8-cub - 8-cube

Octeract cu 8 cuburi
Proiecție ortogonală în interiorul poligonului Petrie
Tip	8-politip regulat
Familie	hipercub
Simbolul Schläfli	{4,3 6 }
Diagrame Coxeter-Dynkin
7-fețe	16 {4,3 5 }
6-fețe	112 {4,3 4 }
5-fețe	448 {4,3 3 }
4 chipuri	1120 {4,3 2 }
celulele	1792 {4,3}
feţele	1792 {4}
Margini	1024
nodurile	256
Figura vertexului	7-simplex
Poligonul Petrie	hexadecagon
Grup de coxeter	C 8 , [3 6 , 4]
Dual	8-orthoplex
Proprietăți	convex

În geometrie , un 8-cub este un hipercub de opt dimensiuni (8-cub). Are 256 vârfuri , 1024 muchii , 1792 fețe pătrate , 1792 celule cubice , 1120 tesseract cu 4 fețe , 448 5 cuburi cu 5 fețe , 112 6 cuburi 6 fețe și 16 7 cuburi cu 7 fețe .

Este reprezentat de simbolul Schläfli {4,3 ⁶ }, fiind compus din 3 7-cuburi în jurul fiecărei fețe. Se numește octeract , portmanteau de tesseract ( 4-cub ) și oct pentru opt (dimensiuni) în greacă . Poate fi, de asemenea, numit hexdeca-8-tope sau hexadecazetton obișnuit , fiind un poliprop 8 dimensional construit din 16 fațete obișnuite .

Este o parte dintr-o familie infinită de politopi, numiți hipercubi . Dualul unui cub de 8 poate fi numit un 8-orthoplex , și face parte din familia infinit de cross-polytopes .

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene pentru vârfurile unui 8 cuburi centrate la origine și lungimea muchiei 2 sunt

(± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1)

în timp ce interiorul aceluiași este format din toate punctele (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆ , x ₇ ) cu -1 <x _i <1.

Ca configurație

Această matrice de configurare reprezintă 8-cubul. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, marginilor, fețelor, celulelor, 4 fețe, 5 fețe, 6 fețe și 7 fețe. Numerele diagonale spun câte dintre fiecare element apar în întregul 8-cub. Numerele netagonale spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul rândului.

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 256 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 \\ 2 & 1024 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 \\ 4 & 4 & 1792 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 8 & 12 & 6 & 1792 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 16 & 32 & 24 & 8 & 1120 & 4 & 6 & 4 \\ 32 & 80 & 80 & 40 & 10 & 448 & 3 & 3 \\ 64 & 192 & 240 & 160 & 60 & 12 & 112 & 2 \\ 128 & 448 & 672 & 560 & 280 & 84 & 14 & 16 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Numerele diagonale f-vector sunt derivate prin construcția Wythoff , împărțind ordinea completă a grupului unui ordin de subgrup prin eliminarea unei oglinzi simultan.

B 8		k-față	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	f 7	k -figură	notițe
A 7		()	f 0	256	8	28	56	70	56	28	8	{3,3,3,3,3,3}	B 8 / A 7 = 2 ^ 8 * 8! / 8! = 256
A 6 A 1		{}	f 1	2	1024	7	21	35	35	21	7	{3,3,3,3,3}	B 8 / A 6 A 1 = 2 ^ 8 * 8! / 7! / 2 = 1024
A 5 B 2		{4}	f 2	4	4	1792	6	15	20	15	6	{3,3,3,3}	B 8 / A 5 B 2 = 2 ^ 8 * 8! / 6! / 4/2 = 1792
A 4 B 3		{4,3}	f 3	8	12	6	1792	5	10	10	5	{3,3,3}	B 8 / A 4 B 3 = 2 ^ 8 * 8! / 5! / 8/3! = 1792
A 3 B 4		{4,3,3}	f 4	16	32	24	8	1120	4	6	4	{3,3}	B 8 / A 3 B 4 = 2 ^ 8 * 8! / 4! / 2 ^ 4/4! = 1120
A 2 B 5		{4,3,3,3}	f 5	32	80	80	40	10	448	3	3	{3}	B 8 / A 2 B 5 = 2 ^ 8 * 8! / 3! / 2 ^ 5/5! = 448
A 1 B 6		{4,3,3,3,3}	f 6	64	192	240	160	60	12	112	2	{}	B 8 / A 1 B 6 = 2 ^ 8 * 8! / 2/2 ^ 6/6! = 112
B 7		{4,3,3,3,3,3}	f 7	128	448	672	560	280	84	14	16	()	B 8 / B 7 = 2 ^ 8 * 8! / 2 ^ 7/7! = 16

proiecţiile

Acest grafic cu 8 cuburi este o proiecție ortogonală . Această orientare arată coloanele de vârfuri poziționate la o distanță de vârf-margine-vertex de la un vertex la stânga la un vertex la dreapta, și margini care atașează coloane adiacente de vârfuri. Numărul de vârfuri din fiecare coloană reprezintă rânduri în triunghiul lui Pascal , fiind 1: 8: 28: 56: 70: 56: 28: 8: 1.

proiecții ortografice

B 8			B 7
[16]			[14]
B 6			B 5
[12]			[10]
B 4		B 3		B 2
[8]		[6]		[4]
A 7		A 5		A 3
[8]		[6]		[4]

Polipope derivate

Aplicarea unei operații de alternanță , ștergerea vertexurilor alternative ale octeractului, creează un alt politop uniform , numit 8-demicube (parte a unei familii infinite numite demihypercubes ), care are 16 fațete demihepteractice și 128 8-simplex.

Referințe

• Coxeter HSM :
  • Coxeter, Polytopes Regular , (ediția a 3 -a , 1973), ediția Dover, ISBN  0-486-61480-8 , p. 296, Tabelul I (iii): Politopi obișnuiți, trei politeți obișnuiți în n-dimensiuni (n≥5)
  • Caleidoscopi: Scrisuri selectate ale HSM Coxeter , editate de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Hârtia 22) Coxeter HSM, Polițe I I Regulare și Semi Regulare , [Matematică. Zeit. 46 (1940) 380-407, 2,10 MR]
    • (Hârtia 23) Coxeter HSM, Polițe II și semirregulare II , [Matematică. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Hârtia 24) Coxeter HSM, Poliți III III și semi-regulat , [Matematică. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Polipopi uniformi Norman Johnson , Manuscris (1991)
  • NW Johnson: Theory of Polytopes Uniform and Honeycombs , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "Polipope uniforme 8D (polietileta) o3o3o3o3o3o3o4x - octo" .

linkuri externe

• Weisstein, Eric W. „Hypercube” . MathWorld .
• Olshevsky, George. „Măsurați polipopul” . Glosar pentru Hyperspace . Arhivat de la original la 4 februarie 2007.
• Glosar multidimensional: hipercub Garrett Jones