Geometrie analitică - Analytic geometry

În matematica clasică, geometria analitică , cunoscută și sub numele de geometrie de coordonate sau geometrie cartesiană , este studiul geometriei folosind un sistem de coordonate . Acest lucru contrastează cu geometria sintetică .

Geometria analitică este utilizată în fizică și inginerie , precum și în aviație , rachete , științe spațiale și zboruri spațiale . Este fundamentul celor mai multe domenii moderne ale geometriei, incluzând geometria algebrică , diferențială , discretă și de calcul .

De obicei, sistemul de coordonate cartezian este aplicat pentru a manipula ecuații pentru planuri , linii drepte și cercuri , adesea în două și uneori trei dimensiuni. Geometric, se studiază planul euclidian ( două dimensiuni ) și spațiul euclidian ( trei dimensiuni ). Așa cum este predat în cărțile școlare, geometria analitică poate fi explicată mai simplu: se referă la definirea și reprezentarea formelor geometrice într-un mod numeric și extragerea informațiilor numerice din definițiile și reprezentările numerice ale formelor. Că algebra numerelor reale poate fi folosită pentru a produce rezultate despre continuumul liniar al geometriei se bazează pe axioma Cantor – Dedekind .

Istorie

Grecia antică

Grec matematician Menaechmus rezolvat probleme și teoreme dovedit prin utilizarea unei metode care a avut o asemănare cu utilizarea coordonatelor și a fost uneori susținut că el a introdus geometria analitică.

Apollonius din Perga , în secțiunea On Determinate , a tratat problemele într-un mod care poate fi numit o geometrie analitică de o dimensiune; cu întrebarea de a găsi puncte pe o linie care să fie în raport cu celelalte. Apollonius în Conics a dezvoltat în continuare o metodă care este atât de similară cu geometria analitică, încât se crede că lucrarea sa a anticipat lucrarea lui Descartes cu aproximativ 1800 de ani. Aplicarea sa de linii de referință, un diametru și o tangentă nu este în esență diferită de utilizarea noastră modernă a unui cadru de coordonate, unde distanțele măsurate de-a lungul diametrului de la punctul de tangență sunt abscise și segmentele paralele cu tangenta și interceptate între axa și curba sunt ordonatele. El a dezvoltat în continuare relații între abscise și ordonatele corespunzătoare, care sunt echivalente cu ecuațiile retorice ale curbelor. Cu toate acestea, deși Apollonius a fost aproape de dezvoltarea geometriei analitice, el nu a reușit să facă acest lucru, deoarece nu a luat în considerare magnitudinile negative și, în fiecare caz, sistemul de coordonate a fost suprapus peste o curbă dată a posteriori în loc de a priori . Adică, ecuațiile au fost determinate de curbe, dar curbele nu au fost determinate de ecuații. Coordonatele, variabilele și ecuațiile au fost noțiuni subsidiare aplicate unei situații geometrice specifice.

Persia

Matematicianul persan Omar Khayyam din secolul al XI-lea a văzut o relație puternică între geometrie și algebră și se deplasa în direcția corectă când a ajutat la reducerea decalajului dintre algebră numerică și geometrică cu soluția sa geometrică a ecuațiilor generale cubice , dar pasul decisiv a venit mai târziu cu Descartes. Lui Omar Khayyam i se atribuie identificarea bazelor geometriei algebrice , iar cartea sa Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), care stabilea principiile geometriei analitice, face parte din corpul matematicii persane care a fost transmis în cele din urmă către Europa. Datorită abordării sale geometrice aprofundate a ecuațiilor algebrice, Khayyam poate fi considerat un precursor al lui Descartes în invenția geometriei analitice.

Europa de Vest

Geometria analitică a fost inventată independent de René Descartes și Pierre de Fermat , deși uneori lui Descartes i se acordă singurul credit. Geometria cartesiană , termenul alternativ folosit pentru geometria analitică, poartă numele lui Descartes.

