2 21 ) 17280 t 1 {3 6 } 2160 1 41
6 fețe	313440
5 fețe	1693440
4 fețe	4717440
Celulele	7257600
Fețe	5322240
Margini	19680
Vârfuri	69120
Figura Vertex	prisma 6-simplex rectificată
Poligonul Petrie	30-gon
Grupul Coxeter	E 8 , [3 4,2,1 ]
Proprietăți	convex

Rectificat 2 ₄₁ este o rectificare a 2 ₄₁ politopii, cu noduri poziționate la mijlocul muchiilor 2 ₄₁ .

Denumiri alternative

• Rectified Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton for 240-17280 rectified polyzetton facetted (known as short as robay)

Constructie

Este creat de o construcție Wythoff pe un set de 8 oglinzi hiperplan în spațiu 8-dimensional, definit de vectori rădăcină din grupul E ₈ Coxeter .

Informațiile despre fațetă pot fi extrase din diagrama Coxeter-Dynkin :.

Scoaterea nodului de pe ramura scurtă lasă 7-simplexul rectificat :.

Scoaterea nodului de la capătul ramurii cu 4 lungimi lasă 2 ₃₁ rectificat ,.

Îndepărtarea nodului de la capătul ramurii cu 2 lungimi părăsește 7-demicub , 1 ₄₁.

Cifra nod este determinată prin eliminarea nodului inelate și de apel nodul vecin. Acest lucru face ca prisma rectificată cu 6 simplex ,.

Vizualizări

Proiecțiile poligonului Petrie pot avea 12, 18 sau 30 de fețe pe baza simetriilor E6, E7 și E8. Cele 2160 de vârfuri sunt afișate toate, dar formele de simetrie inferioară au poziții proiectate care se suprapun, arătate ca vârfuri colorate diferite. Pentru comparație, este prezentat și un grup de coxeter B6.

E8 [30]	[20]	[24]
(1)
E7 [18]	E6 [12]	[6]
	(1,8,24,32)

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
	(1,3,9,12,18,21,36)
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

Vezi si

• Lista politopilor E8

Note

Referințe

• Elte, EL (1912), Politopii semiregulari ai hiperspațiilor , Groningen: Universitatea din Groningen
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , ediția a treia, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editat de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Lucrarea 24) HSM Coxeter, Politopi regulat și semi-regulat III , [Mat. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Klitzing, Richard. „8D Poligetta uniformă” . x3o3o3o * c3o3o3o3o - golf, o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay