6 polipi uniforme - Uniform 6-polytope

Graficele a trei polipopi uniforme regulate și conexe

6-simplex				6-simplex trunchiate				Rectificat 6-simplex
Cantellate 6-simplex						6-simplex rcinat
6-simplex sterilizat						Pentellat 6-simplex
6-orthoplex				Trunchiate 6-ortoplex				6-ortoplexă rectificată
6-ortoplex cantellat				6-ortoplexă runcinată				6-ortoplexă sterilizată
Cantellat cu 6 cuburi						Runcinat cu 6 cuburi
Stericated 6-cub						Pentulat cu 6 cuburi
6-cub				Trunchiate cu 6 cuburi				Rectificat 6-cub
6-demicube				6-demicube trunchiate				Cantellated 6-demicube
Runcinat 6-demicube						6-demicub sterilizat
2 21						1 22
Trunchiat 2 21						Trunchiat 1 22

În șase dimensiuni geometrie , un polypeton uniform (sau uniform 6-polytope ) este un șase-dimensional polytope uniform . Un polieton uniform este tranzitoriu pe verticală , iar toate fațetele sunt 5- polipope uniforme .

Setul complet de polipe beta uniforme convexe nu a fost determinat, dar cele mai multe pot fi realizate ca construcții Wythoff dintr-un set mic de grupuri de simetrie . Aceste operațiuni de construcție sunt reprezentate de permutări de inele ale diagramelor Coxeter-Dynkin . Fiecare combinație de cel puțin un inel pe fiecare grup conectat de noduri din diagramă produce un 6-politop uniform.

Cele mai simple polipe uniforme sunt polipopii obișnuiți : 6-simplex {3,3,3,3,3}, 6-cub (hexeract) {4,3,3,3,3} și 6- ortoplex (hexacross ) {3,3,3,3,4}.

Istoria descoperirii

• Politopuri obișnuite : (fețe convexe)
  • 1852 : Ludwig Schläfli a dovedit în manuscrisul său Theorie der vielfachen Kontinuität că există exact 3 politeope obișnuite în 5 sau mai multe dimensiuni .
• Politopi semiregulare convexe : (diverse definiții înaintea categoriei uniforme a lui Coxeter )
  • 1900 : Thorold Gosset a enumerat lista polipopilor convexe semiregulare neprismatice cu fațete obișnuite (polietre obișnuite convexe) în publicația sa „ On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions” .
• Polipope uniforme convexe :
  • 1940 : Căutarea a fost extinsă sistematic de HSM Coxeter în publicația sa Regular and Semi-Regular Polytopes .
• Politopi stelari uniformi neregulari : (similare cu poliedrele uniforme neconvexe )
  • În curs de desfășurare : Mii de polipeți uniforme neconvexe sunt cunoscute, dar mai ales nepublicate. Se presupune că lista nu este completă și nu se estimează cât timp va fi lista completă, deși în prezent sunt cunoscute peste 10000 de polipețe uniforme convexe și non-convexe, în special 923 cu simetrie 6-simplex. Cercetătorii participanți includ Jonathan Bowers , Richard Klitzing și Norman Johnson .

6-polipopi uniformi pe grupe Coxeter fundamentale

6 polipopi uniformi cu simetrie reflectorizantă pot fi generați de aceste patru grupe Coxeter, reprezentate prin permutări ale inelelor diagramelor Coxeter-Dynkin .

Există patru grupuri fundamentale de simetrie reflectorizante care generează 153 polipopi unici uniformi.

#	Grup de coxeter		Diagrama Coxeter-Dynkin
1	A 6	[3,3,3,3,3]
2	B 6	[3,3,3,3,4]
3	D 6	[3,3,3,3 1,1 ]
4	E 6	[3 2,2,1 ]
		[3,3 2,2 ]

Corespondențele diagrama Coxeter-Dynkin între familii și simetrie mai mare în cadrul diagramelor. Nodurile de aceeași culoare din fiecare rând reprezintă oglinzi identice. Nodurile negre nu sunt active în corespondență.