Descartes a făcut progrese semnificative în ceea ce privește metodele dintr-un eseu intitulat La Geometrie (Geometrie) , unul dintre cele trei eseuri însoțitoare (apendicele), publicat în 1637, împreună cu Discursul său despre metoda pentru direcționarea corectă a motivului și căutarea adevărului în științe , de obicei denumit Discurs despre metodă . La Geometrie , scrisă în limba sa franceză nativă , și principiile sale filosofice, au oferit o bază pentru calcul în Europa. Inițial lucrarea nu a fost bine primită, datorită, parțial, numeroaselor lacune în argumente și ecuații complicate. Abia după traducerea în latină și adăugarea comentariilor lui Van Schooten în 1649 (și lucrări ulterioare ulterioare), capodopera lui Descartes a primit recunoașterea cuvenită.

De asemenea, Pierre de Fermat a fost pionier în dezvoltarea geometriei analitice. Deși nu a fost publicat în timpul vieții sale, o formă manuscrisă de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducere în plan și locuri solide) circula la Paris în 1637, chiar înainte de publicarea Discursului lui Descartes . În mod clar scris și bine primit, Introducerea a pus, de asemenea, bazele geometriei analitice. Diferența cheie între tratamentele lui Fermat și Descartes este o chestiune de punct de vedere: Fermat a început întotdeauna cu o ecuație algebrică și apoi a descris curba geometrică care a satisfăcut-o, în timp ce Descartes a început cu curbe geometrice și a produs ecuațiile lor ca una dintre mai multe proprietăți ale curbelor. . Ca o consecință a acestei abordări, Descartes a trebuit să se ocupe de ecuații mai complicate și a trebuit să dezvolte metodele pentru a lucra cu ecuații polinomiale de grad superior. Leonhard Euler a fost cel care a aplicat prima dată metoda coordonatelor într-un studiu sistematic al curbelor și suprafețelor spațiale.

Coordonatele

Ilustrarea unui plan de coordonate carteziene. Patru puncte sunt marcate și etichetate cu coordonatele lor: (2,3) în verde, (-3,1) în roșu, (-1,5, -2,5) în albastru și originea (0,0) în violet.

În geometria analitică, planului i se oferă un sistem de coordonate, prin care fiecare punct are o pereche de coordonate de număr real . În mod similar, spațiului euclidian îi sunt date coordonate în care fiecare punct are trei coordonate. Valoarea coordonatelor depinde de alegerea punctului inițial de origine. Există o varietate de sisteme de coordonate utilizate, dar cele mai frecvente sunt următoarele:

Coordonate carteziene (într-un plan sau spațiu)

Cel mai comun sistem de coordonate de utilizat este sistemul de coordonate cartezian , unde fiecare punct are o coordonată x care reprezintă poziția sa orizontală și o coordonată y reprezentând poziția sa verticală. Acestea sunt de obicei scrise ca o pereche ordonată ( x , y ). Acest sistem poate fi folosit și pentru geometria tridimensională, unde fiecare punct din spațiul euclidian este reprezentat de un triplu ordonat de coordonate ( x , y , z ).

Coordonate polare (într-un plan)

În coordonatele polare , fiecare punct al planului este reprezentat de distanța sa r de la origine și unghiul său θ , cu θ măsurată în mod normal în sens invers acelor de ceasornic de la axa x pozitivă . Folosind această notație, punctele sunt de obicei scrise ca o pereche ordonată ( r , θ ). Se poate transforma înainte și înapoi între bidimensională carteziene și coordonate polare prin utilizarea acestor formule: . Acest sistem poate fi generalizat în spațiu tridimensional prin utilizarea coordonatelor cilindrice sau sferice . ${\ displaystyle x = r \, \ cos \ theta, \, y = r \, \ sin \ theta; \, r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \, \ theta = \ arctan (y / x)}$

Coordonate cilindrice (într-un spațiu)

În coordonate cilindrice , fiecare punct al spațiului este reprezentat de înălțimea sa z , raza sa r de la axa z și unghiul θ proiecția sa pe planul xy față de axa orizontală.

Coordonate sferice (într-un spațiu)

În coordonate sferice, fiecare punct din spațiu este reprezentat de distanța sa ρ de origine, unghiul θ proiecția sa pe planul xy face în raport cu axa orizontală și unghiul φ pe care îl face în raport cu z- axa . Numele unghiurilor sunt adesea inversate în fizică.

Ecuații și curbe

În geometria analitică, orice ecuație care implică coordonatele specifică un subset al planului, și anume soluția setată pentru ecuație sau locus . De exemplu, ecuația y = x corespunde mulțimii tuturor punctelor de pe plan ale căror coordonate x și coordonate y sunt egale. Aceste puncte formează o linie , iar y = x se spune că este ecuația acestei linii. În general, ecuațiile liniare care implică x și y specifică linii, ecuațiile pătratice specifică secțiuni conice , iar ecuațiile mai complicate descriu figuri mai complicate.

De obicei, o singură ecuație corespunde unei curbe pe plan. Nu este întotdeauna cazul: ecuația trivială x = x specifică întregul plan, iar ecuația x ² + y ² = 0 specifică doar punctul unic (0, 0). În trei dimensiuni, o singură ecuație oferă de obicei o suprafață , iar o curbă trebuie specificată ca intersecție a două suprafețe (a se vedea mai jos) sau ca sistem de ecuații parametrice . Ecuația x ² + y ² = r ² este ecuația pentru orice cerc centrat la origine (0, 0) cu o rază de r.

Linii și avioane

Liniile într-un plan cartezian , sau mai general, în coordonate afine , pot fi descrise algebric prin ecuații liniare . În două dimensiuni, ecuația pentru liniile non-verticale este adesea dată sub forma interceptării pantei :

{\ displaystyle y = mx + b \,}

Unde:

m este panta sau gradientul liniei.

b este interceptarea y a liniei.

x este variabila independentă a funcției y = f ( x ).

Într-o manieră similară modului în care sunt descrise liniile dintr-un spațiu bidimensional folosind o formă de înclinare punctuală pentru ecuațiile lor, planurile dintr-un spațiu tridimensional au o descriere naturală folosind un punct în plan și un vector ortogonal ( vector normal ) pentru a indica „înclinația” acestuia.

Mai exact, să fie vectorul de poziție al unui anumit punct și să fie un vector diferit de zero. Planul determinat de acest punct și vector constă din acele puncte , cu vector de poziție , astfel încât vectorul trasat de la să fie perpendicular pe . Amintind că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor punct este zero, rezultă că planul dorit poate fi descris ca ansamblul tuturor punctelor astfel încât ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} = (a, b, c)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.}

(Punctul de aici înseamnă un produs punct , nu multiplicarea scalară.) Extins, acesta devine

{\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}

care este forma punct-normală a ecuației unui plan. Aceasta este doar o ecuație liniară :

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0, {\ text {where}} d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}

În schimb, se arată cu ușurință că, dacă a , b , c și d sunt constante și a , b și c nu sunt toate zero, atunci graficul ecuației

{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

este un avion având vectorul ca normal. Această ecuație familiară pentru un plan se numește forma generală a ecuației planului. ${\ displaystyle \ mathbf {n} = (a, b, c)}$

În trei dimensiuni, liniile nu pot fi descrise printr-o singură ecuație liniară, deci sunt descrise frecvent prin ecuații parametrice :

{\ displaystyle x = x_ {0} + la \,}

{\ displaystyle y = y_ {0} + bt \,}

{\ displaystyle z = z_ {0} + ct \,}

Unde:

x , y și z sunt toate funcțiile variabilei independente t care variază peste numerele reale.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) este orice punct de pe linie.

a , b și c sunt legate de panta liniei, astfel încât vectorul ( a , b , c ) să fie paralel cu linia.