Familii prismatice uniforme

Prismă uniformă

Există 6 prisme uniforme categorice bazate pe 5 polipopi uniformi .

#	Grup de coxeter			notițe
1	A 5 A 1	[3,3,3,3,2]		Familia prismă bazată pe 5-simplex
2	B 5 A 1	[4,3,3,3,2]		Familia prismă bazată pe 5 cuburi
3a	D 5 A 1	[3 2,1,1 , 2]		Familia Prismă bazată pe 5-demicube

#	Grup de coxeter			notițe
4	A 3 I 2 (p) A 1	[3,3,2, p, 2]		Familia prismă bazat pe tetraedrici --p GONAL duoprisms
5	B 3 I 2 (p) A 1	[4,3,2, p, 2]		Familia prismă bazat pe cubi --p GONAL duoprisms
6	H 3 I 2 (p) A 1	[5,3,2, p, 2]		Familia prismă bazat pe dodecahedral --p GONAL duoprisms

Duoprism uniform

Există 11 familii categorice duoprismatice uniforme de politopi, bazate pe produse carteziene ale politopilor uniformi de dimensiuni inferioare. Cinci sunt formate ca produs al unui 4-politop uniform cu un poligon regulat și șase sunt formate din produsul a două poliedre uniforme :

#	Grup de coxeter			notițe
1	A 4 I 2 (p)	[3,3,3,2, p]		Familie bazată pe duoprisme cu 5 celule -p-gonal.
2	B 4 I 2 (p)	[4,3,3,2, p]		Familie bazată pe duoprisme tesseract -p-gonal.
3	F 4 I 2 (p)	[3,4,3,2, p]		Familie bazată pe duoprisme cu 24 de celule -p-gonal.
4	H 4 I 2 (p)	[5,3,3,2, p]		Familie bazată pe duoprisme cu 120 de celule -p-gonal.
5	D 4 I 2 (p)	[3 1,1,1 , 2, p]		Familie bazată pe duoprisme demitesseract -p-gonal.

#	Grup de coxeter			notițe
6	A 3 2	[3,3,2,3,3]		Familie bazată pe duoprisme tetraedrice .
7	A 3 B 3	[3,3,2,4,3]		Familia bazată pe duoprisme tetraedrice - cubice .
8	A 3 H 3	[3,3,2,5,3]		Familie bazat pe tetraedrici - dodecahedral duoprisms.
9	B 3 2	[4,3,2,4,3]		Familie bazată pe duoprisme cubice .
10	B 3 H 3	[4,3,2,5,3]		Familie bazată pe cubi - dodecahedral duoprisms.
11	H 3 2	[5,3,2,5,3]		Familie bazată pe duoprisme dodecedrice.

Triaprism uniform

Există o familie infinită de familii triapismatice uniforme de politeope construite ca produse carteziene din trei poligoane obișnuite. Fiecare combinație de cel puțin un inel pe fiecare grup conectat produce un 6-politop prismatic uniform.

#	Grup de coxeter			notițe
1	I 2 (p) I 2 (q) I 2 (r)	[P, 2, q, 2, r]		Familie bazată pe triprisme p, q, r-gonal

Enumerarea 6-polipope uniforme convexe

• Familia Simplex : A ₆ [3 ⁴ ] -
  • 35 polipopi uniformi ca permutări ale inelelor din diagrama grupului, inclusiv unul obișnuit:
    1. {3 ⁴ } - 6-simplex -
• Hipercub / orthoplex Familia: B ₆ [4,3 ⁴ ] -
  • 63 polipopi uniformi ca permutări ale inelelor în diagrama grupului, inclusiv două forme obișnuite:
    1. {4,3 ³ } - 6-cub (hexeract) -
    2. {3 ³ , 4} - 6- ortoplex, (hexacross) -
• Familia Demihypercube D ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
  • 47 de 6 polipi uniformi (16 unici) ca permutări ale inelelor din diagrama grupului, inclusiv:
    1. {3,3 ^2,1 }, 1 ₂₁ 6-demicube (demihexeract) -; de asemenea ca h {4,3 ³ },
    2. {3,3,3 ^1,1 }, 2 ₁₁ 6-ortoplex -, o formă de jumătate de simetrie de .
• Familia E ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
  • 39 de 6 polipi uniformi (16 unici) ca permutări ale inelelor din diagrama grupului, inclusiv:
    1. {3,3,3 ^2,1 }, 2 ₂₁ -
    2. {3,3 ^2,2 }, 1 ₂₂ -

Aceste familii fundamentale generează 153 polipe beta-uniforme neprismatice.