Secțiuni conice

În sistemul de coordonate carteziene , graficul unei ecuații pătratice în două variabile este întotdeauna o secțiune conică - deși poate fi degenerată și toate secțiunile conice apar în acest fel. Ecuația va fi de formă

{\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 {\ text {cu}} A, B, C {\ text {nu toate zero.}} \,}

Deoarece scalarea tuturor celor șase constante produce același locus de zerouri, se poate considera conicele ca puncte în spațiul proiectiv în cinci dimensiuni ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

Secțiunile conice descrise de această ecuație pot fi clasificate folosind discriminantul

{\ displaystyle B ^ {2} -4AC. \,}

Dacă conica este nedegenerată, atunci:

dacă , ecuația reprezintă o elipsă
; ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0}$ $B ^ {2} -4AC <0$
- dacă și , ecuația reprezintă un
cerc , care este un caz special al unei elipse; ${\ displaystyle A = C}$ ${\ displaystyle B = 0}$

dacă , ecuația reprezintă o parabolă ;

{\ displaystyle B ^ {2} -4AC = 0}

dacă , ecuația reprezintă o hiperbolă ;

{\ displaystyle B ^ {2} -4AC> 0}

dacă avem și noi , ecuația reprezintă o

hiperbolă dreptunghiulară .

{\ displaystyle A + C = 0}

Suprafețe quadric

Un Quadric sau suprafață Quadric , este un 2 -dimensional suprafață în spațiul 3-dimensional definit ca locus de zerouri ale unui polinom pătratic . În coordonatele x ₁ , x ₂ , x ₃ , cvadricul general este definit de ecuația algebrică

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} x_ {i} Q_ {ij} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} P_ {i} x_ {i} + R = 0.}

Suprafețele cvadrice includ elipsoizi (inclusiv sfera ), paraboloizi , hiperboloizi , cilindri , conuri și plane .

Distanța și unghiul

Formula distanței pe plan urmează din teorema lui Pitagora.

În geometria analitică, noțiunile geometrice precum distanța și măsurarea unghiului sunt definite folosind formule . Aceste definiții sunt concepute pentru a fi în concordanță cu geometria euclidiană de bază . De exemplu, folosind coordonatele carteziene pe plan, distanța dintre două puncte ( x ₁ , y ₁ ) și ( x ₂ , y ₂ ) este definită de formula

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}, \!}

care poate fi privită ca o versiune a teoremei lui Pitagora . În mod similar, unghiul pe care o linie îl face cu orizontală poate fi definit prin formulă

{\ displaystyle \ theta = \ arctan (m),}

unde m este panta liniei.

În trei dimensiuni, distanța este dată de generalizarea teoremei pitagoreice:

{\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1 }) ^ {2}}}, \!}

,

în timp ce unghiul dintre doi vectori este dat de produsul punct . Produsul punct al a doi vectori euclidieni A și B este definit de

{\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ | \ mathbf {A} \ | \, \ | \ mathbf {B} \ | \ cos \ theta,}

unde θ este unghiul dintre A și B .

Transformări

a) y = f (x) = | x | b) y = f (x + 3) c) y = f (x) -3 d) y = 1/2 f (x)

Transformările sunt aplicate unei funcții părinte pentru a o transforma într-o funcție nouă cu caracteristici similare.

Graficul lui este modificat prin transformări standard după cum urmează: ${\ displaystyle R (x, y)}$

Schimbarea la mută graficul către unitățile potrivite . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle xh}$ ${\ displaystyle h}$
Schimbarea la mută graficul în unități. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle yk}$ ${\ displaystyle k}$
Schimbarea la întinde graficul pe orizontală cu un factor de . (cred că este dilatat) ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x / b}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle x}$
Schimbarea la întinde graficul pe verticală. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y / a}$
Schimbarea la și schimbarea la rotesc graficul cu un unghi . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x \ cos A + y \ sin A}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle -x \ sin A + y \ cos A}$ ${\ displaystyle A}$

Există alte transformări standard care nu sunt studiate de obicei în geometria analitică elementară, deoarece transformările schimbă forma obiectelor în moduri care nu sunt luate în considerare de obicei. Inclinarea este un exemplu de transformare care nu este luată în considerare de obicei. Pentru mai multe informații, consultați articolul Wikipedia despre transformările afine .

De exemplu, funcția părinte are o asimptotă orizontală și una verticală și ocupă primul și al treilea cadran, iar toate formele sale transformate au o asimptotă orizontală și verticală și ocupă fie primul și al treilea sau al doilea și al patrulea cadran. În general, dacă , atunci poate fi transformat în . În noua funcție transformată, este factorul care întinde vertical funcția dacă este mai mare de 1 sau comprimă vertical funcția dacă este mai mică de 1, iar pentru valorile negative , funcția se reflectă în -axa. Valoarea comprimă graficul funcției pe orizontală dacă este mai mare de 1 și se întinde pe orizontală funcția dacă este mai mică decât 1, și cum ar fi , reflectă funcția în -axis când este negativ. Valorile și valorile introduc traduceri , verticale și orizontale. Pozitiv și valorile înseamnă că funcția este tradusă la capătul pozitiv al axei sale și translația negativă a sensului spre capătul negativ. ${\ displaystyle y = 1 / x}$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ ${\ displaystyle y = af (b (xk)) + h}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle k}$

Transformările pot fi aplicate oricărei ecuații geometrice indiferent dacă ecuația reprezintă sau nu o funcție. Transformările pot fi considerate tranzacții individuale sau în combinații.

Să presupunem că aceasta este o relație în plan. De exemplu, ${\ displaystyle R (x, y)}$ ${\ displaystyle xy}$

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}

este relația care descrie cercul unitar.

Găsirea intersecțiilor obiectelor geometrice

Pentru două obiecte geometrice P și Q reprezentate de relații și intersecție este colecția tuturor punctelor care se află în ambele relații. ${\ displaystyle P (x, y)}$ ${\ displaystyle Q (x, y)}$ ${\ displaystyle (x, y)}$

De exemplu, ar putea fi cercul cu raza 1 și centru : și ar putea fi cercul cu raza 1 și centru . Intersecția acestor două cercuri este colecția de puncte care fac ambele ecuații adevărate. Punctul face ca ambele ecuații să fie adevărate? Folosind pentru , ecuația pentru devine sau care este adevărat, așa este și în relație . Pe de altă parte, folosirea în continuare pentru ecuația pentru devine sau care este falsă. nu este în deci nu este în intersecție. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle P = \ {(x, y) | x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (1,0): Q = \ {(x, y) | (x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (0-1) ^ {2} + 0 ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle 0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle 0 = 1}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle P}$

Intersecția dintre și poate fi găsită prin rezolvarea ecuațiilor simultane: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ displaystyle (x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Metodele tradiționale pentru găsirea intersecțiilor includ substituirea și eliminarea.

Înlocuire: Rezolvați prima ecuație în termeni și apoi înlocuiți expresia pentru în a doua ecuație: ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ displaystyle y ^ {2} = 1-x ^ {2}}

.

Apoi înlocuim această valoare cu cealaltă ecuație și continuăm să rezolvăm pentru : ${\ displaystyle y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle (x-1) ^ {2} + (1-x ^ {2}) = 1}

{\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 + 1-x ^ {2} = 1}

{\ displaystyle -2x = -1}

{\ displaystyle x = 1/2.}

Apoi, plasăm această valoare în oricare dintre ecuațiile originale și rezolvăm pentru : ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle (1/2) ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ displaystyle y ^ {2} = 3/4}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ pm {\ sqrt {3}}} {2}}.}

Deci intersecția noastră are două puncte:

{\ displaystyle \ left (1/2, {\ frac {+ {\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \; \; \ mathrm {și} \; \; \ left (1/2, {\ frac {- {\ sqrt {3}}} {2}} \ right).}

Eliminare : Adăugați (sau scădeți) un multiplu al unei ecuații la cealaltă ecuație, astfel încât una dintre variabile să fie eliminată. Pentru exemplul nostru actual, dacă scădem prima ecuație din a doua obținem . În prima ecuație se scade din în a doua ecuație a lăsa nici un termen. Variabila a fost eliminată. Apoi rezolvăm ecuația rămasă pentru , în același mod ca și în metoda de substituție: ${\ displaystyle (x-1) ^ {2} -x ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle y ^ {2}}$ ${\ displaystyle y ^ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 + 1-x ^ {2} = 1}