În plus, există 105 construcții uniforme de 6 polipi, bazate pe prisme ale 5-politopurilor uniforme : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [5,3, 3,3,2], [3 ^2,1,1 , 2].

În plus, există infinit de multe polipopuri uniforme bazate pe:

1. Familii cu prisma duoprismului: [3,3,2, p, 2], [4,3,2, p, 2], [5,3,2, p, 2].
2. Familii de duoprism: [3,3,3,2, p], [4,3,3,2, p], [5,3,3,2, p].
3. Familia Triaprismului: [p, 2, q, 2, r].

A ₆ Familia

Există 32 + 4 –1 = 35 forme, derivate prin marcarea unuia sau a mai multor noduri din diagrama Coxeter-Dynkin . Toate cele 35 sunt enumerate mai jos. Ei sunt numiți de Norman Johnson din operațiunile de construcție Wythoff după regulat 6-simplex (heptapeton). Numele acronimelor în stil Bowers sunt date între paranteze pentru referințe încrucișate.

Familia A ₆ are simetrie de ordinul 5040 ( factorial 7 ).

Coordonatele 6-polipopi uniforme cu 6-simetrie simple pot fi generate ca permutări de întregi simple în 7 spații, toate în hiperplane cu vector normal (1,1,1,1,1,1,1).

#	Coxeter-Dynkin	Sistem de denumire Johnson Bowers nume și (acronim)	Punctul de baza	Numărul elementelor
				5	4	3	2	1	0
1		Heptapeton 6-simplex (hop)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		Heptapeton (ril) rectificat 6-simplu rectificat	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		Heptapeton trunchiat 6-simplex trunchiat (til)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Heptapeton bireificat 6-simplex birectificat (bril)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		Heptapeton rombat (6 sril)	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		Heptapeton bitruncat 6-simplex bitruncat (batal)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Cantitruncat 6-simplex mare heptapeton rombat (gril)	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		Heptapeton prismat cu 6 simplex rcinat (spil)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Heptapeton birhombat mic cu 6 simplex bicantellat (sabril)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Heptapeton prismatotruncat cu 6 simple runcitruncat (patal)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		Tetradecapeton 6-simple triturate (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Heptapeton prismator cu 6 simplex runcicantellat (pril)	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		Heptapeton birhombat cu 6 simplex bicantitruncat (gabril)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Runcicantitruncated 6-simplex mare heptapeton prismat (gapil)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		Heptapeton cu celule mici, 6-simple, sterilizate (scalare)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Biripcinat 6-simplex biprismato-tetradecapeton (sibpof)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Heptapeton sterilizat cu 6 simplex celitruncat (catal)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Heptapeton sterilizat cu 6 simplex cu celule simple (cral)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Heptapeton bifrismator cu 6 simplex biruncitruncat (bapril)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Heptapeton (cu cagral) cu 6-simplex celigreatorcratat	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		Heptapeton sterilizat cu 6 simplex celiprismate (copal)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		Heptapeton steripunmatruncat cu 6-simplex celulară (captal)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Heptapeton stabilizat cu 6-simplex celular-simpatic (copril)	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Biruncicantitruncated 6-simplex mare biprismato-tetradecapeton (gibpof)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Steriruncicantitruncat 6-simplex heptapeton celular mare (gacal)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Teri -tetradecapeton mic cu 6-simplex pentelate (personal)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Heptapeton teracelat cu 6 simplex pentitruncat (tocal)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		Heptapeton teriprismat penticantelat cu 6 simplex (topal)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Heptapeton penticantitruncat 6-simplex terigreatorhombated (togral)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Heptapeton tericelicombinat cu 6 simplex pentiruncitruncat (tocral)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		Pentiruncicantellat 6-simplex teriprismatorhombi-tetradecapeton (taporf)	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Penticuncicantitruncat cu 6-simplex terigreatoprismat heptapeton (tagopal)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Pentisteritruncated 6-simplex tericellitrunki-tetradecapeton (tactaf)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Pentistericantantitucat 6-simplex tericeligeneratorul heptapeton bătut (tacogral)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		Omnitruncat 6-simplex mare teri-tetradecapeton (gotaf)	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

B ₆ Familia

Există 63 de formulare bazate pe toate permutiile diagramelor Coxeter-Dynkin cu unul sau mai multe inele.

Familia B ₆ are simetrie de ordinul 46080 (6 factorial x 2 ⁶ ).

Ei sunt numiți de Norman Johnson din operațiunile de construcție Wythoff la obișnuitele 6-cub și 6-ortoplex. Numele Bowers și numele acronimelor sunt date pentru referință încrucișată.

#	Diagrama Coxeter-Dynkin	Simbolul Schläfli	Nume	Numărul elementelor
				5	4	3	2	1	0
36		t 0 {3,3,3,3,4}	Hexacontatetrapeton 6- ortoplex (gee)	64	192	240	160	60	12
37		t 1 {3,3,3,3,4}	6- ortoplexă rectificată Hexacontatetrapeton redus	76	576	1200	1120	480	60
38		t 2 {3,3,3,3,4}	6-orthoplex Birectificat hexacontatetrapeton (brag)	76	636	2160	2880	1440	160
39		t 2 {4,3,3,3,3}	Birectificat cu 6 cuburi Hexeract birectificat (brox)	76	636	2080	3200	1920	240
40		t 1 {4,3,3,3,3}	Rectificat cu 6 cuburi Hexeract rectificat (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41		t 0 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu 6 cuburi (topor)	12	60	160	240	192	64
42		t 0,1 {3,3,3,3,4}	Trunchiate cu 6 ortopedice hexacontatetrapeton trunchiate (etichetă)	76	576	1200	1120	540	120
43		t 0,2 {3,3,3,3,4}	Hexacontatetrapeton (srog) cu dimensiuni reduse	136	1656	5040	6400	3360	480
44		t 1,2 {3,3,3,3,4}	6- ortoplexă bitruncată hexacontatetrapeton bitruncat (botag)					1920	480
45		t 0,3 {3,3,3,3,4}	6- ortoplexă rcinată cu mic hexacontatetrapeton prismat (spog)					7200	960
46		t 1,3 {3,3,3,3,4}	6- ortoplex bicantellate cu mic hexacontatetrapeton birhombat (siborg)					8640	1440
47		t 2,3 {4,3,3,3,3}	Hexeractihexacontitetrapeton tritruncat cu 6 cuburi (lucrări)					3360	960
48		t 0,4 {3,3,3,3,4}	Stericated 6- ortoplex Hexacontatetrapeton cu celule mici (scag)					5760	960
49		t 1,4 {4,3,3,3,3}	Biruncinat cu 6 cuburi Biprismato-hexeractihexacontitetrapeton mic (sobpoxog)					11520	1920
50		t 1,3 {4,3,3,3,3}	Hexeract birhombat mic cu 6 cuburi bicantellat (saborx)					9600	1920
51		t 1,2 {4,3,3,3,3}	Bitruncată cu 6 cuburi Hexeract bitruncat (botox)					2880	960
52		t 0,5 {4,3,3,3,3}	Terci-hexeractihexacontitetrapeton mic cu 6 cuburi (stoxog)					1920	384
53		t 0,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu celule mici cu 6 cuburi sterilizate (scox)					5760	960
54		t 0,3 {4,3,3,3,3}	Hexeract prismat mic (6 spox)					7680	1280
55		t 0,2 {4,3,3,3,3}	Hexeract (srox) cu dimensiuni mici de 6 cuburi					4800	960
56		t 0,1 {4,3,3,3,3}	Truncată cu 6 cuburi Hexeract trunchiat (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		t 0,1,2 {3,3,3,3,4}	Cantitruncated 6- ortoplex Mare hexacontatetrapeton rombat (grog)					3840	960
58		t 0,1,3 {3,3,3,3,4}	Runcitruncat 6- ortoplexx Prismatotruncat hexacontatetrapeton (potag)					15840	2880
59		t 0,2,3 {3,3,3,3,4}	Prismator cu hexacontatetrapeton (prog)					11520	2880
60		t 1,2,3 {3,3,3,3,4}	Bicantitruncated 6- ortoplex Great hexacontatetrapeton birhombated (gaborg)					10080	2880
61		t 0,1,4 {3,3,3,3,4}	Steritruncată cu 6 ortopedice cu hexacontatetrapeton celitruncat (catog)					19200	3840
62		t 0,2,4 {3,3,3,3,4}	Stericantelate cu 6 ortopatx hexacontatetrapeton (crag) cu hiperbombat					28800	5760
63		t 1,2,4 {3,3,3,3,4}	Biruncitruncat cu 6 ortoplexi Biprismatotruncat hexacontatetrapeton (boprax)					23040	5760
64		t 0,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncinat cu 6 ortopedice hexacontatetrapeton celiprismat (copog)					15360	3840
65		t 1,2,4 {4,3,3,3,3}	Biruncitruncat cu 6 cuburi Hexeract biprismatotruncat (boprag)					23040	5760
66		t 1,2,3 {4,3,3,3,3}	Hexeract bihombatat cu 6 cuburi bicantitruncat (gaborx)					11520	3840
67		t 0,1,5 {3,3,3,3,4}	Pentitruncată cu 6 ortoplexe hexacontatetrapeton teritruncat (tacox)					8640	1920
68		t 0,2,5 {3,3,3,3,4}	Penticantelate cu 6 ortoplexe hexacontatetrapeton termohombat (tapox)					21120	3840