{\ displaystyle -2x = -1}

{\ displaystyle x = 1/2.}

Apoi plasăm această valoare în oricare dintre ecuațiile originale și rezolvăm pentru : ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle (1/2) ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ displaystyle y ^ {2} = 3/4}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ pm {\ sqrt {3}}} {2}}.}

Deci intersecția noastră are două puncte:

{\ displaystyle \ left (1/2, {\ frac {+ {\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \; \; \ mathrm {și} \; \; \ left (1/2, {\ frac {- {\ sqrt {3}}} {2}} \ right).}

Pentru secțiuni conice, în intersecție ar putea fi până la 4 puncte.

Găsirea interceptărilor

Un tip de intersecție care este studiat pe larg este intersecția unui obiect geometric cu axele și coordonatele. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Intersecția unui obiect geometric și axa-se numește -interceptul obiectului. Intersecția unui obiect geometric și axa-se numește -interceptul obiectului. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Pentru linie , parametrul specifică punctul în care linia traversează axa. În funcție de context, oricare dintre puncte se numește -intercept. ${\ displaystyle y = mx + b}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle (0, b)}$ ${\ displaystyle y}$

Tangente și normale

Liniile și planele tangente

În geometrie , linia tangentă (sau pur și simplu tangentă ) la o curbă plană la un punct dat este linia dreaptă care „doar atinge” curba în acel punct. În mod informal, este o linie printr-o pereche de puncte infinit apropiate pe curbă. Mai precis, o dreaptă se spune că este o tangentă a unei curbe y = f ( x ) la un punct x = c pe curbă dacă linia trece prin punctul ( c , f ( c )) de pe curbă și are panta f ' ( c ) unde f ' este derivata lui f . O definiție similară se aplică curbelor de spațiu și curbelor din spațiul euclidian n- dimensional .

Pe măsură ce trece prin punctul în care se întâlnesc linia tangentă și curba, numit punctul de tangență , linia tangentă „merge în aceeași direcție” ca și curba și este astfel cea mai bună aproximare în linie dreaptă la curbă în acea punct.

În mod similar, planul tangent la o suprafață într-un punct dat este planul care „doar atinge” suprafața în acel punct. Conceptul de tangentă este una dintre cele mai fundamentale noțiuni în geometria diferențială și a fost larg generalizat; vezi spațiul tangent .

Linie și vector normal

În geometrie , un normal este un obiect, cum ar fi o linie sau un vector care este perpendicular pe un anumit obiect. De exemplu, în cazul bidimensional, linia normală către o curbă la un punct dat este linia perpendiculară pe linia tangentă la curba din punctul respectiv.

În cazul tridimensional o suprafață normală , sau pur și simplu normală , la o suprafață la un punct P este un vector care este perpendicular pe planul tangent la suprafața respectivă la P . Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o linie normală la un plan , componenta normală a unei forțe , vectorul normal etc. Conceptul de normalitate se generalizează la ortogonalitate .

Vezi si

Note

Referințe

Cărți

Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
Cajori, Florian (1999), O istorie a matematicii , AMS, ISBN 978-0821821022
John Casey (1885) Geometria analitică a secțiunilor punct, linie, cerc și conică , link din Arhiva Internet .
Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (Ediția a II-a) , Lectură: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
Struik, DJ (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Articole

Bissell, Christopher C. (1987), „Geometria carteziană: contribuția olandeză”, The Mathematical Intelligencer , 9 : 38–44, doi : 10.1007 / BF03023730
Boyer, Carl B. (1944), „Geometrie analitică: descoperirea lui Fermat și Descartes”, profesor de matematică , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951 / MT.37.3.0099
Boyer, Carl B. (1965), „Johann Hudde și coordonatele spațiale”, profesor de matematică , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951 / MT.58.1.0033
Coolidge, JL (1948), „Începuturile geometriei analitice în trei dimensiuni”, American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307 / 2305740 , JSTOR 2305740
Pecl, J., Newton și geometria analitică

linkuri externe

Coordonează subiectele de geometrie cu animații interactive

Languages

In other projects