69		t 0,3,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract celiprismat cu 6 cuburi sterilizat (copox)					15360	3840
70		t 0,2,5 {4,3,3,3,3}	Hexeract tericombinat cu 6 cuburi penticantelate (topag)					21120	3840
71		t 0,2,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu celulă atomizată cu 6 cuburi stericantelate (crax)					28800	5760
72		t 0,2,3 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu prismator cu 6 cuburi runicicellate (prox)					13440	3840
73		t 0,1,5 {4,3,3,3,3}	Pentitruncat cu 6 cuburi Hexeract teritruncat (tacog)					8640	1920
74		t 0,1,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu 6 cuburi sterilizat (catax)					19200	3840
75		t 0,1,3 {4,3,3,3,3}	Runcitruncat cu 6 cuburi Prismatotruncated hexeract (potax)					17280	3840
76		t 0,1,2 {4,3,3,3,3}	Cantitruncată cu 6 cuburi Mare hexeract rombat (grox)					5760	1920
77		t 0,1,2,3 {3,3,3,3,4}	Runcicantitruncated 6- ortoplex Mare hexacontatetrapeton prismat (gopog)					20160	5760
78		t 0,1,2,4 {3,3,3,3,4}	Stericantitruncated 6- ortoplex Celligreator hexacontatetrapeton (Cagorg)					46080	11520
79		t 0,1,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncitruncată cu 6 ortopedii Celiprismatotruncată hexacontatetrapeton (captog)					40320	11520
80		t 0,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncicantelat cu 6 ortoplexuri Celliprismator hexacontatetrapeton (coprag)					40320	11520
81		t 1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Biruncicantitruncat cu 6 cuburi Biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog)					34560	11520
82		t 0,1,2,5 {3,3,3,3,4}	Penticantitruncat cu 6- ortoplexx-terigreator - hexacontatetrapeton umplut (togrig)					30720	7680
83		t 0,1,3,5 {3,3,3,3,4}	Pentiruncitruncată cu 6 ortopedii Teriprismatotruncată hexacontatetrapeton (tocrax)					51840	11520
84		t 0,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Teriprismatorhombi -hexeractihexacontitetrapeton (tiprixog) pentiruncicantellat cu 6 cuburi					46080	11520
85		t 0,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract sângerat cu celule de 6 cuburi steriruncicantellate (coprix)					40320	11520
86		t 0,1,4,5 {4,3,3,3,3}	Pentisteritruncated 6-cub Tericelli-hexeractihexacontitetrapeton (tactaxog)					30720	7680
87		t 0,1,3,5 {4,3,3,3,3}	Hexeract teriprismatotruncat cu 6 cuburi pentiruncitruncat (tocrag)					51840	11520
88		t 0,1,3,4 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu celiprismatotruncat cu 6 cuburi steriruncitruncat (captix)					40320	11520
89		t 0,1,2,5 {4,3,3,3,3}	Hexeract cu terciopilare cu 6 cuburi penticantitruncat (togrix)					30720	7680
90		t 0,1,2,4 {4,3,3,3,3}	Stericantitruncat cu 6 cuburi Celligreator hexeract bătut (cagorx)					46080	11520
91		t 0,1,2,3 {4,3,3,3,3}	Runcicantitruncat cu 6 cuburi Mare hexeract prismat (gipsă)					23040	7680
92		t 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,4}	Steriruncicantitruncată cu 6 ortopedii Hexacontatetrapeton celular mare (gocog)					69120	23040
93		t 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,4}	Pentiruncicantitruncată cu 6 ortopedii Terigreatoprismată hexacontatetrapeton (tagpog)					80640	23040
94		t 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,4}	Penticericantantitronizat 6- ortoplexx Tericelligreatorhombated hexacontatetrapeton (tecagorg)					80640	23040
95		t 0,1,2,4,5 {4,3,3,3,3}	Penticericantantitronizat cu 6 cuburi Tericeligerator hexeract bătut (tocagrax)					80640	23040
96		t 0,1,2,3,5 {4,3,3,3,3}	Penticuncicantitruncat cu 6 cuburi Hexeract terigreatoprismat (vârf)					80640	23040
97		t 0,1,2,3,4 {4,3,3,3,3}	Steriruncicantitruncat cu 6 cuburi Hexeract celular mare (gocax)					69120	23040
98		t 0,1,2,3,4,5 {4,3,3,3,3}	Omnitruncat cu 6 cuburi Mare teri-hexeractihexacontitetrapeton (gotaxog)					138240	46080

D ₆ Familia

Familia D ₆ are simetrie de ordinul 23040 (6 factorial x 2 ⁵ ).

Această familie are 3 × 16 –1 = 47 politopi uniformi Wythoffian, generați prin marcarea unuia sau mai multor noduri din diagrama D ₆ Coxeter-Dynkin . Dintre acestea, 31 (2 × 16–1) sunt repetate din familia B ₆ și 16 sunt unice pentru această familie. Cele 16 forme unice sunt enumerate mai jos. Numele acronimelor în stil Bowers sunt date pentru referințe încrucișate.

#	Diagrama coxeterului	Nume	Punct de bază (semnat alternativ)	Numărul elementelor						Circumrad
				5	4	3	2	1	0
99	=	Hemihexeract cu 6 demicube (hax)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0.8660254
100	=	Hemihexeract trunchiat cu 6 cuburi (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	=	Hemihexeract runbic cu 6 cuburi (sirhax)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1.9364916
102	=	Steric 6-cubi Hemihexeract prismat mic (suphax)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1.6583123
103	=	Demihexeract pentic cu 6 cuburi (sochax)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1.3228756
104	=	Runcicantic 6-cub Mare hemihexeract rombat (girhax)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920	3.2787192
105	=	Stericantic hemihexeract cu 6 cuburi Prismatotruncat (pithax)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2.95804
106	=	Hemihexeract sterilizat cu 6 cuburi prismatoromate (prohax)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920	2.7838821
107	=	Hemihexeract penticantic cu 6 cuburi (catix)	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920	2.5980761
108	=	Hemihexeract pentiruncic cu 6 cuburi (crohax)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920	2.3979158
109	=	Hemihexeract pentiperic cu 6 cuburi (cophix)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2.1794496
110	=	Steriruncicantic 6-cub Mare hemihexeract prismat (gofa)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4.0926762
111	=	Heihexeract penticuncicantic cu 6 cuburi Celligreator (cagrohax)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3.7080991
112	=	Hemihexeract pentipericmatotruncat cu 6 cuburi (penttheric)	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3.4278274
113	=	Hemihexeract penticirmonicic cu 6 cuburi (caprohax)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3.2787192
114	=	Pentisteriruncicantic 6-cub Mare hemihexeract celular (gochax)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4.5552168

E ₆ Familia

Există 39 de formulare bazate pe toate permutiile diagramelor Coxeter-Dynkin cu unul sau mai multe inele. Numele acronimelor în stil Bowers sunt date pentru referințe încrucișate. Familia E ₆ are simetrie de ordinul 51.840.

#	Diagrama coxeterului	Nume	Numărul elementelor
			5-fețe	4 chipuri	celulele	feţele	Margini	nodurile
115		2 21 Icosiheptaheptacontidipeton (jak)	99	648	1080	720	216	27
116		Rectificat 2 21 Ricosificat icosiheptaheptacontidipeton (rojak)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Trunchiat 2 21 icosiheptaheptacontidipeton trunchiat (tojak)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Cantellate 2 21 Mic icosiheptaheptacontidipeton rombat (sirjak)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinat 2 21 Mic icosiheptaheptacontidipeton demiprismat (shopjak)	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Icosiheptaheptacontidipeton (hejak)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncated 2 21 icosiheptaheptacontidipeton bitruncat (botajik)						2160
122		Icosiheptaheptacontidipeton (harjak)						1080
123		Cantitruncated 2 21 Mare icosiheptaheptacontidipeton rombat (girjak)						4320
124		Runcitruncated 2 21 Demiprismatotruncated icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		Steritruncated 2 21 icosiheptaheptacontidipeton (catarat)						2160
126		Icosiheptaheptacontidipeton demitruncat (hotjak)						2160
127		Runcicantelate 2 21 Demiprismator icosiheptaheptacontidipeton (haprojak)						6480
128		Mic icosiheptaheptacontidipeton demirhombat (shorjak)						4320
129		Mic icosiheptaheptacontidipeton prismat (spojak)						4320
130		Icosiheptaheptacontidipeton triturat (titajak)						4320
131		Runcicantitruncated 2 21 Mare icosiheptaheptacontidipeton demiprismat (ghopjak)						12960
132		Stericantitruncated 2 21 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		Icosiheptaheptacontidipeton mare demirhombat (ghorjak)						8640
134		Icosiheptaheptacontidipeton prismatotruncat (potjak)						12960
135		Icosiheptaheptacontidipeton demicelitruncat (hictijik)						8640
136		Icosiheptaheptacontidipeton cu prismatorhombated (proiectak)						12960
137		Mare icosiheptaheptacontidipeton prismat (gapjak)						25920
138		Demicelligreator-icosiheptaheptacontidipeton (hocgarjik)						25920

#	Diagrama coxeterului	Nume	Numărul elementelor
			5-fețe	4 chipuri	celulele	feţele	Margini	nodurile
139	=	1 22 Pentacontatetrapeton (mo)	54	702	2160	2160	720	72
140	=	Rectificat 1 22 Pentacontatetrapeton (ram)	126	1566	6480	10800	6480	720
141	=	Birectificat 1 22 Pentacontatetrapeton direcționat (bar)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	=	Trirectificat 1 22 Pentacontatetrapeton trirectificat (trim)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	=	Trunchiat 1 22 Pentacontatetrapeton trunchiat (tim)					13680	1440
144	=	Bitruncat 1 22 Pentacontatetrapeton bitruncat (bitem)						6480
145	=	Tritruncat 1 22 Pentacontatetrapeton triturat (titam)						8640
146	=	Cantellated 1 22 Pentacontatetrapeton mic romboșat (sram)						6480
147	=	Cantitruncată 1 22 Mare pentacontatetrapeton rombat (gram)						12960
148	=	Runcinat 1 22 Mic pentacontatetrapeton prismat (spam)						2160
149	=	Bicantelat 1 22 Pentacontatetrapeton mic birhombat (sabrim)						6480
150	=	Bicantitruncated 1 22 Mare pentacontatetrapeton birhombat (gabrim)						12960
151	=	Runcitruncated 1 22 Prismatotruncated pentacontatetrapeton (patom)						12960
152	=	Runcicantelate 1 22 Pentacontatetrapeton prismatorhombated (prom)						25920
153	=	Omnitruncated 1 22 Mare pentacontatetrapeton prismat (gopam)						51840

6-Polipopii non-Wythoffieni

În 6 dimensiuni și mai sus, există o cantitate infinită de politopi uniformi convexe non-Wythoffieni, ca produs cartezian al Marelui antiprism în 4 dimensiuni și un poligon regulat în 2 dimensiuni. Nu este încă dovedit dacă există sau nu mai multe.

Faguri obișnuite și uniforme

Corespondențele diagrama Coxeter-Dynkin între familii și simetrie mai mare în cadrul diagramelor. Nodurile de aceeași culoare din fiecare rând reprezintă oglinzi identice. Nodurile negre nu sunt active în corespondență.

Există patru grupe fundamentale de Coxeter afin și 27 de grupuri prismatice care generează țesături regulate și uniforme în 5 spații:

#	Grup de coxeter		Diagrama coxeterului	Formulare
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$	[3 [6] ]		12
2	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$	[4,3 3 , 4]		35
3	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	[4,3,3 1,1 ] [4,3 3 , 4,1 + ]		47 (16 noi)
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$	[3 1,1 , 3,3 1,1 ] [1 + , 4,3 3 , 4,1 + ]		20 (3 noi)

Fagurii obișnuiți și uniformi includ:

• ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {5}}$ Există 12 fagure unice uniforme, inclusiv:
  • 5-simplex fagure
  • Fagure trunchiat 5-simplex
  • Fagure omnitruncat 5-simplex
• ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}$ Există 35 de faguri uniformi, inclusiv:
  • Fagure hipercub regulat de 5 spații euclidiene, fagure de 5 cuburi , cu simboluri {4,3 ³ , 4}, =
• ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$ Există 47 de fagure uniforme, 16 noi, inclusiv:
  • Uniformă alternat fagure hipercub , fagure 5-demicubic , cu simboluri h {4,3 ³ , 4}, = =
• ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$, [3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]: Există 20 de permutări sonore unice și 3 noi. Coxeter numește primul sfert un sfert de 5 cubi , cu simboluri q {4,3 ³ , 4}, = . Celelalte două noi sunt = . = .

Grupuri prismatice

#	Grup de coxeter		Diagrama Coxeter-Dynkin
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [5] , 2, ∞]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3 1,1 , 2, ∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,3,4,2, ∞]
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 1,1,1,1 , 2, ∞]
5	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$X${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3,4,3,3,2, ∞]
6	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞, 2, ∞]
7	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 1,1 , 2, ∞, 2, ∞]
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [4] , 2, ∞, 2, ∞]
9	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{2}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
10	${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {2}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
11	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
12	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$x x x x${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
13	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,3 [3] , 2, ∞]
14	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,4,4,2, ∞]
15	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 [3] , 2,6,3,2, ∞]
16	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,4,4,2, ∞]
17	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2,6,3,2, ∞]
18	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$x x${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2,6,3,2, ∞]
19	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,3 [3] ]
20	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,3 [3] ]
21	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[4,3,4,2,3 [3] ]
22	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,4,4]
23	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,4,4]
24	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[3 [4] , 2,6,3]
26	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[4,3 1,1 , 2,6,3]
27	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{3}}$X${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[4,3,4,2,6,3]

Fagure hiperbolice regulate și uniforme

Nu există grupuri coxeter hiperbolice compacte de rangul 6, grupuri care pot genera faguri cu toate fațetele finite și o figură de vertex finit . Cu toate acestea, există 12 grupuri Coxeter hiperbolice necompacte de rangul 6, fiecare generând faguri uniformi în 5 spații ca permutări ale inelelor diagramelor Coxeter.